第二十一章 四边形 章末复习（课件）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件系统梳理第二十一章“四边形”知识，涵盖多边形内角和与外角和、特殊四边形（平行四边形、矩形等）的性质判定、三角形中位线等核心内容，通过中考例题与专题解读构建递进学习支架，衔接基础概念与综合应用。 其亮点在于融合中考真题与数学思想，以“解题秘方”指导推理过程培养运算能力与推理意识，提炼正方形几何模型（如一线三垂直）强化几何直观，帮助学生用数学语言表达规律。学生可提升逻辑思维与解题能力，教师能获得系统教学资源与高效教学方法。

目录 LOGO 章末复习核心要点分类整合 第二十一章 四边形 结构必知 1. n边形的内角和等于(n－2)×180°，多边形的外角和等于360°. 核心必读 2. 特殊四边形的性质定理和判定定理都是互逆定理，它们是分别从边的关系、角的关系、对角线的关系等角度考虑的； 在判定时还要考虑是建立在什么四边形的基础上的. 各种特殊四边形的性质如下表： 特殊四边形 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 核心必读 续表 特殊四边形 边 角 对角线 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 菱形 对边平行，四条边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 正方形 对边平行，四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 核心必读 3. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 4. 直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 核心必读 专题 多边形的内角和与外角和 1 链接中考 >>多边形的内角和与外角和是中考常考内容，近几年考查的方式多以二者相结合，利用内角或外角求多边形的边数，题型以选择题、填空题为主. 知识必学 例 1 [中考·扬州] 若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________． 解题秘方：先求出这个多边形每个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°求解. 解：因为这个多边形的每个内角都是140°，所以这个多边形的每个外角都是40°.因为多边形的外角和为360°，所以这个多边形的边数为360°÷40°＝9. 9 知识必学 专题 平行四边形的性质与判定 2 链接中考 >>平行四边形的性质与判定都涉及边和角相等，这与全等三角形的性质与判定相吻合，所以平行四边形的性质与判定通常与三角形的全等联合考查. 知识必学 [中考·武汉] 如图21－1，在▱ABCD中，点E，F 分别在边BC，AD 上，AF＝CE． 解题秘方：已知平行四边形，利用其性质来判定三角形全等，再由全等三角形的性质添加条件来判定平行四边形. 例 2 知识必学 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D. ∵ AF＝CE，∴ AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE. 在△ABE 与△CDF 中， ∴△ABE ≌△CDF (SAS) . (1)求证：△ABE ≌△CDF； 知识必学 解：(答案不唯一)添加BE＝CE. (2)连接EF，请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形.(不需要说明理由) 知识必学 专题 三角形的中位线定理 3 链接中考 >>三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置关系，即三角形的中位线平行于三角形的第三边；二是数量关系，即三角形的中位线等于第三边的一半. 当题目中已知三角形两边的中点时，直接利用三角形的中位线定理解题. 知识必学 [中考·广东]如图21－2，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝( ) A. 20° B. 40° C. 70° D. 110° 例 3 知识必学 解题秘方：首先得到DE，DF是△ABC的中位线，再得到DE∥AC，DF∥AB，然后根据平行线的性质求解即可． 答案：C 解：∵点D，E，F分别是△ABC各边上的中点， ∴DE，DF是△ABC的中位线. ∴DE∥AC，DF∥AB. ∴∠EDF＝∠DEB＝∠A＝70°. 知识必学 专题 矩形的性质与判定 4 链接中考 >>矩形是特殊的平行四边形，主要有两个特殊点：一是内角都是直角；二是对角线相等. 考查矩形的性质和判定时，也是主要抓住这两个特殊点进行考查. 知识必学 [中考·贵州]如图21－3，四边形ABCD 的对角线AC 与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条 件：①AB∥CD，②AD＝BC． 例 4 知识必学 (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； 解题秘方：先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明四边形ABCD 是平行四边形，再根据矩形的定义得到结论即可； 知识必学 证明：选择① . ∵ AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形. 选择② . ∵ AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形. (任选其一即可) 知识必学 (2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积． 解题秘方：利用勾股定理得到BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可. 解：在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝5， ∴BC＝＝4. ∵四边形ABCD是矩形， ∴ 四边形ABCD的面积＝AB·BC＝3×4＝12 ． 知识必学 专题 直角三角形斜边上的中线的性质 5 链接中考 >>直角三角形斜边上的中线的性质是直角三角形的一个重要性质，是常考的知识点，它为证明线段相等、角相等、线段的倍分关系等问题提供了很好的思路和理论依据. 知识必学 [中考·陕西] 如图21－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 例 5 知识必学 解题秘方：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝AD＝BD，然后利用等边对等角求出相关角的度数，最后根据余角的定义判断. 知识必学 答案：C 解题秘方：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝AD＝BD，然后利用等边对等角求出相关角的度数，最后根据余角的定义判断. 知识必学 专题 菱形的性质与判定 6 链接中考 >>菱形是特殊的平行四边形，主要有两个特殊：一是四条边相等；二是对角线互相垂直. 考查菱形的性质和判定时，也是主要从这两个方面考查. 知识必学 [中考· 贵州] 如图21－5，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E． 延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G． 例 6 知识必学 证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC. ∴BA＝BC. ∴▱ABCD是菱形. (1)求证：▱ABCD是菱形； 知识必学 解：如图21－5. ∵EB＝EF，CE＝CF，∴∠3＝∠2＝∠1. 设∠3＝∠2＝∠1＝α，∴∠4＝∠1＋∠2＝2α. ∵BE⊥AC，∴∠3＋ ∠4＝90°. ∴ α＋2α＝90°，解得α＝30°. ∴∠3＝∠2＝30°，∠4＝60°. ∴BC＝2CE＝2×4＝8. (2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积． 知识必学 ∵BC＝BA，∠ 4＝60°，∴△ABC为等边三角形. ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，CD＝BC＝8. ∴∠FCG＝∠ABC，∠ECG＝∠BAC. ∴∠FCG＝∠ECG. ∵CF＝CE＝4，∴CG⊥EF. ∵∠ 2＝30°，∴CG＝CF＝CE＝2. ∴FG＝＝2. ∴ S△DCF＝CD×FG＝×8×2＝8． 知识必学 专题 正方形的性质 7 链接中考 >>正方形的性质在计算中经常用到，中考中经常与平行四边形、矩形、菱形综合，有时还需要作辅助线，利用平行线、勾股定理等知识解题. 知识必学 如图21－6，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F. 若AB＝1，∠EBC＝30 °，则△ABF的面积为_______. 例 7 知识必学 解：如图21－6，过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足分别为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°. ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝AB＝1，∠ABC＝90°. ∴∠ABC＝∠FMC. ∴AB∥FM. ∴易知FN＝BM. ∵ S△ABF＝AB·FN，S△ABM ＝AB·BM , ∴ S△ABF＝S△ABM . 知识必学 ∵CF⊥BE，∠EBC＝30°，∴∠BFC＝90°,CF＝BC＝. ∴∠CFM＋∠BFM＝90°＝∠BFM＋∠EBC. ∴∠CFM＝∠EBC＝30°. ∴CM＝CF＝. ∴BM＝BC－CM＝. ∴ S△ABF＝S△ABM＝×1×＝. 知识必学 专题 转化思想 8 专题解读 >>转化思想可以把不可解的问题转化为已学知识范围内可解的问题，通过转化可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单甚至模式化的问题. 转化思想在本章主要体现在求多边形的多个角的和的问题中，常通过连接两顶点或对角线转化为三角形、四边形或其他多边形来解决问题. 好题必解 如图21－7，求∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠FGH＋∠H＋∠K的度数. 例 8 解题秘方：连接AG，DG，将要求和的角转化到一个五边形内. 好题必解 解：如图21－7，连接AG，DG，设AK，HG 的交点为M，DE，FG的交点为N， 则∠E＋∠F＋∠ENF＝180°＝∠FGD＋ ∠EDG＋∠GND，∠H＋∠K＋∠HMK＝ 180°＝∠KAG＋∠HGA＋∠AMG. ∵∠ENF＝∠GND，∠HMK＝∠AMG，∴∠E＋∠F＝∠FGD＋∠EDG，∠H＋∠K＝∠KAG＋∠HGA. 好题必解 ∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠FGH＋∠H＋∠K ＝∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠FGD＋∠EDG＋∠FGH＋∠KAG＋∠HGA ＝(∠BAK＋∠KAG)＋∠B＋∠C＋(∠CDE＋∠EDG)＋(∠FGD＋∠FGH＋∠HGA) ＝∠BAG＋∠B＋∠C＋∠CDG＋∠DGA ＝(5－2)×180°＝540°. 好题必解 专题 分类讨论思想 9 专题解读 >>有些问题的答案不止一种，尤其是题目中没有给出图形的几何题，这时需要把问题分为几种可能的情况，然后针对每一种情况给出解答，要求思考问题必须严谨、细致. 好题必解 矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，E 是BC 边的三等分点，连接DE，P 是DE 的中点，OP＝3，连接CP，则PC＋PE的值为___________． 13或 例 9 好题必解 解题秘方：本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，当CE>BE 时，利用三角形中位线定理易求得CE＝12，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得DE 的长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解; 当CE<BE 时，同理求解即可. 好题必解 解：∵ 四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O， ∴∠DCB＝90°，O是BD的中点. 又∵ E 是BC边上的点，P 是DE 的中点， ∴ BE＝2OP＝6，PC＝PE＝PD. 当CE>BE时，如图21－8 ①所示. ∵ E 是BC边的三等分点， ∴ CE＝2BE＝12 ，BC＝3BE＝18 . 好题必解 ∵矩形ABCD的面积是90 ， ∴ BC·CD＝90. ∴ CD＝5. ∴ DE＝＝13. ∵ PC＋PE＝PD＋PE＝DE，∴ PC＋PE＝13； 当CE<BE 时，如图21－8 ②所示. ∵ E 是BC 边的三等分点， ∴ CE＝BE＝3. ∴ BC＝3＋6＝9 . 好题必解 ∵矩形ABCD的面积是90 ， ∴ BC·CD＝90 . ∴ CD＝10 . ∴ DE＝＝ . ∵PC＋PE＝PD＋PE＝DE，∴PC＋PE＝. 综上，PC＋PE的值为13 或. 好题必解 专题 构造法 10 专题解读 >>本章在运用三角形中位线定理时，往往存在中点而不存在三角形，因此需要构造三角形，为利用三角形中位线定理解题创造条件. 好题必解 如图21－9，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点 M，N分别是AC，DE的中点，连接MN， 则MN的长度为( ) A． B． C．2 D． 例10 好题必解 解题秘方：利用“平行线＋ 中点”模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图21－9，过点C作CG∥AD，连接DM 并延长交CG于点G，连接EG， ∴∠GCM＝ ∠A， ∵点M是AC的中点，∴CM＝AM. 好题必解 又∠GMC＝ ∠DMA，∴△GMC≌△DMA(ASA). ∴CG＝AD＝4，GM＝DM. ∵CG∥AD，∠B＝90°，∴∠GCE＝180°－ ∠B＝90°. ∵CE＝3，∴GE＝＝＝5. ∵GM＝DM，点N是DE的中点，∴MN是△DEG的中位线. ∴MN＝GE＝. 答案：A 好题必解 1. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4 倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引( )条对角线. A．6 B．7 C．8 D．9 类型 多边形内角和的有关计算 1 B 课堂练习 2. 如图， 已知∠MON＝60 °， 正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝____° . 48 课堂练习 3. [期中·郑州登封市] 已知某正多边形的每一个内角的度数等于它相邻外角的3 倍. (1)求这个正多边形的边数； 解：设这个正多边形的一个外角的度数为 x°，则与其相邻的内角等于 3x°， 则x°＋3x°＝180°，解得x＝45.360°÷45°＝8， 即这个正多边形的边数为8. 课堂练习 (2)若截去一个角， 求截完后所形成的新多边形的内角和. 解：截去一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．①当新多边形为九边形时，内角和为(9－2)×180°＝1 260°；②当新多边形为八边形时，内角和为(8－2)×180°＝1 080°；③当新多边形为七边形时，内角和为(7－2)×180°＝900°. 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为1 260°或1 080°或900°. 课堂练习 4. [中考·安徽] 在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边 AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是( ) A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的大小 C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长 类型 巧用平行四边形的性质与判定解题 2 C 课堂练习 5. 如图， 在▱ABCD中，BC＝2AB＝8， 连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点 E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为_______． 课堂练习 6. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O 为对角线AC和BD的交点，且∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为________. 75° 类型 巧用特殊平行四边形的性质与判定解简单的计算题 3 课堂练习 7. 如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F，G，若EG＝2，EF＝6，则BE＝_______. 课堂练习 8. 如图，S菱形ABCD＝24，E 是AB的中点，F 是BC 上的动点. 若S△BEF＝4，则图中阴影部分的面积为_______. 10 课堂练习 9. [中考·滨州]如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处. 若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________． (10，3) 课堂练习 10. 如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展 开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC 交于点P．当AB′与AB，AD 中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是__________________. 82.5°或52.5°或37.5° 类型 巧用特殊平行四边形解折叠问题 4 课堂练习 11. 如图①，有一张平行四边形纸片ABDC，将纸片沿着对角BC线剪开，形成两个全等的三角形，已知∠A＝ 100°，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以2 cm/s的速度运动到图②中 △ DFE 的位置， 连接AF，CD. 类型 巧用特殊平行四边形解动点问题 5 课堂练习 (1)求证：四边形AFDC是平行四边形. 课堂练习 (2)若AC＝4 cm，BC＝10 cm，△DFE沿着BC的方向运动时间为 t s. ①当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由； 解：当t＝3时，四边形AFDC是菱形．理由如下： ∵t＝3，∴BF＝3×2＝6.∴CF＝BC－BF＝10－6＝4. ∵AC＝4，∠ACB＝60°，∴△ACF是等边三角形． ∴AC＝AF. 由(1)知四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形． 课堂练习 ②▱AFDC 能是矩形吗？若能，求出t的值及矩形AFDC的面积；若不能，说明理由. 课堂练习 课堂练习 12.【问题情境】如图①，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM. 类型 巧用特殊平行四边形证线段和差关系 6 课堂练习 【探究展示】 (1)求证：AM＝AD＋MC. 证明：如图①，延长AE，BC交于点N. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC. ∴∠DAE＝∠CNE. ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE. ∴∠CNE＝∠MAE.∴AM＝MN. 易知△ADE≌△NCE.∴AD＝NC. ∴AM＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC. 课堂练习 (2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 解：AM＝DE＋BM成立．证明如下： 如图②，过点A作AF⊥AE，交CB的延长 线于点F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC.∴∠ABF＝90°＝∠D. 课堂练习 ∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°－∠BAE＝∠DAE. ∴△ABF≌△ADE(ASA). ∴BF＝DE，∠F＝∠AED. ∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE. ∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM， ∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM. ∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM. 课堂练习 (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不 变，如图②，探究(1)(2)中的结论是否成立. 请分别作出判断，不需要证明. 解：结论AM＝AD＋MC仍然成立； 结论AM＝DE＋BM不成立． 课堂练习 目录 LOGO 第二十一章 四边形 重点题型 正方形中典型的几何模型 类型 勾股弦图变形图 1 1. 一线三垂直模型 (1)一线三垂直——“L”字模型(如图1) (2)一线三垂直——“K”字模型(如图2) 例 1 如图3，在正方形ABCD中，点E是边AB 上的一动点 (不与点A，B 重合) . 连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF 并延长交BC于点G，连接DG，过 点E作EH⊥DE交DG的延长线于点 H，连接BH. (1)求证： GF＝GC； 证明：如图3，连接DF. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°. ∵点A 关于直线DE 的对称点为F， ∴易知△ADE ≌△FDE. ∴ DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°. ∴ DF＝DC，∠DFG＝90°. 在Rt△DFG 和Rt△DCG 中， ∴ Rt△DFG ≌ Rt△DCG(HL). ∴ GF＝GC. (2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明. 解：BH＝AE. 证明：如图3，在线段AD 上截取AM， 使AM＝AE，连接EM. 由(1)易得∠1 ＝∠2，∠3＝∠4. ∵ 在正方形ABCD 中，AD＝AB，∠ADC＝90°， ∴ AD－AM＝AB－AE，即DM＝BE， ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°. ∴ 2∠2＋2∠3＝90°. ∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDH＝45°. ∵ EH⊥DE， ∴∠DHE＝45°＝∠EDH，∠5＋∠AED＝90°. ∴ DE＝EH. ∵∠A＝90°，∴∠1＋∠AED＝90°. ∴∠1＝∠5. 在△DME 和△EBH 中， ∴△DME ≌△EBH(SAS). ∴ ME＝BH. 在Rt△AME 中，由勾股定理得ME2＝AM2＋AE2， ∴ ME2＝2AE2. ∴ ME＝ AE. ∴ BH＝AE. 2. 十字架模型 在正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如图4 ①中的线段AF与BE，图4 ②中的线段AF 与EG，图4 ③中的线段HF 与EG )满足：若垂直，则相等. 如图5，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG 交CD 于点F，连接AF. 例 2 (1)求证： BE＝CF. 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°. ∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵ BG⊥AE，∴∠BGE＝90°. ∴∠EBG＋ ∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠EBG. ∴△ABE ≌△BCF(ASA).∴ BE＝CF. (2)若正方形ABCD 的边长是5，BE＝2，求AF 的长. 解：∵正方形ABCD 的边长是5，∴ AD＝CD＝5. ∵ BE＝2，∴ CF＝2. ∴ DF＝CD－CF＝5－2＝3. 在Rt△ADF 中，由勾股定理得AF＝＝＝. 类型 绕顶点旋转——半角模型 2 (1)如图6，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则： ①EF＝BE＋DF； ②△CEF的周长是正方 形ABCD边长的2 倍； ③ FA 平分∠DFE，EA 平分∠BEF. (2)如图7，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA 平分∠DFE，则EF＝DF－ BE. 如图8，在正方形ABCD 中，点E是AB上一点，点F 是AD 延长线上一点，且DF＝BE. 例 3 (1)求证： CE ＝CF. 证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴ BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°. ∴∠CDF＝90°＝∠B. 在△CBE 和△CDF 中， ∴△CBE ≌△CDF(SAS). ∴ CE＝CF. (2)旋转图中哪个三角形可以得到△CBE ？怎样进行旋转？ 解：△CDF. 将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°可以得到△CBE. (3)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD 成立吗？为什么？ 解：GE＝BE＋GD 成立. 理由如下： 由(1)知△CBE ≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠DCF＋ ∠ECD＝∠BCE＋∠ECD， 即∠ECF＝∠BCD＝90°. 又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝45°＝∠GCE. 在△ECG 和△FCG 中， ∴△ECG ≌△FCG(SAS). ∴ GE＝GF. ∵ GF＝DF＋GD，BE＝DF， ∴ GE＝BE＋GD. 类型 正方形中过对角线交点的直角问题 3 如图9，在正方形ABCD 中，点O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上. 若∠EOF 为直角，射线OE，OF 分别与DA，AB 的延长线交于点G，H， 连接GH，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH， △OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝ S正方形ABCD. 如图10，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点O 又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点 E，OC1交BC 于点F. 例 4 (1)求证：△AOE ≌△BOF. 证明： 在正方形ABCD和正方形A1B1C1O中，AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°， ∴ ∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°. ∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中， ∴△AOE ≌△BOF(ASA). (2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 解：两个正方形重叠部分的面积等于a2. 理由如下： ∵△AOE ≌△BOF，∴ S△AOE＝S△BOF. ∴ S四边形OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝ S正方形ABCD＝a2. 4 2 证明：由题意，可得△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，DF＝AC，根据平移的性质，得BF＝EC. 在△ABF和△DEC中， ∴△ABF≌△DEC(SAS)．∴AF＝CD. 又DF＝AC，∴四边形AFDC是平行四边形． 解：能．∵▱AFDC是矩形，∠ACB＝60°， ∴∠CAF＝90°<∠CAB＝100°，∠AFC＝30°. ∵AC＝4，∴FC＝8，∴AF＝＝4， BF＝BC－FC＝2，即当t＝1时，四边形AFDC是矩形． S矩形AFDC＝ AC·AF＝4×4＝16(cm2)． $