湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学综合训练17

湖北曾都一中2025-2026学年2026届高三上数学综合（17） 考试时间：2025.12.07 18:30-20:30 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设为虚数单位,则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：）， 则此人每分钟心跳的次数为（ ） A．50 B．70 C．90 D．130 5．若函数的部分图象如右边图所示,则的值是（ ） A． B． C． D． 6．已知α为锐角，且，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知 对恒成立,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （第5题图） （第10题图） （第11题图） 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法中，正确的是（ ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．一组数据的第60百分位数为14 C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差 10．如图，是边长为1的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（ ） A．的值不可能大于1 B． C．的最小值为 D．的最大值为1 11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状,把数分成许多类,如图中第一行图形中黑色小点个数:1,3,6,10,…称为三角形数;第二行图形中黑色小点个数:1,4,9,16,…称为正方形数.记三角形数构成数列, 正方形数构成数列,则（ ） A． B．1275既是三角形数,又是正方形数 C． D．,总存在,使得 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为_________. 13．已知数列满足,则 ． 14.定义在上的函数满足，当时，恒成立. 若，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．在数列中，. (1)若，求证：为等差数列； (2)求的前项和. 16．如图,在直三棱柱中,分别是与的中点. (1)求证:平面; (2)若,,,求直线与平面所成角的余弦值. 17．如图，在四边形中．，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 18．已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若为坐标原点，直线交椭圆于，两点，且点是的重心，求的面积. 19.已知函数，. (1)求函数在点处的切线方程； (2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记，若，且，求证：. 曾都一中2026届高三数学综合（17） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D C B A B B C AC BD ACD 12： 13. 14： 15．（1）因为，所以 ，-----------------------------4分 又，所以是以为首项和公差的等差数列.------- -------------6分 （2）由（1）可得，，所以，-------------7分 记数列的前项和为，则， ， 两式相减得：，--------------9分 所以，-------------------------------------------11分 所以.-----------------------------13 16．(1)取中点,连接,∵分别是与的中点,∴,, 又,,∴,,∴四边形是平行四边形,∴, ∵平面,平面,∴平面.--------6分 (2)平面,平面, 又为等腰直角三角形,则两两垂直, 故以所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系,--------8分设,则,,,, ∴,,,--------8分 设平面的法向量为, ,令,得,即,--------10分 设直线与平面所成角为, 则,--------13分 ∴,即直线与平面所成角的余弦值为.--------15分 17（1）在中，，，. 所以. 在中，，，. 所以，.---------2分 在中，，，，--------4分 由得：，--------6分 由余弦定理，得： 所以.--------7分 （2）因为. 在中，，，，--------10分 所以. 由正弦定理，得：.--------13 所以. 所以.--------15 18.（1）因为椭圆：的离心率为，所以， 所以，因为，所以，因为椭圆过点，所以， 所以，得，则，所以椭圆方程为，--------5分 （2）当直线的斜率不存在时，两点的坐标关于轴对称，此时点不可能是的重心，所以直线的斜率存在，设直线为，， 由，得，--------6分 由，得，所以，所以，--------8分 因为点是的重心， 所以，所以，所以，解得---------13分 因为满足，所以直线为，， 所以，---------------15分 因为点到直线的距离为， 所以的面积为.-------------------------------17分 19.(1)因为，所以，所以，又因为，所以在点处的切线方程为，即； ---5分 (2)因为，所以，设，，则，，令，，则，可得在上为增函数，即在上为增函数， 所以， 当时，，此时在上为增函数， 故，即，所以，符合题意． 当时，，因为在上为增函数，当时，， 故存在满足，则在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为．---------------------------------10分 （3）证明：由题意得，，所以， 由可得， 所以， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以，令，得， 因此， 令，，则， 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，，所以，所以， 又因为，所以，故，得．-------------17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $