专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第2讲 三角恒等变换与解三角形 考情分析 备考关键 考点 三角函数的化简、求值，利用正弦定理、余弦定理求三角形的边、角及面积问题. 考法 主要以选择题、填空题的形式考查三角恒等变换求值，正、余弦定理的基本应用，解答题中会继续考查利用正、余弦定理求解三角形的边、角、面积问题. 1.三角恒等变换中“常值代换、切化弦、角的拼凑”. 2.解三角形时利用正、余弦定理“边角替换”. 3.求三角形面积时常用形式的面积公式. 做真题 明方向 1．[2024 ·新课标Ⅱ卷]已知 为第一象限角， 为第三象限角，，，则__________. 【答案】 【解析】因为，， 所以. 因为,， ,， 所以 ,,,所以. 因为 所以. 2．[2024·全国甲卷]记的内角,,的对边分别为,,，已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由正弦定理得，因为 ，所以.由余弦定理得，所以, 所以， 所以， 又,, 所以. 3．[2024 新课标Ⅱ卷]记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1） 求； （2） 若，，求的周长． 【答案】 （1） 解：由， 得,所以. 因为 ，所以， 所以，故. （2） 由， 得， 由正弦定理，得， 所以， 因为 ，所以． ， 所以 . 方法一：由正弦定理， 得, . 所以 的周长为. 方法二：由正弦定理， 得， 所以 ， 所以 的周长为． 研考点 破重难 考点一 三角恒等变换 1.两角和与差公式变形 ， ， . 2.倍角公式变形 降幂公式：，. 升幂公式：，. 配方变形：. 角度1 条件求值 ［例1］ （1） [2024·全国甲卷]已知，则（ ） A. B. C. D. （2） [2024·沈阳质量监测]已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 根据题意有，即,所以，所以. （2） 由，得，即，,即，又 . 三角函数恒等变换的“四大策略” （1）常数值代换：特别是“1”的代换， 等. （2）项的拆分与角的配凑：如 ， 等. （3）降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂. （4）弦、切互化：一般是切化弦. 角度2 条件求角 ［例2］ [2024·江西二模]已知 ，,，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，, 所以 解得 所以， 又 ，,，所以， 所以. 给值求角的原则 （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，，选正弦较好. ［对点训练］ 1．[2024 ·九省联考]已知 , ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】选A.因为,，所以.由 得，化简整理得，解得（舍去）或, 所以. 2．已知 为第一象限角， 为第二象限角，且，，则__________. 【答案】 【解析】因为 为第一象限角，，则， 所以 , 所以， 由于 为第二象限角，, 则， 所以. 考点二 利用正、余弦定理求边、角 1.正弦定理及其变形 在中，(为的外接圆半径). 变形：,,等. 2.余弦定理及其变形 在中，. 变形： ,. ［例3］ [2024·北京卷改编]在中，内角，，的对边分别为，，，为钝角，，． （1） 求； （2） 若，求. 【答案】 （1） 【解】由题知， 又 为钝角，故，所以. 所以,所以. 又 为钝角，所以. （2） 由题知,所以. 由 得，,即,解得（负值已舍去）. 解三角形的边和角问题的基本步骤 （1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. （2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，进行边角之间的互化. （3）求结果. 注意 注意三角形内角和定理的应用，求角时注意角的范围. ［对点训练］ 1．[2024·济南三模]已知,,分别为三个内角，，的对边，且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由,得，则，又，所以，即，又，所以. 2．[2024·合肥质量检测]在中，内角，，的对边分别为,,，若,且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】选A.因为，两边同时乘以 得,, 由余弦定理可得, 则， 所以,又, 所以, 又因为，所以. 考点三 三角形的面积问题 三角形面积公式 在中，内角，，的对边分别为,,,则. ［例4］ [2024·江西名校联盟]记的内角，，的对边分别为,,,已知. （1） 若，求； （2） 若，，求的面积. 【答案】 （1） 【解】因为，由正弦定理得, 因为,所以, 所以， 所以. （2） 因为,，， 由余弦定理得, 解得（负值已舍去），所以， 因为，， 所以， 所以 的面积. 求解与三角形面积有关的问题的基本思路 （1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积. （2）已知三角形面积解三角形，常利用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系. （3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形. ［对点训练］ 1．[2024· 东北三校联考]在中，，，则外接圆的半径为______. 【答案】3 【解析】因为，所以, 又，，所以，又，所以， 因为,所以，则， 记 外接圆的半径为，则由正弦定理得，所以. 2．已知的内角，，的对边分别为，，，，,且，则的面积为________. 【答案】 【解析】由，结合正弦定理可得，故，因为，故，又，故.由余弦定理，可得，解得.则. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $