专题1 第3讲 有关三角形的综合问题 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由余弦定理可知, 解得，所以. 又， 解得. 2．在中，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.设,，由余弦定理可得 , 当且仅当,即 时，等号成立. 因为 ，则. 所以B的最大值为. 3．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东 方向上，距离为海里，灯塔在的北偏西 方向上，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东 方向上，则此时灯塔位于游轮的（ ） A. 正西方向上 B. 南偏西 方向上 C. 南偏西 方向上 D. 南偏西 方向上 【答案】C 【解析】选C.如图，在 中， ，由正弦定理得， 则. 在 中，由余弦定理得 ，因为，，所以，由正弦定理得，则，故 或 .因为，故 为锐角，所以 ，即此时灯塔C位于游轮的南偏西 方向上. 4．如图，在平面四边形中，， ， ， ，的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】选B.在 中， ， 由正弦定理有， 即，解得. 由三角形的面积公式有，则. 在 中，由余弦定理 得，则. 所以，所以. 5．[2024·兰州市诊断考试]（多选）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，一定可以计算出旗杆高度的方案有（ ） 图1 图2 图3 图4 A. 在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角 ， ，再测量，两点间的距离 B. 在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角 和 C. 在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角 ，再测量到旗杆底部的距离 D. 在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角 ，正对旗杆前行到达处，再次测量旗杆顶端的仰角 【答案】BCD 【解析】选.设旗杆 的高度为，对于A，当A，B，旗杆底部三点不共线时，如图1，已知 的长度， ， ，无法求出，故A错误；对于B，如图2，设旗杆对面的某建筑物为，则，可求出 的值，故B正确；对于C，如图3， ，可求出 的值，故C正确；对于D，如图4，，可求出 的值，故D正确. 6．[2024·乌鲁木齐质量监测]已知正方体的棱长为2，内壁是光滑的镜面.一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后到达点，则从点射出的入射光线与平面所成角的正切值为________. 【答案】 【解析】易知光线的轨迹全部在平面 内，如图，设光线与平面 的第一个交点为点，则点 为线段 的三等分点（靠近点）；设光线与平面 的交点为点，则点 为线段 的三等分点（靠近点）.在正方体中易知从 点射出的入射光线与平面 所成的角为，则. 7．[2024·德州二模]在中，内角，，的对边分别为,,，,且，则面积的最大值为________. 【答案】 【解析】因为, 所以由余弦定理得, 所以， 又，， 则，， 所以由余弦定理以及基本不等式得,， 即，当且仅当 时等号成立， 所以， 即 面积的最大值为. 8．“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具.有一块圆形木块，以“矩”量之，较长边为，较短边为，如图所示.将这块圆形木块截出一块三角形木块，三角形顶点，，都在圆周上，角，，的对边分别为,,，满足. （1） 求； （2） 若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） 解：由题意知，圆形木块的直径.由于 为该圆的内接三角形，所以由正弦定理得. （2） 由于，所以. 又，所以，则,， 所以. 由余弦定理得， 所以，则，故. 所以 的周长为. ［B 综合运用］ 9．[2024·聊城二模]如图，在平面四边形中，， ，记与的面积分别为，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】选B.在 中，由余弦定理得 ， 即, 得,① 在 中，由余弦定理得 , 即， 得，② 又， ， 所以，③ 由②①，得，由，得，代入③得. 10．[2024·兰州诊断考试]（多选）半径长为的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进，运动前车轮着地点为，若车轮滚动时点距离地面的高度（单位:）关于时间（单位:）的函数记为，则以下判断正确的是（ ） A. 对于任意，都有 B. 函数在区间上单调递增 C. D. 对于任意，都有 【答案】BD 【解析】选.记车轮的中心为，车轮滚动时着地点为点，连接，（图略），当滚动 时，，所以,对于A，的最小正周期，故A错误; 对于B，方法一（根据区间判断单调性） 当 时，，函数 单调递减，所以 在区间 上单调递增，故B正确; 方法二（先求单调区间再判断） 令 ,,解得,，所以 在区间 上单调递增，故B正确; 对于C，，故C错误; 对于D，方法一（代入法）,所以对于任意，都有,故D正确. 方法二（利用图象的对称性判断） 令 ,，得,,所以在 上，的图象关于点 对称，即对于任意，都有，故D正确. 11．如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛与相距5海里，.则小岛与之间的距离为________海里；小岛，，所形成的三角形海域的面积为__平方海里. 【答案】； 15 【解析】由圆的内接四边形对角互补， 得 ， 所以 为锐角， 所以， 在 中，由正弦定理得 ， 则（海里）. 在 中，由余弦定理得 , 整理得， 解得（海里）（负根已舍去）. 所以（平方海里）. 12．[2024·石家庄质量检测]在中，角，，所对的边分别为,,，设向量,,,,. （1） 求函数的最大值； （2） 若,,，求的面积. 【答案】 （1） 解：由题知， . 因为，所以， 所以， 所以, 所以函数 的最大值为. （2） 因为， 所以 ,,所以,. 因为,，所以. 在 中，由正弦定理得，,所以, 所以,① 由余弦定理得， 即,② 由①②解得， 所以 的面积为. ［C 素养提升］ 13．[2024·湖南九校联考]（多选）在中，角，，所对的边分别为,,,且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若,则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为, 【答案】ABD 【解析】选.对于A，在 中，由正弦定理得， 由，得，即， 由A,，则，故 ，所以 或 ， 即 或 （舍去），A正确； 对于B，若,结合 和正弦定理知，所以,又A,，所以可得,,,B正确； 对于C，在锐角三角形 中，，,，即，.故,当且仅当,即 时，取等号，因为,所以等号取不到，所以，C错误； 对于D，在锐角三角形 中，由，得，， 令,，则, 易知函数 在,上单调递增，所以可得,,D正确. 14．[2024·安徽一模]在中，角，，所对的边分别为,,,其中,. （1） 求角的大小； （2） 如图，为外一点，，，求的最大值. 【答案】 （1） 解：因为，所以, 由正弦定理，可得, 整理可得, 又因为，化简可得, 而，则, 又，则. （2） 在 中，由 可得， 在 中，由 可得，所以， 设，由余弦定理， ， 可得,， 因此 ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以 的最大值为，此时. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $