22.1比例线段（基础篇）练习2025-2026学年沪科版数学九年级上册

22.1比例线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 比例线段 1. 比例线段的定义：在四条线段(a)、(b)、(c)、(d)中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或），那么这四条线段(a)、(b)、(c)、(d)叫做成比例线段，简称比例线段。 2. 比例的基本性质：如果，那么（交叉相乘）；反之，如果（(b)、(d)不为(0)），那么。 3. 比例的合比性质：如果，那么。 4. 比例的等比性质：如果（），那么。 5. 黄金分割：点(C)把线段(AB)分成两条线段(AC)和(BC)（(AC > BC)），如果，那么称线段(AB)被点(C)黄金分割，点(C)叫做线段(AB)的黄金分割点，(AC)与(AB)的比叫做黄金比，其值为。 相似图形 1. 相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形的大小不一定相同。 2. 相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边成比例。 相似多边形 1. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 2. 相似多边形的性质： · 相似多边形的对应角相等。 · 相似多边形的对应边成比例。 · 相似多边形周长的比等于相似比。 · 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 3. 相似多边形的判定：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。 型 习 练 题 比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 2．在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【答案】B 【分析】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 18000000厘米千米 答：两地间的实际距离是180千米． 故选：B． 3．下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； C．，则是成比例线段，故该选项符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义，得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：A． 5．现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，四条线段成比例，那么一定满足最短的线段的长与第二短的线段的长的比值等于第三短的线段的长与最长的线段的长的比值，据此列式求解即可． 【详解】解：∵有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．且这四条线段是成比例线段， ∴， ∴， 故选：D． 比例的性质 6．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．熟练掌握合比性质，是解题的关键．将所求表达式拆分为两部分，利用已知比例直接计算． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：A． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，主要利用了等比性质，解题的关键是熟练掌握等比性质． 利用等比的性质：如果，那么，据此解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 8．若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积进行判断． 【详解】解：， ，， 故A，B，D错误，C正确； 故选：C． 9．若，且，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案． 【详解】解：∵， 设， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 10．若（），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 比例与平行线 11．已知线段，求作线段（虚线均为平行线），使，下列作法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理和比例的性质一一分析即可． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项不符合题意； B 、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项不符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项不符合题意； D、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项符合题意． 故选：D． 12．小华将一支油画棒放在画有横线的笔记本上，如图是抽象出的部分图案，其中，横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等．线段表示长度为的油画棒，则油画棒的一部分的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所截线段对应成比例是解题的关键．过点A作交点B所在直线于点E，交点C所在直线于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：过点A作交点B所在直线于点E，交点C所在直线于点D， 横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等， ，即． ． 故选：C． 13．如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴A错误； 故选：A． 14．如图，，若，，则的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意可得，再由平行线分线段成比例定理得出，代入计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 15．如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据可得，结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 黄金分割 16．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，关键是熟练应用定义解题； 根据黄金比的定义，宽与长之比为 ，已知宽求长，通过比例关系计算即可． 【详解】解：设长为 ， ∵ 宽与长之比为黄金比，即 ， ∴ ， ∴ ， 有理化分母：， ∴ 长为 ． 故答案为：A． 17．黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故选B． 18．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的定义．把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故选：A． 19．已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为整条线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故选：A． 20．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比．如图，B为的黄金分割点（即）．若，则的长约为（   ） A．42 B．38.2 C．61.8 D．70 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，cm， ∴， ∴； 故选B． 相似图形 21．下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的多边形相似．逐一判断每组图形是否满足条件． 【详解】解：∵ ①两个矩形对应角相等（均为），但对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ②两个正方形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ③两个等腰三角形对应角不一定相等（如顶角可能不同），对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ④两个等边三角形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ⑤两个菱形有一个角为，则所有对应角相等（均为、、、），且对应边成比例（四边相等，边长比相同）， ∴ 一定相似． ∴ 一定相似的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 22．下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 23．下列图形中，一定相似的一组是（　　） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是厘米和厘米的两个菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定． 根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵菱形的四边相等，且对角相等，邻角互补， ∴如果一个内角为，则其余内角分别为、、， ∴两个有一个内角为的菱形，所有对应角相等，且对应边成比例（因边长比恒定）， ∴它们一定相似． 对于A：两个直角三角形，锐角不一定相等，故不一定相似； 对于B：两个等腰三角形，顶角不一定相等，故不一定相似； 对于D：两个菱形仅边长给定，但内角不一定相等，故不一定相似； 故选：C． 24．2025年是乙巳蛇年，传统文化中蛇象征着智慧、机敏与神秘感，也寓意着通过思考与创新突破困境．如图是一张蛇年吉祥物的图片，其中蕴含的变换关系是（   ）    A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的全等 D．图形的相似 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及相似是解题的关键，根据平移、旋转、轴对称及相似可进行求解． 【详解】解：由图可知是两个形状一样，大小不一样的吉祥物， ∴其中蕴含的变换关系是图形的相似． 故选：D． 25．下列各组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，回顾一下，相似图形的定义；如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似； 结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：选项A、B、D中图形是相似图形，选项C中两个图形形状不相同， 故选：C． 相似多边形 26．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 27．下列说法中，错误的是（      ） A．菱形都相似 B．正三角形都相似 C．正方形都相似 D．等腰直角三角形都相似 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的定义，根据相似多边形的定义，需对应角相等且对应边成比例．菱形虽四边相等，但角不一定相等，因此不一定相似；而正三角形、正方形和等腰直角三角形均满足对应角相等且对应边成比例，因此都相似． 【详解】∵相似多边形需对应角相等且对应边成比例， ∵菱形只保证边对应成比例，但角不一定对应相等， ∴菱形不一定都相似，故A错误； ∵正三角形所有角均为，且三边成比例， ∴正三角形都相似，故B正确； ∵正方形所有角均为，且四边成比例， ∴正方形都相似，故C正确； ∵等腰直角三角形两底角均为，顶角，且对应边成比例， ∴等腰直角三角形都相似，故D正确． 故选：A． 28．已知，如图，四边形四边形，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质． 根据相似图形的性质得到，根据多边形内角和计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∴． 故选：C． 29．如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边的比相等是解题的关键． 根据相似多边形的性质得到，结合题意得到，即可求出结果． 【详解】解：矩形与矩形相似， ，即， ∵， ∴， ， ：， 故选：． 30．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的性质可知，然后代入计算求解即可，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1比例线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 比例线段 1. 比例线段的定义：在四条线段(a)、(b)、(c)、(d)中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或），那么这四条线段(a)、(b)、(c)、(d)叫做成比例线段，简称比例线段。 2. 比例的基本性质：如果，那么（交叉相乘）；反之，如果（(b)、(d)不为(0)），那么。 3. 比例的合比性质：如果，那么。 4. 比例的等比性质：如果（），那么。 5. 黄金分割：点(C)把线段(AB)分成两条线段(AC)和(BC)（(AC > BC)），如果，那么称线段(AB)被点(C)黄金分割，点(C)叫做线段(AB)的黄金分割点，(AC)与(AB)的比叫做黄金比，其值为。 相似图形 1. 相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形的大小不一定相同。 2. 相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边成比例。 相似多边形 1. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 2. 相似多边形的性质： · 相似多边形的对应角相等。 · 相似多边形的对应边成比例。 · 相似多边形周长的比等于相似比。 · 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 3. 相似多边形的判定：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。 型 习 练 题 比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 2．在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 3．下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 比例的性质 6．若，则（） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若，且，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．若（），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 比例与平行线 11．已知线段，求作线段（虚线均为平行线），使，下列作法中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．小华将一支油画棒放在画有横线的笔记本上，如图是抽象出的部分图案，其中，横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等．线段表示长度为的油画棒，则油画棒的一部分的长度为（   ） A． B． C． D． 13．如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，，若，，则的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 15．如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，则的长为（ ） A． B． C． D． 黄金分割 16．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 17．黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 18．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 19．已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是（   ） A． B．3 C． D． 20．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比．如图，B为的黄金分割点（即）．若，则的长约为（   ） A．42 B．38.2 C．61.8 D．70 相似图形 21．下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 23．下列图形中，一定相似的一组是（　　） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是厘米和厘米的两个菱形 24．2025年是乙巳蛇年，传统文化中蛇象征着智慧、机敏与神秘感，也寓意着通过思考与创新突破困境．如图是一张蛇年吉祥物的图片，其中蕴含的变换关系是（   ）    A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的全等 D．图形的相似 25．下列各组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 相似多边形 26．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 27．下列说法中，错误的是（      ） A．菱形都相似 B．正三角形都相似 C．正方形都相似 D．等腰直角三角形都相似 28．已知，如图，四边形四边形，，，，则（   ） A． B． C． D． 29．如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $