集合 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 讲义：集合 知识点1 集合的概念 1．集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。 2．集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性． (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性； (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性； (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性． 3．元素与集合之间只能用“”或“”符号连接． 4．集合的表示常见的有四种方法． （1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述。如：英才中学的所有团员组成一个集合。 （2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。如： （3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法。它的一般格式为，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性。如、 、、。 （4）Venn图法：如： 5．常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）（2）正整数集N*或 (3)整数集Z (包括负整数、零和正整数) （4）有理数集 (5)实数集R 6．集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合。（2）无限集：含有无限个元素的集合。（3）空集 ：不含任何元素的集合 知识点2 集合间的关系 1．子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。记为或． 2．真子集：对于两个集合A与B，如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。记为A⫋B． 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集． 知识点3 集合的基本运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做A、B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2．并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3．交集与并集的性质 ， ， ，，，． 4．全集与补集 （1）全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示． （2）补集：设是一个集合，A是的一个子集，由中所有不属于A的元素组成的集合，叫做中子集A的补集。 记作：． 5．补集的性质 ，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1-1】已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】已知集合，则下列表示正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-2】给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9．1 C． （4） ； （5） ； （6）2017 ． （7） ， ， ， ． 【题型2 集合中元素个数问题】 【例2-1】设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【变式2-1】已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【题型3 子集的个数问题】 【例3-1】若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例3-2】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【例3-3】已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【例3-4】已知集合⊊，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【变式3-2】已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-4】（多选）已知集合，，集合满足，则（    ） A． B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【题型4 判断集合间的关系】 ①交集 【解题思路】求集合A∩B的常见类型 (1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集． (2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集． (3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示． 【例4-1-1】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例4-1-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1-1】若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1-4】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1-5】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ② 并集 【解题思路】求集合并集的两种方法 1．定义法：对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性． 2．数形结合法：对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解． 注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证． 【例4-2-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2-2】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-2-1】集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式4-2-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2-3】已知集合，，则下列关系一定正确的是（    ） A． B．{0,1}⊊B C． D． ③ 补集 【解题思路】1．列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． 2．由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合． 【例4-3-1】已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 【例4-3-2】已知全集，，则=（    ） A． B． C． D． 【变式4-3-1】已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 【变式4-3-2】集合，，，则=（    ） A． B． C． D． 【变式4-3-3】设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【题型5 交并补的综合运用】 【例5-1】．已知集合，，，则=（　　） A． B． C． D． 【例5-2】设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知集合，，，则=（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设全集，集合M、N满足，{4,5}，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】设全集，则=（    ） A． B． C． D． 【题型6 韦恩图表示集合的运算】 【例6-1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【例6-2】如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D．或 【变式6-3】若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【变式7-1】）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-3】已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 过关测试 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．已知集合则（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知集合,，则（   ） A． B． C． D． 