专题1 第3讲 有关三角形的综合问题-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第3讲 有关三角形的综合问题 考情分析 备考关键 考点 正、余弦定理解多个三角形组合问题及实际应用，三角函数与解三角形的综合问题. 考法 选择题、填空题和解答题均有所涉及，其中客观题主要侧重解三角形的实际应用，解答题主要考查三角形中的范围、最值问题. 1.构建三角形的模型解三角形的实际问题. 2.充分利用平面几何图形的性质解与多个三角形（四边形）有关的解三角形问题. 3.求解三角形中的最值、范围问题常用三角函数的有界性及基本不等式. 研考点 破重难 考点一 解三角形的实际应用 ［例1］ 山东省科技馆新馆（如图1）目前成为济南科教新地标，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和科技无限.如图2，为了测量科技馆最高点与其附近一建筑物楼顶之间的距离，无人机在点测得点和点的俯角分别为 ， ，随后无人机沿水平方向飞行到点，此时测得点和点的俯角分别为 和（，，，在同一铅垂面内），则，两点之间的距离为________________. 图1 图2 【答案】 【解析】由题意， , , 所以 , 则在 中， ，. 因为 ， ， 所以 . 方法一：在 中，由正弦定理 得，, 所以. 在 中， ， 由余弦定理得，,所以,故,两点之间的距离为. 方法二： .在 中，由正弦定理 得，, 所以. 在 中， , 由余弦定理得 , 所以, 故，两点之间的距离为. 解三角形实际应用问题的步骤 ［对点训练］．[2024·江苏南京六校联考]如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西 的方向上，沿正西方向步行到处，测得树根部在北偏西 的方向上，树梢的仰角为 ，则红豆树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.在 中， ， ， ，， 所以由正弦定理得,， 解得， 在 中， ， 所以，则红豆树的高度为. 考点二 复合三角形问题 ［例2］ 在平面四边形中，，，，. （1） 求的大小； （2） 求四边形的面积. 【答案】（1） 【解】由题意，设 ，则 , .在 中，由正弦定理得，即,解得，所以.因为 ，所以. （2） 由（1）可知，，在 中，由正弦定理得， 即，解得. 在 中，由余弦定理得 ，即，解得（负值已舍去），故四边形 的面积为. 解多个三角形问题的步骤 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； （2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； （3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； （4）结合三角恒等变换公式进行化简. ［对点训练］．在中，角，，的对边分别为,,,已知,,的面积为. （1） 求的值； （2） 如图，为外一点，四边形为平面四边形，且，，求对角线的长. 【答案】 （1） 解：因为,,的面积为， 所以, 所以. 由余弦定理,得，即. （2） 在 中，由正弦定理,得， 所以， 所以在 中，由余弦定理得. 所以. 考点三 三角函数与解三角形 ［例3］ [2024·上海二模]设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 . （1） 求函数的解析式； （2） 在中，设角,,所对的边分别为,,，若，,，求角. 【答案】 （1） 【解】 ， 因为函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，所以 ，则 ，解得， 所以. （2） 由 得，,故,, 因为，所以，即， 由正弦定理,得， 即,所以，. 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 ［对点训练］．在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1） 求角的大小； （2） 若向量,,，试求的最小值. 【答案】 （1） 解：因为， 由正弦定理，得，即， 可得. 由，可得， 所以. 因为，可得， 所以. 因为，所以. （2） 由,,， 可得,， 因为，所以， 则 , 因为，则， 所以当 ， 即 时，取得最小值，为，所以 的最小值为. 考点四 三角形中的最值与范围问题 ［例4］ [2024·郑州名校联盟]在四边形中，，,,设与的面积分别为,,则的最大值为________. 【答案】 【解析】因为,由正弦定理得,所以,即,因为 ,所以,所以, 所以,,, 所以,, 由余弦定理得,所以, 当且仅当 时取等号，. 设,则, 在 中，由余弦定理得, 所以 , 当 时，取得最大值. 所以 的最大值为. 解三角形中的最值、范围问题的一般步骤 ［对点训练］．在中，若,,则________，周长的取值范围是______________. 【答案】； 【解析】由 及正弦定理， 得. 方法一：由正弦定理得，所以. 因为，所以， 则，所以， 所以， 所以 周长的取值范围是. 方法二：由余弦定理, 得，当且仅当 时，等号成立， 所以, 所以，由三角形的性质，得,所以,所以 周长的取值范围是. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $