21.1二次函数专题训练2025－2026学年沪科版数学九年级上册

21.1 二次函数 专题训练 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 4．如果函数是关于x的二次函数，那么m的值是（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0 5．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 6．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 7．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 8．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 9．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 10．小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现是n的二次函数．设，下列说法正确的是（ ） n 1 2 3 4 5 … n 数列 0 1 1 … A．S有最大值 B．当时， C．S有最小值为 D．当时， 二、填空题 11．已知抛物线过点则 ． 12．已知函数 是关于x 的二次函数，则m= ． 13．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 ． 14．已知抛物线的顶点为，且经过原点，则抛物线的解析式为 ． 15．如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ． 三、解答题 16．求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点，和； (2)图象顶点坐标为，且经过点． 17．数学课上，老师让甲、乙、丙三位同学分别计算当，2，4时，二次函数的值，甲、乙两同学正确算得当时，；当时，．丙同学由于看错了n而算得当时，． (1)求m，n的值； (2)丙同学把n看成了什么数？请你通过计算把它求出来． 18．已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 19．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 20．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求的面积； (3)在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.1 二次函数 专题训练2025－2026学年沪科版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B A A D C B D 1．C 【分析】本题考查了二次函数的定义．利用二次函数的一般形式为：是常数，，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、符合二次函数的定义，故本选项符合题意； D、不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 3．A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是， ∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 8．C 【分析】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 9．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式. 设二次函数的表达式为：，根据待定系数法求出，根据得到，进而作答即可. 【详解】解：设二次函数的表达式为：， 将、、代入上式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 则， 当时， 故选：D. 11． 【分析】本题考查了二次函数图像上点的特征以及二次函数的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 将点的坐标代入，得出的值即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴ ∴ 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（，，为常数且）可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：或， 又∵， ∴， 综上所述：， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 14． 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．先根据顶点坐标，设抛物线的解析式为，再把代入解析式，得到的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把代入得 ， 解得：． ∴抛物线解析式为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．先得到，，则，再利用得到，可得到C点坐标为，设二次函数的解析式为，把C点坐标代入可求出a的值为，代入求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴C点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题目特点灵活选取二次函数解析式的形式是解题的关键； （1）由题意，设二次函数的表达式，把三点坐标代入函数式中，解方程组即可求解； （2）设抛物线的解析式为顶点式为，把代入求出a的值，即可得到解析式． 【详解】（1）解：由题意，设二次函数的表达式， 把，和代入得：， ． 二次函数的表达式． （2）解：由题意，设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． 17．(1) (2)丙同学把n看成了 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）把，和，分别代入，列出方程组求出m，n的值即可； （2）由得，代入，求出此时的值，即可解答． 【详解】（1）解：把，和，分别代入， 得， 解得：； （2）解：由得， 把，代入，得， 解得， 所以丙同学把n看成了． 18．(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 19．(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， ∴． （2）解：当时，， ∴， 设与轴交于点，过点作于点，   平分，， ∴，， ∴， ∴ ， ， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 抛物线的对称轴为直线， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 当时，解得：或， ∴，， ∴， 当，时，， 解得：或（舍）， ∴； 当时，， 解得或（舍， ∴； 当，时，， ∴， 解得：或舍， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或． 20．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式； （2）先求出函数的对称轴和直线的函数表达式，过D作交于点F，交于点E，用式子表示出的面积从而求出D的坐标，进一步可得的面积； （3）根据平行四边形的性质，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标． 【详解】（1）解： ，， ，， 将，代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）由，得， 设直线的表达式为，把代入，得， 解得， ， 如下图，过D作交于点F，交于点E， 设，则， ， 由题意，得，整理得， 解得，； 由于动点D在抛物线的对称轴直线l：的右侧，所以不合题意，舍去． ， ，， ； （3）存在，分情况讨论如下： ①当为边时：如图1所示，当，时，四边形即为平行四边形， 抛物线上点D关于对称轴直线的对称点为， 此时，点M与点O重合，四边形即为平行四边形． 当时，四边形为平行四边形； ②当为对角线时：如图2所示，当，时，四边形为平行四边形， 过点N作轴于P点，过点D作轴于F点，由题意，得， 此时N点纵坐标为， 将代入，得，解得， 此时或，四边形为平行四边形， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $