专题1 提升点1 三角函数中ω ,φ 的范围问题-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

提升点1 三角函数中 , 的范围问题 类型一 由单调性求范围 ［例1］ [2024·连云港调研]已知函数,的图象过点，且在区间，上单调，则 的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】因为函数 的图象过点， 所以，解得, 因为，所以， 所以， 当,时，,， 因为 在区间，上单调， 所以, ，，， 即 且 ，, 则,， 由,得,. 因为，所以当 时，,， 则,； 当 时，,, 综上，,,， 即 的最大值为. 由函数的一个单调区间（区间也可以是开区间或半开半闭区间）求解 或 的取值范围，将区间端点值代入后，去对应 ，或 ，，列出不等式（组）求解.另外，因为函数在一个周期内的单调递减（增）区间的区间长度恰好是，所以单调区间的长度必不超过，根据这个性质有时也可求出 的取值范围. ［对点训练］．已知函数,,，若在区间，上，单调递增，单调递减，则 的取值范围是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】选A.由题意得, . 令，由,， ，得,. 因为在区间，上，单调递增，单调递减， 所以 解得, 所以 的取值范围是. 类型二 由最值（值域）求范围 ［例2］ 若函数在，上的值域是，，则 的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】因为，,， 所以,. 因为函数 在，上的值域是，，所以, 解得. 解决利用最值求 , 的问题，主要是利用三角函数的最值与对称或周期的关系，列出关于 , 的不等式（组），进而求出 , 的值或取值范围. ［对点训练］．[2024·广西三模]已知函数在上有最小值没有最大值，则 的取值范围是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】D 【解析】选D.依题意，,当 时，，若 在 上有最小值没有最大值，则 ，所以. 类型三 由对称性求范围 ［例3］ 已知函数的图象在区间内至多存在3条对称轴，则 的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】因为，， 所以，，设， 画出 的大致图象如图， 要使 的图象在区间 内至多存在3条对称轴，则，，解得，. 利用最小正周期,根据的图象两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于, , 的方程使问题获解. ［对点训练］．[2024·德州二模]将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若直线为图象的一条对称轴，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意得,，又因为直线 是 图象的一条对称轴， 所以，，即,，且，下面结合选项对整数 取值： 当 时，;当 时，； 当 时，;当 时，, 所以 的最小值为. 类型四 由零点、极值点求范围 ［例4］ 设函数在区间上恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】由选项知，由, 得，. 根据函数 在区间 上恰有三个极值点、两个零点， 知 ，解得. 所以， 的取值范围为,. 解决的零点与极值点问题通常先利用换元法求 的范围，再结合的图象列出关于 的不等式（组），进而求出 的值或取值范围. ［对点训练］．[2024·湖南九校联考]已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数 的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】A 【解析】选A.由题知 ， 若沿 轴方向平移 的图象，考虑其任意性，不妨设得到的图象的函数解析式为. 令，即,， 取 ，则. 依题意知，在 上至少有2解，至多有3解， 则须使区间 的长度不小于 且小于， 即，解得. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $