21.1二次函数（基础篇）练习2025-2026学年沪科版数学九年级上册

21.1二次函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数的定义 一般地，形如（(a)、(b)、(c)是常数，且）的函数叫做二次函数。其中(x)是自变量，(y)是(x)的函数，(a)是二次项系数，(b)是一次项系数，(c)是常数项。 二次函数的解析式 1. 一般式：（），其中(a)、(b)、(c)为常数。 型 习 练 题 列二次函数关系式 1．将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 2．国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为m，该药品的原价是100元，两次降价后的价格是n元，则n与m关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据降价规律列出与的函数关系式，再结合函数性质与特殊值分析图象． 先根据降价规律列出二次函数关系式，确定其为开口向上的曲线；再代入特殊值计算得，结合选项验证，选出符合条件的图象． 【详解】解：∵药品原价为100元，平均每次降价的百分率为m， ∴第一次降价后价格：，第二次降价后价格： ∴此函数是二次函数，形式为， ∵， ∴图象是开口向上的曲线，选项B直线，对应一次函数，不符合题意； 在函数中，取特殊值，计算对应n， ， 当时，，与计算结果一致，故选项A符合题意； 当时，，但实际计算得，故选项C不符合题意； 当时，，与计算结果36不符，故选项D不符合题意；． 故选：A． 3．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数的解析式．根据题意，与的平方成正比，可设，再代入已知条件求出比例常数，即可得到函数关系式． 【详解】解；∵ 与成正比， ∴ 设（为常数）， 当时，， ∴ ， 解得，， ∴． 故选：A． 4．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 5．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 二次函数的识别 6．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的一般式是解题的关键．根据二次函数的定义（形如 ，其中 ），判断每个选项是否符合． 【详解】解： 选项 A: ，符合 形式，且 ，是二次函数，此选项符合题意； 选项 B: ，含有分式， 不是二次函数，此选项不符合题意； 选项 C: ，简化得 ，是一次函数， 不是二次函数，此选项不符合题意； 选项 D: ，是一次函数，不是二次函数，此选项不符合题意． 故选：A． 7．下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为常数，且，并能据此判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，对各选项逐个分析，即可求解． 【详解】解：根据二次函数是最高次项为二次且二次项系数不为0的整式函数，可知， A、当，不是二次函数，故选项A不符合题目要求， B、是分式函数，不是二次函数，故选项B不符合题目要求， C、是二次函数，故选项C符合题目要求， D、是一次函数，不是二次函数，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 8．下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、是二次函数，故C符合题意； D、是常数函数，故D不符合题意． 故选：C． 9．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如 的函数是二次函数．逐一判断每个函数是否符合定义即可． 【详解】解：①，是二次函数； ②，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ∴ 是二次函数的有①和③，共2个． 故选：B 10．下列函数不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，且必须是整式函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可； 【详解】二次函数必须是整式函数，且最高次项为2次， 选项：，含有根号，不是整式函数，故不是二次函数； 选项：，可化为，是二次函数； 选项：，展开为，是二次函数； 选项：，展开为，是二次函数； 不是二次函数的是． 故选． 根据二次函数的定义求参数 11．若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 12．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：B． 13．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，， ∴，， 解得， 故选：D． 14．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 15．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 待定系数法求二次函数解析式 16．已知二次函数图象与轴的交点是，，与轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查二次函数，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据自变量的值求函数值，再进行判定即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把，，， 代入，得：， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴点不在此抛物线上． 17．已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； 抛物线的关系式为． 18．已知抛物线图像，经过点，，三点，求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数表达式，根据待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线的表达式为， 将，，代入， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 19．根据条件求二次函数的解析式 (1)抛物线过，，三点； (2)抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设一般式，用待定系数法求出解析式； （2）设顶点式，用待定系数法求出解析式； 本题考查求二次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式． 【详解】（1）设出抛物线的解析式为， 将点，代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 抛物线与轴交点的纵坐标为， ， 解得． 抛物线的解析式是， 即． 20．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，用待定系数法求函数的解析式即可． 【详解】解：将点、代入得： ， 解得：， ∴． 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15．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 待定系数法求二次函数解析式 16．已知二次函数图象与轴的交点是，，与轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 17．已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 18．已知抛物线图像，经过点，，三点，求抛物线的表达式． 19．根据条件求二次函数的解析式 (1)抛物线过，，三点； (2)抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 20．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $