21.3二次函数与一元二次方程（基础篇）练习2025-2026学年沪科版数学九年级上册

23.2中心对称 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数的一般式与一元二次方程：二次函数的一般形式为（）。当二次函数的函数值 ( y = 0 ) 时，得到一元二次方程（）。 2. 二次函数图像与x轴交点的意义：二次函数的图像与x轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程的实数根。若图像与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根；有一个交点（相切），则方程有两个相等的实数根；没有交点，则方程没有实数根。 一元二次方程根的判别式与二次函数图像 1. 根的判别式：对于一元二次方程（），其判别式为。 2. 判别式与交点个数的关系： · 当时，方程有两个不相等的实数根，，二次函数图像与x轴有两个不同的交点和。 · 当时，方程有两个相等的实数根，二次函数图像与x轴有一个交点（顶点在x轴上），坐标为。 · 当时，方程没有实数根，二次函数图像与x轴没有交点。 二次函数的零点 1. 零点的定义：二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的实数根。 2. 零点与方程根的关系：二次函数的零点就是对应的一元二次方程的实数根，若方程有实数根，则函数有零点；反之，函数有零点，则方程有实数根。 型 习 练 题 求抛物线与坐标轴的交点 1．已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 2．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x 的一元二次方程的两个实数根是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 已知函数值求自变量的值 6．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 8．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 10．抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 根据图像确定方程根的情况 11．若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 12．已知二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 14．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 15．已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 图像法解一元二次不等式 16．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 17．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 18．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 19．已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 20．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 利用不等式求自变量或函数值的范围 21．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 22．若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 23．已知二次函数与一次函数的图象交于和，则能使成立的的取值范围是 A． B． C． D．或 24．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 25．抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2中心对称 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数的一般式与一元二次方程：二次函数的一般形式为（）。当二次函数的函数值 ( y = 0 ) 时，得到一元二次方程（）。 2. 二次函数图像与x轴交点的意义：二次函数的图像与x轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程的实数根。若图像与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根；有一个交点（相切），则方程有两个相等的实数根；没有交点，则方程没有实数根。 一元二次方程根的判别式与二次函数图像 1. 根的判别式：对于一元二次方程（），其判别式为。 2. 判别式与交点个数的关系： · 当时，方程有两个不相等的实数根，，二次函数图像与x轴有两个不同的交点和。 · 当时，方程有两个相等的实数根，二次函数图像与x轴有一个交点（顶点在x轴上），坐标为。 · 当时，方程没有实数根，二次函数图像与x轴没有交点。 二次函数的零点 1. 零点的定义：二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的实数根。 2. 零点与方程根的关系：二次函数的零点就是对应的一元二次方程的实数根，若方程有实数根，则函数有零点；反之，函数有零点，则方程有实数根。 型 习 练 题 求抛物线与坐标轴的交点 1．已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确； ∵， ∴图象的顶点坐标是，故B错误； 令，则，解得，， ∴图象与轴的交点坐标是，，故C正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，故D正确； 故选：B． 2．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x 的一元二次方程的两个实数根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的对称轴，关于x的一元二次方程的两实数根，就是二次函数（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：∵二次函数的解析式是（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：． 又∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为， ∴根据抛物线的对称性可知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， ∴关于x的一元二次方程的两实数根分别是，． 故选：A． 3．已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，掌握顶点式的性质是解题关键． 利用顶点式求出对称轴，然后利用轴对称的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴对称轴为直线， 假设抛物线与x轴的另一个交点是， ∴， 解得， ∴另一个交点为， 故选：B． 4．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 将已知交点代入抛物线解析式，求出参数关系，从而求出该函数的对称轴为直线，再根据对称性求出与x轴的另一个交点坐标，从而求出方程的两实数根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， 把代入得， ，可得， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标， ∴方程的根是，． 故选：B． 5．抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】考查知识点为二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程判别式的应用．解题思想与方法：利用“函数与坐标轴的交点，即分别令、”的方法，结合一元二次方程判别式判断与x轴的交点情况，体现了代数与几何结合的思想．解题关键：准确计算判别式的值，以判断抛物线与x轴的交点个数；同时牢记与y轴交点的求法．易错点：容易忽略与y轴的交点，或在计算判别式时出错，导致交点个数判断错误． 首先求与y轴的交点：令，代入抛物线解析式计算y的值，得到与y轴的交点．接着求与x轴的交点：令，得到一元二次方程，通过计算判别式的值，判断方程的解的个数，即可． 【详解】与y轴交点：令，得，即，1个交点． 与x轴交点：令，方程的判别式，无交点． 所以交点个数为． 故选：C． 已知函数值求自变量的值 6．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 7．根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：由表格可知，在内，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 在内，必有一个x的值对应的函数值， 方程（，为常数）一个根x的范围是， 故选：D． 8．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【详解】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 9．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 10．抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与抛物线的交点问题，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解答此题的关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为， 故选：D． 根据图像确定方程根的情况 11．若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据图象即可求得关于的一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图象可知二次函数与轴的交点，， ∴关于的一元二次方程的解是，， 故选：． 12．已知二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最大值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根，即有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴， 解得：. 故选：B． 13．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 14．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（   ） A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线与轴的交点个数确定△的符号，并利用对称性是解题的关键．根据图象判断二次函数与各项系数符号的关系． 【详解】解：图象与轴的负半轴相交， ，故①不正确； 当时，， 即， ， ， ， 解得，故②不正确； 对称轴为直线，， ，即，故③正确； 图象与轴有两个交点， ，即， ，故④正确； 二次函数与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确的有：③④⑤， 故选：B． 15．已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是求解出二次函数与x轴正半轴的交点． 根据二次函数的图像可知对称轴为，则可得二次函数与x轴正半轴的交点，由此可得一元二次方程的正数解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且与x轴负半轴的交点为， ∴二次函数与x轴正半轴的交点为， ∴关于x的一元二次方程的正数解为1． 故选：A ． 图像法解一元二次不等式 16．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 17．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 18．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 19．已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】根据图象可得，，则的取值范围是， 故选：B． 20．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故选：C 利用不等式求自变量或函数值的范围 21．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 22．若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意二次函数的图像在的部分与x轴要有两个公共点，所以只需把x= 和x=5代入二次函数解析式中，使得它们对应的函数值大于或等于零即可，最后构建不等式组求解即可． 【详解】 二次函数的图像在的部分与x轴有两个交点 当 x=和x=5时，得 解得 此不等式的解集为 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像，关键是根据题意得到在自变量所对应的函数图像是在x轴的上方还是下方，也可以试着画函数图像来分析问题，进而构建不等式组来求解． 23．已知二次函数与一次函数的图象交于和，则能使成立的的取值范围是 A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】试题分析：二次函数与一次函数的图象交于和，，那么从图象上来看就是二次函数的图象要比一次函数的图象高，在本题的图象中即是A点的左边和B点的右边部分，的取值范围为或 考点：一次函数和二次函数 点评：本题考查一次函数和二次函数的图象；要求考生熟练掌握其性质，会通过观察图象求解不等式的解 24．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确； 一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确； 由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确； 当时，或，故D选项错误； 故选D． 25．抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 首先根据二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后根据平移的性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标为和，再根据抛物线的开口方向即可求得当时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $