22.1 第3课时　比例的性质与黄金分割课件 2024-2025学年沪科版数学九年级上册

22.1　比例线段 第22章 相似形 - 第3课时　比例的性质与黄金分割 探究与应用 课堂小结与检测 第22章　相似形 活动1　探究比例的性质 [合作探究] (1)如果四个数a,b,c,d成比例,即=(b,d≠0),那么ad=bc吗?反过来,如果ad=bc(b,d≠0),那么a,b,c,d四个数成比例吗? 解:等式两边同时乘以bd,得ad=bc;反过来,在等式ad=Bc (b,d≠0)两边同时除以bd,得,那么a,b,c,d四个数成比例. 探究与应用 (2)=还有其他性质吗?如果等式两边同时加上1,可以得到什么? 解: 有.在等式两边同时加上1,得. 探究与应用 (3)如果==…=且b1+b2+…+bn≠0,那么=是否成立?若成立,请给出证明过程. 解:成立.证明:设=…==k,得a1=kb1,a2=kb2,…,an=kbn, ∴=k. ∴. 探究与应用 [概括性质] 比例的基本性质及合比、等比性质: (1)基本性质:如果=,那么ad=bc(b,d≠0).反之也成立,即如果ad=bc,那么=(b,d≠0). (2)合比性质:如果=,那么=(b,d≠0). (3)等比性质:如果==…=,且b1+b2+…+bn≠0,那么=. 探究与应用 [应用迁移] 例1 (教材补充例题)根据下列条件,求a∶b的值: (1)4a=5b;　　　　　　　　　　(2)=. 解:(1)∵4a=5b,∴. (2)∵,∴8a=7b.∴. 探究与应用 例2 (教材典题)已知:如图22-1-10,在△ABC中,=. 求证:(1)=;(2)=. 证明:(1)∵,∴. ∴. (2)∵,∴.∴. ∴.∴. 图22-1-10 探究与应用 变式 如图22-1-11,==,求和的值. 解:由,得+1=+1,即, ∴. 从而,则. 同理可得. 由等比性质,得. 图22-1-11 探究与应用 例3 (教材典题)在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少? 解:根据题意,得,即. 又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm), ∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5000=60000(cm)=600(m). 答:实际△A'B'C'的周长是600 m. 探究与应用 活动2　探究黄金分割体现数学美 [典例探究] 如图22-1-12,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP的长和的值. 图22-1-12 探究与应用 解:设AP=x,那么PB=a-x. 根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0. 解方程,得x=a. 因为线段长度不能是负值,所以取x=a, 即AP=a. 于是≈0.618. 探究与应用 [概念学习] 黄金分割:把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值　　　　叫做黄金数.  探究与应用 [应用迁移] 例4 (教材补充例题)如图22-1-13,在矩形ABCD中,AB=-1, AD=2,且四边形ABEF是正方形,则E是BC的黄金分割点吗?如果是,请说明理由.　 解:是. 理由:∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=2. ∵四边形ABEF是正方形,∴BE=AB=-1. ∴.∴E是BC的黄金分割点. 图22-1-13 探究与应用 设参数“k”法是我们初中数学常用的方法,在求线段比、角度比、面积比等许多问题时应用广泛. 探究与应用 “黄金分割”的对称性 一条线段的黄金分割点有两个,这两个黄金分割点分别靠近两个端点,且这两个黄金分割点关于线段的中点对称. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 [检测] 1.(2022山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的 (　　) A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割 D 图22-1-14 课堂小结与检测 2.如果2x=5y(y≠0),那么=　　　.  3.若=,根据合比性质,得=　　　.  4.若==≠0,则=　　　.  　 　 课堂小结与检测 5.已知A,B两地的实际距离为100 km,地图上的比例尺为1∶2000000,则A,B两地在地图上的距离是　　　cm.  5 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$