专题1 提升点2 三角形中的特殊线段-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 提升点2三角形中的特殊线段 类型一三角形的中线问题 [例1][2024·苏州二模]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 典-器朵器 (1)求A: (2)若a=6,点M为△ABC的重心，且AM=25,求△ABC的面积. 【答案】 (1)【解】由题及正弦定理可得芒=完， 整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论可得 c0A=品= 又因为A∈(0，π)，所以A=等 (2)设AM的延长线交BC于点D,因为点M为△ABC的重心，所以点D为BC的 中点，又因为AM=2W5,所以AD=35 在△ABC中，由b2+c2-a2=bc, 可得bc=b2+c2-36 在△ABD和△ACD中，有cosLADB=-CosLADC, 5c 3+33-b 由余弦定理的推论可得 2X3x33 23x3V3, 故b2+c2=72,所以bc=b2+c2-36=72-36=36,所以△ABC的面积为 bc·sin∠BAC=克×36×sin号=9V3. [解题技法] 处理与三角形中线有关的问题的常用方法 (1)利用互补角（如本例中∠ADB与∠ADC互补，其余弦值互为相反数）及余弦 定理求解 第1页 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)在△ABC中，若D为边BC上的中点，则AD=AB+AC),两边平方即可 得到三角形边长之间的关系 (3)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则BC边上的中线长 m=2b2+c2-a2 [对点训练]·[2024·山东潍坊模拟]在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c,己知a(sinB+cosB)=c. (1)求A: (2)若c=2,a=5,D为BC的中点，求AD: 【答案】 (1)解：在△ABC中，由正弦定理得，sin Asin B+cosB)=sinC, 所以sin Asin B+sin Acos B sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A, 得sin Asin B=sin Bcos A, 因为sinB≠0，所以tanA=1, 因为A∈(0，元)，所以A=晋. (2)在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos.∠BAC, 得5=b2+2-2b×V互×9 所以b2-2b-3=0, 又b>0,所以b=3. 因为D为BC的中点， 所以A=A+AC), 两边同时平方得A=(c2+b2+2 bccos∠BAC=￥， 所以-耍，即AD=受 类型二三角形的角平分线问题 [例2]在△ABC中，若D为BC边上的点，AD平分∠BAC (1)求证：是=； (2)若∠BAC=胃，且b=3,AD=5,求C 第2页 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 【答案】 (1)【解】证明：如图， AB BD 在△ABD中，mdAD丽=SnZBAD, 在△ACD中，n2c=2D, DC 因为∠BAD=∠CAD,∠ADB十∠ADC=T, 所以器=咒 (2)因为D为BC边上的点，AD平分LBAC, 则Sa4Bc=besin∠BAC=9bc 又由saac=ACADsin坠+AB,ADsn8学婴=ADb+d-9b+d,可 得bc=b+c又因为加=3，所以3c=3+c,解得c=号因为器=是=器，所以 光== [解题技法] (1)角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角 平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等 面积法求解， (2)角平分线是三角形的重要元素，如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分 别为a,b,c,AD为角A的平分线， 则①脱=： ②AD= 2bccos btc [对点训练]·[2024·湘豫名校联考]在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c,E.cos 2B+cos 2C=2cos2A-2sin Bsin C. 第3页 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (1)求A: (2)若∠BAC的平分线交BC于点D,b=3,c=4.求AD的长 【答案】 (1)解：因为cos2B+cos2C=2-2sin2A-2 sin Bsin C, 所以1-2sin2B+1-2sin2c=2-2sin2A-2 sin Bsin C, sin2A=sin2B+sin2C-sin Bsin C. 由正弦定理得a2=b2+c2-bc 又由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 可得cosA=, 因为A∈(0，T),所以A=胃 (2)在△ABC中，∠BAC=S, 由等面积法得S△4Bc=S△ABD+S△ACD, 即3ACAB·sin BAC=AB·AD:sin BAC+ACAD·sinS, 即×3×4×号 =克×4×AD×克+克×3×AD×克， 所以AD-9 类型三三角形的高线问题 [例3][2024·枣庄一模]在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 是=sin Atan号 (1)求C: (2)若a=8,b=5,CH是边AB上的高，且C=mCA+nC,求畀 【答案】 【解】由题及正弦定理得器 sin Asin气 (1) c0s5 sin A 由倍角公式得4nos号 =nAin号 c0s号 又因为A,C为△ABC的内角， 所以AE(0,T),号∈(0，)， 所以sinA≠0，cos号≠0. 第4页 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以sin号=京，sin号=专（负值已舍去）， 则有号=晋，得C=晋 (2)CA.CB=CA.CB.cos BCA =abcos∠BCA=8×5×cosS=20, CA2=b2=25,CB2=a2=64 由题意知CH⊥AB,所以C方.A正=0， 即 (mCA+nCB)CB-CA)-(m-CA.CB)-mcA'+ncB-20(m-n)-25m+64n-0. 所以5m=44n, 所以器=号 [解题技法] 解决与三角形的高线有关的问题常用等面积法得到边的关系，即若h1,h2,h3 分别为△ABC的边a,b,c上的高，则h1:h2:h3=言：言：吉， [对点训练]·已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=2,b=3, cosC=-.求： (1)△ABC的周长： (2)AB边上的高. 【答案】 (1)解：在△ABC中，由余弦定理的推论得cosC==梦艺=-， 解得c=4(负值已舍去)，所以△ABC的周长为a+b十c=2+3+4=9. (2)因为cosC=-,Ce(0,元)， 所以sinC=V-os2C=军 设AB边上的高为h, 则片absin C=方ch, 即吃×2×3×要=号×4h 解得h=3正 8, 第5页 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以AB边上的高为便 第6页 ·独家授权侵权必究·