22.2相似三角形的判定（基础篇）练习2025-2026学年沪科版数学九年级上册

22.2相似三角形的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 · 若直线 ( DE // BC )，且 ( D ) 在 ( AB ) 上，( E ) 在 ( AC ) 上，则。 2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） · 若在和中，，且，则。 3. 三边成比例的两个三角形相似（SSS） · 若在和中，，则。 4. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） · 若在和中，，，则。 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL） · 若在和中，，且（或），则。 型 习 练 题 利用两角对应相等判定相似 1．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 2．平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到． 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 3．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 4．如图，在中，，点P在边上，过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 过点作于点，作于点，作交于点，利用相似三角形的判定可得，，，于是可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作交于点， ， 又，，， ，，， 过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画条， 故选：． 5．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 利用三边对应成比例判定相似 6．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 7．图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 8．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 9．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 10．如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴共有3组， 故选：A． 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似 11．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 12．能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，熟悉判定定理是解题的关键． 根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等）进行分析即可． 【详解】解：∵，且． ∴． 故选：D． 13．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 14．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 相似三角形的判定综合 15．如图，已知点D，E，F分别是三边的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理；由三角形中位线定理得，，，求出对应边的比值，即可得证． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是三边的中点， ∴是的中位线， ，，， ， ． 16．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)相似．理由见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 17．如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：．理由如下： 由题意得， ， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法，在边上找一点F，使得与相似．（作出符合题意的一个点F即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定． 由得到，因此作使，得或其它对应相等的一组角即可得到与相似． 【详解】解：如图，点F即为所求作． 由作图可知：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．将两块等腰直角三角板如图摆放在同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用“”连接． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质，相似判定及性质等． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 注：答案不唯一． 学科网（北京）股份有限公司 $22.2相似三角形的判定 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 平行于三角形一边的直线 两边成比例目夹角相等 三边成比例 新课探索 两角分别相等 斜边和一条直角边成比例 讲义内容 利用两角对应相等判定相似 利用三边对应成比例判定相似 题型练习 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似 相似三角形的判定综合 新 课 探 索 1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似 ·若直线(DE∥BC),且（D)在(AB)上，(E)在(AC)上，则 (△ADE~△ABC. 2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(SAS) ·若在（△ABC)和（△A'BC)中，号=，且(LA=∠A),则 (△ABCN△A'B'C。 3.三边成比例的两个三角形相似(SSS) ·若在（△ABC)和(AA'B'C)中，号=器=，则（△ABC~△AB'C)。 4.两角分别相等的两个三角形相以（AA) ·若在(AABC)和（△A'B'C)中，∠A=∠A'，∠B=∠B，则 （△ABCN△A'B'C). 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) ·若在(Rt△ABC)和(Rt△A'B'C)中，∠C=∠C'=90°，且（号=）（或 (号=)，则(RtA ABC~Rt△A'B'C) 型 练 ■ 利用两角对应相等判定相似 1.如图，在锐角ABC中，BE、CD分别是边AC、AB上的高，它们相交于点O,则图 中与△BOD相似的三角形（不含△BOD)有(） A D E B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.平行四边形ABCD的对角线相交于点O,OE‖AB,则与△BOE相似的三角形有() A D B E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.己知ABC如图所示，则下列三角形中，与ABC相似的是() /50° 6 6 B D 50o 5 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点P在边AC上，过P画直线截ABC使截得的三角 形与ABC相似，这样的直线最多可画() A P 8h A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.如图，选项中的阴影三角形与ABC相似的为() 利用三边对应成比例判定相似 6.一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为 30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符 合条件的是() A.15厘米、18厘米 B.20厘米、24厘米 C.25厘米、50厘米 D.36厘米、60厘米 7.图中三角形相似的是() 27 36 30 30 Is 20 15 15 25 45 20 42 (1) (2) (3) (4) A.(1)和(2)B.(1)和(3) C.(2)和(3) D.(3)和(4) 8.已知ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是() A.AB=4,BC=8,AC=10;DE=20,EF=16,DF=8 B.AB=3,BC=4,AC=6;DE=6,EF=8,DF=9 C.AB=12,BC=15,AC=24;DE=16,EF=30,DF=20 D.AB=3k,BC=4k,AC=5k DE=6k,EF=7k,DF=8kk>0 9.己知ABC的三边长分别为12cm,15cm,18cm,△DEF的一边长为4cm,当aDEF的另两 边长是下列哪一组时，这两个三角形相似() A.2cm,3cm B.4cm,5cm C.5cm,6cm D.6cm,7cm 1O.如图，在ABC中，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，且AB=3DB, B0=3EC,CP-号PA,测图中的相似三角形有{） A.3组 B.2组 C.1组 D.0组 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似 11.如图，根据图中给出的数据，一定能得到() B E 6 A.△AEDn△CED B.△ABE∽△ACB C.△ABCn△EDC D.△AEDn△CBA 12.能判定△ABC∽△DEF的条件是() A.ABBC AB AC B. DE EF DE DF ,∠A=∠F AB AC ∠B=∠E D. AB AC C.DE DF ,∠A=∠D DEDE 13.如图，点P在ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件，不正确的是 () A.∠ABP=∠CB.LAPB=LABC C.4B-4AC BP CB D.AB2=AP.AC 14.如图，已知∠1=∠2，点D在BC上，添加下列条件后，仍无法判定ABC与ADE相 似的是() A.∠B=∠E B.∠2=∠EDC c投怨 D.DE∥AB 相似三角形的判定综合 15.如图，已知点D,E,F分别是ABC三边的中点，求证：△EDFn△ACB. D 16.如下图，AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24. (I)判断ABC与ADE是否相似，并说明理由， (2)若∠BAC=125°，∠EAC=70°，求∠CAD的度数. 17.如图，四个乡镇A,B,C,D之间建有公路，已知 AB=12km,BC=33km,CD=27km,AD=22km,BD=18km.试判断AB与CD的位置关系， 并说明理由. D B I8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为BC边上一点，请用尺规作图法，在DE边 上找一点F,使得△ECF与ADE相似.（作出符合题意的一个点F即可，保留作图痕迹， 不写作法) D B E 19.将两块等腰直角三角板如图摆放在同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用 “n”连接。