12．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 课后练习 1．若集合M＝{﹣2，﹣1，1}，集合N＝{0，1}，则M∪N等于（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{1} 2．已知集合，，则A∪B= （ ） A． B． C． D． 3．已知集合，那么A∩B=（ ） A．{－1,0,1,2,3} B．{－1,2} C．{0,3} D．{2,3} 4．若集合，则A∩B等于（ ） A． B． C． D． 5．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1} 6．若集合，则A∩B=（ ） A． B． C． D． 7．已知R是实数集，集合，，则（ ） A． B． {1} C． {－1,0} D． 8．已知集合，则（ ） A． {2} B． {－1,0} C．{0,2} D． {－1,0,2} 9．若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ） A． B． C． D． 10已知集合，则（ ） A． B． C． D． 11．已知集合，，则A∩B=（ ） A．(－1,1) B． C． D． 12．已知集合，，则A∩B=（ ） A． (－2,1) B．(－1,3) C．{－1,0} D．{0,1,2} 13．已知集合A＝{x∈N|2x－7≤0}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝（ ） A．{x|0< x ≤3} B．{0，1，2，3} C．{x|－1≤ x ≤} D．{1，2，3} 14．已知集合，则图中阴影部分的集合为（ ） A． {－1} B．{1,2} C． {－1,0} D． {0,1,2} 15．已知集合，则A∩B=（ ） A． {1,3} B．{3,5} C． {1,3,5} D． (0,4) 16．已知集合，，则A∪B=（ ） A． {3} B．{1,3} C． {1,2,3,5} D． {1,2,3,4,5} 17．若集合，，则A∪B =（ ） A． {0} B． {0,1} C． {0,1,2} D． {－1,0,1,2} 18．已知集合，，则集合B可以是（ ） A． {1，2} B． {1，3} C． {0，1，2} D． {1，2，3 } 19．已知集合，，则A∩B=（ ） A． B． C． D． 20．已知集合，则A∩B=（ ） A． {1,2} B．{2,4} C． {1,2,4} D． 21．已知集合，则集合A∩B中元素的个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 22．已知集合，，则（ ） A． B． C． {1} D． {－1,1} 23．已知A={x|x2<4x},B={x|y=lg(x－2)},则A∩(CRB)=（ ） A．(0,2] B．(－∞,2] C．[2,+∞) D．[2,4) 24．已知，，则A∪B=（ ） A． B． C． D． 25．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 26．设全集U=R，集合，，则（ ） A． B． C． D． 27．已知集合，，则（ ） A．{1,2,3} B． {2,3} C． {1,2} D． {2} 28．已知全集U=R，，，则（ ） A． B． C． D． 29．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 30．（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 讲义：集合 专题二 集合 知识点1 集合的概念 1.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。 2.集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性． (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性； (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性； (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性． 3.元素与集合之间只能用“”或“”符号连接． 4.集合的表示常见的有四种方法． （1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述。如：英才中学的所有团员组成一个集合。 （2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。如： （3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法。它的一般格式为，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性。如、 、、。 （4）Venn图法：如： 5.常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）（2）正整数集N*或 (3)整数集Z (包括负整数、零和正整数) （4）有理数集 (5)实数集R 6.集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合。（2）无限集：含有无限个元素的集合。（3）空集 ：不含任何元素的集合 知识点2 集合间的关系 1.子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。记为或． 2.真子集：对于两个集合A与B，如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。记为A⫋B． 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集． 知识点3 集合的基本运算 1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做A、B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2.并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3.交集与并集的性质 ， ， ，，，． 4.全集与补集 （1）全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示． （2）补集：设是一个集合，A是的一个子集，由中所有不属于A的元素组成的集合，叫做中子集A的补集。 记作：． 5.补集的性质 ，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1-1】已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程，解得或，所以， 所以，，. 故选：A. 【例1-2】已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 【变式1-1】下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 【变式1-2】给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】由于；；；，故①错误；②正确；③错误；④错误， 故选：A． 【变式1-3】用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 【答案】 【解析】（1），故； （2），故； （3），故； （4），； （5） （6）因为2017不能被表示为的形式，所以； （7） 【题型2 集合中元素个数问题】 【例2-1】设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【解题思路】根据补集的定义即可求出． 【解答过程】因为， 所以，则中的元素个数为， 故选：C． 【变式2-1】已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集. 【解答过程】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C. 【变式2-2】已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据给定条件，求出集合即可. 【解答过程】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C. 【变式2-3】已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【解题思路】根据题意，得到阴影部分表示的集合为，结合集合运算法则，即可求解. 【解答过程】由题意得，图中阴影部分表示的集合为， 因为集合， 可得， 所以阴影部分所示集合的元素个数为个. 故选：B． 【题型3 子集的个数问题】 【例3-1】若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个.故选：C. 【例3-2】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【例3-3】已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 【例3-4】已知集合⊊，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】由可得且，根据为的真子集， 可得或或，故满足条件的集合的个数为3. 故选：A 【变式3-1】设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【答案】D 【解析】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 【变式3-2】已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 【变式3-3】已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题可知，集合可以为：共4个， 故选：C. 【变式3-4】（多选）已知集合，，集合满足，则（    ） A． B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【解析】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 【题型4 判断集合间的关系】 ①交集 【解题思路】求集合A∩B的常见类型 (1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集. (2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集. (3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 【例4-1-1】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 【例4-1-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，，则.故选：A. 【变式4-1-1】若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,,则,故选:D. 【变式4-1-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，所以.故选：A. 【变式4-1-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，将集合中的元素代入中，可得.故选：D 【变式4-1-4】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题得，则．故选：C. 【变式4-1-5】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接计算知，，. 故中的三个元素中，在集合内的是和，所以. 故选：A. ② 并集 【解题思路】求集合并集的两种方法 1.定义法：对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性． 2.数形结合法：对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解． 注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证． 【例4-2-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以．故选：A． 【例4-2-2】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，，所以，故选：A. 【变式4-2-1】集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，即，，.故选：C. 【变式4-2-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合，，得.故选：D. 【变式4-2-3】已知集合，，则下列关系一定正确的是（    ） A． B．{0,1}⊊B C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，，则集合B一定含有2，3，可能含有0，1，对比选项可知，只有C正确.故选：C ③补集 【解题思路】1.列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合. 2.由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合. 【例4-3-1】已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，所以.故选：D 【例4-3-2】已知全集，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，故选：A. 【变式4-3-1】已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，又因为，所以，故选：C. 【变式4-3-2】集合，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，，所以.故选：B. 【变式4-3-3】设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，全集，则，， 得，所以.故选：B 【题型5 交并补的综合运用】 【例5-1】．已知集合，，，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，∴，则．故选：B． 【例5-2】设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由题意得，所以．故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，，或，故C错误； 对于D，或，或，故D错误. 故选：A. 【变式5-1】已知集合，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵集合，，∴，又＝{0,1}， ∴()∩N＝{0,1}．故选：C． 【变式5-2】设全集，集合M、N满足，{4,5}，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，故， 又，故，， A选项，由题意得交集，并集和，故A错误； B选项，由于，故，B错误； C选项，由于，故，C错误； D选项，由于，故，且， 又，故. 故选：D 【变式5-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 【变式5-4】设全集，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以或， 因为，所以. 故选：D. 【题型6 韦恩图表示集合的运算】 【例6-1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 故选：B. 【例6-2】如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 【变式6-1】已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成， 而，，则， 得， 故所求集合为. 故选：C. 【变式6-2】已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为，，所以， 所以图中阴影部分表示的集合或. 故选：D 【变式6-3】若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵全集是实数集，集合，∴， ∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即.故选：A. 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【解题思路】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【解答过程】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 【变式7-1】）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用交集的结果求出范围. 【解答过程】集合，，而，则， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式7-2】已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据交集的结果直接得出答案. 【解答过程】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B. 【变式7-3】（已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数集的并集运算求参数的取值范围. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：A. 过关测试 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【解答过程】因为，所以， 故选：D. 2．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 3．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【解题思路】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C. 4．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【解答过程】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 5．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【解答过程】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【解答过程】由 ，则. 故选：B. 7．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【解答过程】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 8．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集、并集的定义计算可得. 【解答过程】因为全集，，， 所以，则. 故选：A. 9．已知集合则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合后结合交集的定义可求. 【解答过程】， 故， 故选：D. 10．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合M，再根据并集概念计算. 【解答过程】解：由 ， 所以 故选：D. 11．已知集合,，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先解绝对值不等式，再用交集定义即可求得. 【解答过程】由可得，则， 因，则. 故选：A. 12．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【解答过程】由，则， 集合， 故 故选：D. 13．（多选）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BCD 【解析】由可得，. 当时，满足，此时； 当时，， 解可得，. 因为，所以或. 当时，； 当时，. 综上所述，或或. 故选：BCD. 课后练习 1.若集合M＝{﹣2，﹣1，1}，集合N＝{0，1}，则M∪N等于（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{1} 答案及解析： 1. A 解：依据并集的概念和集合元素的互异性得：M∪N＝{﹣2，﹣1，0，1} 故选：A． 2.已知集合，，则A∪B= （A） （B）（C） （D） 答案及解析： 2.D 解析：根据并集的定义计算。因为集合，，所以A∪B=，选D. 3.已知集合，那么A∩B=（） A．{－1,0,1,2,3} B．{－1,2} C．{0,3} D．{2,3} 答案及解析： 3.D 【分析】 直接利用交集的定义即可求得. 【详解】 因为集合， 所以. 故选：D 4.若集合，则A∩B等于（ ） A. B.C. D. 答案及解析： 4. A 解析：根据交集的定义，因为，所以A∩B=，选A. 5.已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1} 答案及解析： 5.B 解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}， ∴A∩B＝{0，1}． 故选：B． 6.若集合，则A∩B=（ ） A． B． C． D． 答案及解析： 6.A 7.已知R是实数集，集合，，则（ ） A. B. {1} C. {－1,0} D. 答案及解析： 7.C 【分析】 先求得的集合，，进而得到，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 所以，所以.故选：C. 8.已知集合，则（ ） A. {2} B. {－1,0} C.{0,2} D. {－1,0,2} 答案及解析： 8.B 9.若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 9.C 【分析】 由韦恩图可以看出，阴影部分是中去掉那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得出阴影部分为，代入进行求解，即可求出结果. 【详解】集合，， 又图中阴影部分所表示为， 又 ∴. 故选：C． 10已知集合，则（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 10.D 【分析】 先化简集合A,B，再求A∪B得解. 【详解】由题得， 所以A∪B=. 故选：D 11.已知集合，，则A∩B=（ ） A.(－1,1) B. C. D. 答案及解析： 11.D 【分析】 先求出集合，再求交集即可. 【详解】由已知， 又， 则. 故选：D. 12.已知集合，，则A∩B=（ ） A. (－2,1) B.(－1,3) C.{－1,0} D.{0,1,2} 答案及解析： 12.D 【分析】 根据题意可知，解不等式，得，即，再与集合取交集，即可. 【详解】 又 故选：D 13.已知集合A＝{x∈N|2x－7≤0}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝ A.{x|0< x ≤3} B.{0，1，2，3} C.{x|－1≤ x ≤} D.{1，2，3} 答案及解析： 13. B 14.已知集合，则图中阴影部分的集合为（ ） A. {－1} B.{1,2} C. {－1,0} D. {0,1,2} 答案及解析： 14.B 【分析】根据维恩图分析阴影部分，利用集合的交集计算即可. 【详解】由维恩图可知，阴影部分为集合. 故选：B. 15.已知集合，则A∩B=（ ） A. {1,3} B.{3,5} C. {1,3,5} D. (0,4) 答案及解析： 15.A 【分析】算出集合，再求交集即可. 【详解】因为，所以 故选：A 16.已知集合，，则A∪B=（ ） A. {3} B.{1,3} C. {1,2,3,5} D. {1,2,3,4,5} 答案及解析： 16.C 【分析】 化简集合，再根据并集定义进行计算即可得到. 【详解】因为， 所以. 故选：C 17.若集合，，则A∪B =（ ） A. {0} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {－1,0,1,2} 答案及解析： 17.C 【分析】 化简集合，再求并集即可. 【详解】 故选：C 18.已知集合，，则集合B可以是（ ） A. {1，2} B. {1，3} C. {0，1，2} D. {1，2，3 } 答案及解析： 18.B 【分析】 集合，是数集， ,, 集合中一定没有元素2，由选项可得. 【详解】，则集合中一定有元素，又,集合中一定没有元素2 可以是 故选：B. 19.已知集合，，则A∩B=（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 19.D 【分析】 根据题意，先得到，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 因此. 故选：D. 20.已知集合，则A∩B=（ ） A. {1,2} B.{2,4} C. {1,2,4} D. 答案及解析： 20.C 【分析】 先化简集合，再根据交集的定义即可求出. 【详解】解：集合 则. 故选：C. 21.已知集合，则集合A∩B中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案及解析： 21.B 【分析】 根据题意，求出集合，利用集合的交运算求解即可. 【详解】根据题意，集合，因为集合， 由集合的交运算可得，， 所以集合中元素的个数为2. 故选：2 22.已知集合，，则（ ） A. B. C. {1} D. {－1,1} 答案及解析： 22.B 【分析】 根据函数定义域和值域分别求得集合，由交集定义可得结果. 【详解】，，. 故选：. 23.已知A={x|x2<4x},B={x|y=lg(x－2)},则A∩(CRB)= A.(0,2] B.(－∞,2] C.[2,+∞) D.[2,4) 答案及解析： 23. A 解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＞2}， ∴CRB＝{x|x≤2}，A∩（CRB）＝（0，2]． 24.已知，，则A∪B=（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 24.B 【分析】 根据指数不等式与二次不等式求解集合再求并集即可. 【详解】, .故. 故选：B 25.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 25.D 26.设全集U=R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 26.D 【详解】由得且，所以， 所以，则 27.已知集合，，则（ ） A.{1,2,3} B. {2,3} C. {1,2} D. {2} 答案及解析： 27.D 【详解】解：因为 所以， 又因为 所以 故选：D 28.已知全集U=R，，，则（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 28.A 【详解】，，，则. 故选：A. 29.设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案及解析： 29.C 【详解】画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下： 可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点， ∴A∩B的元素个数为2. 故选：C． 30．（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【解析】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $