22.3相似三角形的性质（基础篇）练习2025-2026学年沪科版数学九年级上册

22.3相似三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 对应角相等 若，则，，。 2. 对应边成比例 若，相似比为 (k)，则。 3. 对应高的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AD) 和 (A'D') 分别是对应边 (BC) 和 (B'C') 上的高，则。 4. 对应中线的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AE) 和 (A'E') 分别是对应边 (BC) 和 (B'C') 上的中线，则。 5. 对应角平分线的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AF) 和 (A'F') 分别是和的角平分线，则。 6. 周长的比等于相似比 若，相似比为 (k)，则，其中表示三角形的周长。 7. 面积的比等于相似比的平方 若，相似比为 (k)，则，其中表示三角形的面积。 型 习 练 题 利用相似三角形的性质求解 1．已知两个相似三角形的周长比是，那么对应高的比是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 4．如图，若，且，，．则（   ） A． B． C． D． 5．若，和是对应边，且，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 利用相似求坐标 6．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，，反比例函数图像经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为7，则k的值为（      ） A． B． C． D． 10．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 证明三角形的对应线段成比例 11．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 13．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 14．在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 15．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 相似三角形的判定与性质综合 16．如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．如图，两条直线被三条平行线所截，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 19．如图，，，，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C． D． 20．如图，中，，，，则为（   ） A．40 B．35 C．25 D．20 相似三角形的综合问题 21．如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 22．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．    23．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 24．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC． （1）求证：AB=GD； （2）当CG=EG时，且AB=2，求CE． 25．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3相似三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 对应角相等 若，则，，。 2. 对应边成比例 若，相似比为 (k)，则。 3. 对应高的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AD) 和 (A'D') 分别是对应边 (BC) 和 (B'C') 上的高，则。 4. 对应中线的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AE) 和 (A'E') 分别是对应边 (BC) 和 (B'C') 上的中线，则。 5. 对应角平分线的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AF) 和 (A'F') 分别是和的角平分线，则。 6. 周长的比等于相似比 若，相似比为 (k)，则，其中表示三角形的周长。 7. 面积的比等于相似比的平方 若，相似比为 (k)，则，其中表示三角形的面积。 型 习 练 题 利用相似三角形的性质求解 1．已知两个相似三角形的周长比是，那么对应高的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比也等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴相似比为． 又∵相似三角形的对应高的比等于相似比， ∴对应高的比为． 故选：D． 2．如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 由相似三角形的性质可得，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 3．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为，利用相似三角形的周长比等于对应边之比的性质，列方程求解即可． 【详解】解：设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应边分别是15和23， ∴对应边之比为， ∴ 周长之比也为， 即 ， 解得：， ∴小三角形周长为75，大三角形周长为． 故选：A 4．如图，若，且，，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用了相似三角形的性质，根据，先计算，然后即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．若，和是对应边，且，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比求解． 【详解】解：∵，且，， ∴ 相似比为， ∴与的周长比是. 故选：C． 利用相似求坐标 6．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 8．如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得绕P点逆时针旋转90°，首先直线解析式的b值是不变的，再根据旋转后的图形和原图形相似，根据一次函数的解析式，即可得到答案. 【详解】根据题意可得， 设原图形与x轴交于A点，新函数与x轴交于B点， ∴当y=0时，， 解得x=-1， ∴OA=1，OP=， ∵旋转90°， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴OB=3，则B点坐标为（3,0）， 设，将B（3,0）代入可得 ， ∴. 故选D 【点睛】本题考查求一次函数解析式及三角形相似相关知识，关键是利用旋转后的图形与原图形相似，得到新函数解析式与x轴的交点. 9．如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，，反比例函数图像经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为7，则k的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由OC平分∠AOB，，可得出，即，过A、C两点作x轴垂线，垂足分别为H、G，则有，设A点坐标为，C点坐标为，B点坐标为（b，0），由△AOB的面积为7可求得，再由，列出关于的方程即可求解． 【详解】解：∵OC平分∠AOB， ∴C到OA和OB的距离相等， 设C到OA和OB的距离为h，故，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过A、C两点作x轴垂线，垂足分别为H、G，如图： ∴， ∴ ∵反比例函数图像经过点A、C两点，故可设：设A点坐标为，C点坐标为， 设B点坐标为， ∵△AOB的面积为7， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形和反比例函数结合，掌握角平分线性质得出对应线段的比和根据反比例函数图像上点坐标的特征设坐标是解题关键． 10．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可. 【详解】∵点P的纵坐标为， ∴点P在直线y＝上， ①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)； ②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA， ∴PA2＝AB•OA， ∴＝b﹣1， ∴(b﹣8)2＝48， 解得 b＝8±4， ∴P(1，2+)或(1，2﹣)， 综上所述，符合条件的点P有3个， 故选D．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键. 证明三角形的对应线段成比例 11．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 12．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 13．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 14．在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形，利用相似三角形△的性质解答． 【详解】∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， C点坐标为， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系的知识，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 15．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 相似三角形的判定与性质综合 16．如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，证明，则，即可作答． 【详解】解：∵AC与BD相交于点E， ∴ ∴， ∵ ∴， 故选：C． 17．如图，两条直线被三条平行线所截，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，证得，再证明，证得，代入已知线段求得，从而可求得． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 18．如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，，得，得，代入数据即可求出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 19．如图，，，，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据平行线的性质可得，结合已知证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 20．如图，中，，，，则为（   ） A．40 B．35 C．25 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，由相似三角形的性质可知，结合，进一步即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴， 故选C 相似三角形的综合问题 21．如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 【答案】（1）是位似图形，见解析；（2）平行，见解析 【分析】（1）根据DE∥BC，可得，则有，根据点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，可得和是位似图形； (2) 根据和是位似图形，可得，则有∠ADE=∠B，可得． 【详解】解：(1)和是位似图形． 理由是：, ∴，， ∴， ∴． 又∵点A是和的公共点，点和点是对应点，点和点是对应点，直线与交于点， ∴和是位似图形． (2) ． 理由是：∵和是位似图形， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了位似图形的判定和平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 22．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．    【答案】作图见解析，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）． 【分析】由于点不确定，故分，，三种情况进行讨论． 【详解】解：点的坐标为， ，，，． 如图，当时， ，即， ，， ； 当时， ，即，解得， ， ； 当时， ，即，解得， ； 综上所述，点坐标为：或或．    【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 23．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【答案】（1）见解析  （2） 【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG； （2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG． 【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F ∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= ∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键． 24．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC． （1）求证：AB=GD； （2）当CG=EG时，且AB=2，求CE． 【答案】（1）见解析；（2）CE=. 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵D，E是AC，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，AB=2DE， ∴∠ABF=∠DGF， ∵F为AD中点， ∴AF=DF， 在△ABF和△DGF中， ∴△ABF≌△DGF（AAS）， ∴AB=GD； （2）∵AB=2， ∴CD=2，DE=1， ∴GE=3， ∵CA=CB， ∴∠CAB=∠CBA， ∵CG=EG， ∴∠GEC=∠GCE， ∵DE∥AB， ∴∠GEC=∠CBA， ∴△GEC∽△CBA， 设CE=x， 则BC=2x， ∴，即， 解得：，（负值舍去） ∴CE=. 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键． 25．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 【答案】x= 【分析】作CF⊥AB，交DE于点H，利用面积法求出CF的长，易证△DEC∽△ABC，CH:CF=DE:AB，即（-x）：=nx：5 【详解】作CF⊥AB，交DE于点H 易得CF= ∵DE∥AB ∴△DEC∽△ABC 又∵CH⊥DE，CF⊥AB ∴CH:CF=DE:AB ∴（-x）：=nx：5 解得x= 学科网（北京）股份有限公司 $