基本不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖重要不等式与基本不等式的概念、变形及最值条件，按“概念-变形-应用-模型”逻辑架构组织知识点，通过考点梳理、方法指导（直接法、配凑法等）、真题题型训练（四类求最值题型）及分层练习，帮助学生系统构建知识网络，突破应用难点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新采用题型分类突破策略，如配凑法求最值中通过变式训练强化“一正二定三相等”条件判断，常数代换法结合真题实例讲解代数式转化技巧。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，助力学生短时间内化方法，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供有力支持。

2026年高考数学一轮复习 讲义：基本不等式 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 提示： “当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1).(2). 知识点2 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 等号的条件． 知识点3 常见的求最值模型 1.模型一：，当且仅当时等号成立； 2.模型二：，当且仅当时等号成 立； 3.模型三：，当且仅当时等号成立； 4.模型四：，当且仅当时 等号成立. 【题型1 直接型求最值】 【例1-1】函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【例1-2】已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ） A． B． C． D．3 【例1-3】函数的最大值是（       ） A．7 B． C．9 D． 【变式1-1】已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【变式1-2】若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-3】已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【变式1-4】已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 【题型2 配凑法求最值】 【例2-1】若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【例2-2】已知x>3，则对于，下列说法正确的是（       ） A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4 【例2-3】若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2-4】函数的最大值为（       ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【变式2-1】若，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-3】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【题型3 常数代换法求最值】 【例3-1】已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（       ） A． B． C． D． 【例3-2】若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例3-3】若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3-4】设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【变式3-1】，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【变式3-2】若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，，且，则的最小值是（       ） A． B．2 C．9 D．4 【变式3-4】（多选）已知，且，则的取值可以是（       ） A．8 B．9 C．11 D．12 【变式3-5】若，，则的最小值为__________. 【题型4 消元法求最值】 【例4-1】已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【例4-2】设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【例4-3】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【例4-4】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式4-1】已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】若正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 过关测试 1．已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 2．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 3．已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（多选）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（多选）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 6．设，则的最小值为 4 ． 7．正数满足，则的最小值是 16 . 8．已知，，则的最小值是 9 . 课后练习 1．已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 2．若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知两个正数满足，则的最小值为（       ） A．3 B．6 C． D． 4．若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 5．若正实数，满足，则的最小值是（       ） A．4 B． C．5 D．9 6．实数，且满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 讲义：基本不等式 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 提示： “当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1).(2). 知识点2 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 等号的条件． 知识点3 常见的求最值模型 1.模型一：，当且仅当时等号成立； 2.模型二：，当且仅当时等号成 立； 3.模型三：，当且仅当时等号成立； 4.模型四：，当且仅当时 等号成立. 【题型1 直接型求最值】 【例1-1】函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【解题思路】利用基本不等式即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 【例1-2】已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C 【例1-3】函数的最大值是（       ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】由题意可得函数的定义域为，则， 所以， 当且仅当，即时，取等号，所以函数的最大值是，故选：B 【变式1-1】已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】根据基本不等式可求最小值. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C. 【变式1-2】若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2， 故选：D. 【变式1-3】已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 故选：A. 【变式1-4】已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为.故选：D 【题型2 配凑法求最值】 【例2-1】若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【解题思路】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 【例2-2】已知x>3，则对于，下列说法正确的是（       ） A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；故选：B 【例2-3】若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以， ∴， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D. 【例2-4】函数的最大值为（       ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】， 当且仅当,即等号成立.故选：D. 【变式2-1】若，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，， 因此， 当且仅当，即时，等号成立.故选：B. 【变式2-2】已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】变形应用基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 【变式2-3】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式来求得正确答案. 【解答过程】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D. 【变式2-3】函数有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【解析】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立. （方法2）令，，，. 将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D 【题型3 常数代换法求最值】 【例3-1】已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，，当且仅当，即，即时取等号故选：C 【例3-2】若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以， ∴， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D. 【例3-3】若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【解答过程】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 【例3-4】设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【解题思路】代入，再由基本不等式即可求解； 【解答过程】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为． 故选:C. 【变式3-1】，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值． 【解答过程】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A. 【变式3-2】若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，，，将代数式与相乘，展开后可求出的最小值. 【解答过程】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 【变式3-3】已知，，且，则的最小值是（       ） A． B．2 C．9 D．4 【答案】A 【解析】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A 【变式3-4】（多选）已知，且，则的取值可以是（       ） A．8 B．9 C．11 D．12 【答案】CD 【解析】因为，所以，则. 因为，所以， 所以（当且仅当时，等号成立）， 则.因为，所以，即.故选：CD 【变式3-5】若，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】由得，则有，有，同理可得， 由两边除以xy得：，于是得： ，当且仅当时取“=”， 由解得：，所以当时，取得最小值. 故答案为： 【题型4 消元法求最值】 【例4-1】已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【解答过程】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为. 故选：D. 【例4-2】设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 【例4-3】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【解析】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为.故选：A. 【例4-4】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由，且，可得.所以. 又因为， 当且仅当，即时取等号，所以. 故选：B. 【变式4-1】已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式4-2】已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式可得最值. 【解答过程】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 【变式4-3】若正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正实数x，y满足，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是，故选：C． 过关测试 1．已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A. 2．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【解答过程】因为 所以.其中均正数. 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 3．已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 4．（多选）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【解题思路】利用基本不等式进行求解. 【解答过程】因为正实数满足， 对A选项：，当且仅当时等号成立，故A正确；   对B选项：，，当时等号成立，故B错误； 对C选项：由，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 5．（多选）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【解答过程】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 6．设，则的最小值为 4 ． 【解题思路】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【解答过程】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4. 7．正数满足，则的最小值是 16 . 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 故答案为：16. 8．已知，，则的最小值是 9 . 【解题思路】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【解答过程】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 课后练习 1．已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为.故选：D 2．若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以， ∴， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D. 3．已知两个正数满足，则的最小值为（       ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故选： 4．若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，都为正实数，，所以， 当且仅当，即时，取最大值.故选：D 5．若正实数，满足，则的最小值是（       ） A．4 B． C．5 D．9 【答案】B 【解析】因为，是正实数，所以故有， 当且仅当，即，时取到等号.故选：B. 6．实数，且满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，则，由，则， ∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故选：C. 7．已知正实数满足，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 ， 当且仅当时，取等号，的最小值是.故选：D 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $