高二数学上学期期末模拟卷01（范围：空间向量与立体几何+平面解析几何+排列组合与二项式定理+概率统计）高二数学上学期人教B版

2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两条直线垂直求出的关系，利用充分条件和必要条件求解. 【详解】，若， 则， 由可以得到，但是由不一定得到， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长. 【详解】椭圆E：的长半轴长，半焦距， 则点为椭圆的左焦点，其右焦点为， 而直线恒过定点， 所以的周长为. 故选：D 3．四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为， 所以，点为的中点， 所以，即. 故选：B 4．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（    ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 【答案】B 【分析】设圆心，由得出圆心和半径，进而得出方程. 【详解】设圆心，因为，所以， 解得，则半径为，圆心. 即圆C的标准方程为. 故选：B 5．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求 的面积，结合对称性可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 6．已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】C 【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C 7．年高考考场的规格为每场名考生，分为排列，依照下图所示的方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（    ） 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 25 24 13 12 01 第一排 26 23 14 11 02 第二排 27 22 15 10 03 第三排 28 21 16 09 04 第四排 29 20 17 08 05 第五排 30 19 18 07 06 第六排 A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】考虑甲、乙、丙三人使用卷，则这三个人的座位号都为奇数，对三个人选择奇数列的人数进行分类讨论，确定第一、二、三个人选择座位的种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得出三人使用卷的座位排法种数，再由对称性可得出三人都使用卷座位排法种数，综合可得结果. 【详解】先考虑甲、乙、丙三人使用卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况讨论： （1）若这三人都在奇数列，则有一人需在第一列选一个奇数号的座位，有种情况， 然后有一人在第三列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能同在一排，只有种情况， 最后一人只能在第五列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的座位只有一个， 此时，不同的排法有种； （2）三人中只有两人在奇数列，首先在第一、三、五列中选两列，有种选择， 其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 此时，共有种不同的排法； （3）三人中只有一人在奇数列，第一个人在第一、三、五列中随便选择一个奇数号的位置，有种选择， 其次，第二个人在第二列中选择一个奇数号的位置，有种选择，例如第二个人选择号座位， 由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有种选择，即号和号两个位置可供选择， 此时，不同的排法种数为种不同的排法. 综上所述，当三个人都考卷时，不同的排法种数为. 由对称性可知，当三人都考卷时，不同的排法种数也为种. 综上，当三人的考卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为种. 故选：A. 【点睛】易错点点睛：求解分类、分步计数原理需要注意以下几点： （1）处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准； （2）分类时要满足要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准； （3）分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续型. 8．已知双曲线 是其左右顶点，过点的直线交圆于点，交双曲线的右支于点，且则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，点是的中点，利用中点坐标公式，点分别在圆和双曲线上，计算可得，结合,进而根据离心率的公式即可求. 【详解】由题，双曲线的左右顶点为， 因为，点是的中点， 设，根据中点坐标公式， 因为点在圆上，所以代入得， 化简得：，又，即， 减去得，解得， 代入，得，解得， 因为点在双曲线上，代入双曲线方程：，化简得， 双曲线中，即， 离心率. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据模长公式即可求解A，根据垂直的坐标关系即可求解B，根据平行满足的坐标关系即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 10．在一个抽奖游戏中，有四个编号为1，2，3，4的外观相同的箱子，其中只有一个箱子里有奖品（只有主持人知道哪个箱子有奖品）.游戏规则是主持人请抽奖人在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人首次随机选择了一个箱子，在抽奖人打开之前，主持人先打开了剩下的三个箱子中的一个空箱子，此时抽奖入有一次重新选择的机会，则以下说法正确的有（    ） A．抽奖人在初始选择中，每个箱子中奖的概率均为 B．主持人打开一个空箱子后，每个箱子中奖的概率均为，抽奖人不必换选箱子 C．主持人打开一个空箱子后，抽奖人换选剩下两个未开箱中的一个可使中奖概率升至 D．每个箱子中奖的概率始终为，主持人打开一个空箱子后，抽奖人不必换选箱子 【答案】AC 【分析】根据古典概型判断A，B，D选项，根据条件概率判断选项C. 【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下，每个箱子中奖的概率均为，即A正确； 对于B选项，主持人打开一个空箱后，抽奖人最初选的箱子中奖的概率仍为，而非，剩余未选的箱子中，每个箱子中奖的概率提高了，故抽奖人需要换选箱子，故B错误； 对于C选项，抽奖人刚开始选错的概率为，换选时在剩余的两箱中选中奖箱的概率为， 所以抽奖人换选剩下两个未开箱中的一个可使中奖概率为，故C正确； 对于D选项，初始选择后每个箱子中奖的概率始终为，但主持人打开空箱后，未选的箱子概率变化了，并非始终为，故抽奖人需要换选箱子，故D错误． 故选：AC 11．如图所示，动点到定点的距离与到定直线的距离之积为1，记P的轨迹为曲线C，则（    ）    A．点P的横坐标的取值范围是 B．C与抛物线有且只有一个公共点 C．C上任意一点满足 D．C上存在两个不同的点关于直线对称 【答案】ABC 【分析】由题可得曲线C的方程为，令即可得到的范围即可得到A；联立方程，根据方程解的情况可判断B；根据曲线方程可得，然后利用基本不等式即可确定C；将曲线向左平移1个单位得，接着判断曲线是否存在关于对称的点即可. 【详解】根据题意，曲线C的方程为， 则，解得，且时或， 所以C上的点的横坐标x的取值范围是，A正确； 将抛物线的方程与联立并消去y， 整理得，解得，所以C与抛物线有且只有一个公共点，B正确； 当点在C上时， （等号仅当时成立）， 所以即，C正确； 对于D，如果C上存在两个不同的点关于直线对称， 则将曲线C向左平移1个单位长度得到的曲线 上必存在两点关于直线对称， 设上关于直线对称的两点为，且， 则 ， 所以，因为， 所以 ，代入消去得 ， 因为，所以， 所以关于的方程无解， 所以曲线上不存在两点关于直线对称，D错误． 故选：ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】以菱形的对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，不妨取，求出的长度，进而可求得焦距及短轴长，进而可得出答案. 【详解】如图，以菱形的对角线的交点为原点建立平面直角坐标系， 因为菱形的边长为2，一个内角为60°， 不妨取， 则为等边三角形， 故， 则椭圆的焦距，短轴长，所以， 则长轴长，所以， 所以此时椭圆的标准方程为. 故答案为：.（答案不唯一） 13．的展开式中项的系数为 .（用数字回答） 【答案】 【分析】根据二项式定理的通式,写出所有能得到目标项的可能,求出结果. 【详解】由题意可知,通式为 当时,求中系数即可, 则通式为当时, 可得项的系数为, 故答案为: . 14．空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先利用已知条件求出相关向量的模及数量积，分析可知点的轨迹是与垂直的平面，记为平面，点的轨迹是以线段为直径的球，且即为平面上的点与球上的点之间的距离，求球心到平面的距离，结合球的性质运算求解即可． 【详解】设， 因为，的两两夹角都是， 则， 可得， 若，即， 可知点的轨迹是与垂直的平面，记为平面，且向量在方向上的投影为， 又因为， 若，即，则， 可知点的轨迹是以线段为直径的球， 设球心为的中点，则，半径， 可知平面的法向量为，且， 则即为平面上的点与球上的点之间的距离， 因为， 则， 可得球心到平面的距离为：， 且，所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在一次聚会临近结束时，公司通过摸球抽奖的方式对优秀员工发放奖金.先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为500元、1000元、1500元的球分别有1个、2个、3个，每个优秀员工每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的奖金总金额. (1)若，设第一个摸球的优秀员工获得的金额，求的分布列和数学期望； (2)若，采用有放回方式摸球，设事件“一个优秀员工获得的总金额不超过2500元”，事件“一个优秀员工获得的总金额不低于2000元”，求. 【答案】(1)分布列见解析，； (2) 【分析】（1）得到的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （2）先求出，，利用条件概率求出答案. 【详解】（1）的可能取值为500、1000、1500， 其中，，， 故的分布列如下： 500 1000 1500 则数学期望为 （2）采用有放回方式摸球，每次摸到500元的概率为， 每次摸到1000元的概率为，每次摸到1500元的概率为， 事件包含1种情况，即两次均摸到1500元，故， 故， 事件包含3种情况，两次均摸到1000元；一次摸到500元，一次摸到1500元； 一次摸到1000元，一次摸到1500元； 故， 则. 16．（15分）．在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 17．（15分）设函数 (1)当时，求表达式的展开式中含有项的系数； (2)当时，求表达式的展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的通项，然后令即可求解项的系数； （2）先求出的通项，然后令即可求解常数项. 【详解】（1）当时，， 其展开式通项为， 令，得， 所以展开式中含有项的系数为． （2）当时，， 的展开式通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为． 18．（17分）如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可． 【详解】（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，，； 以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 为中点，所以，， 设平面的法向量为，又，， 所以，即，令，则，，所以， 所以，则， 所以平面； （2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为， ，即，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为． 19．（17分）从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)求直线的斜率； (3)证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据渐近线方程及点在双曲线上列式计算求参得出双曲线方程； （2）根据题意求出点的坐标，再根据斜率公式即可得解； （3）当为偶数时，取连续3个反射点，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理可求出，再代入直线的方程，求出，同理求出的坐标，再根据斜率公式化简整理即可得出结论； 【详解】（1）因为在双曲线上， 联立，解得， 则双曲线C的标准方程为； （2）因为，， 联立，解得或（舍去），则， 已知，则； （3）证明：当为偶数时，取连续3个反射点，，， 则直线的方程为，与双曲线交于点， 联立，消去得， 由韦达定理得，两式相除得， 可得，故， 将代入直线的方程，得， 所以双曲线与直线的另一个交点为， 同理，双曲线与直线的另一个交点为， 故， 即， 所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷（1） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版2019选择性必修第一册~选择性必修第二册（空间向量与立体几何+平面解析几何+排列组合与二项式定理+统计与概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 3．四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（    ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 5．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 7．年高考考场的规格为每场名考生，分为排列，依照下图所示的方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（    ） 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 25 24 13 12 01 第一排 26 23 14 11 02 第二排 27 22 15 10 03 第三排 28 21 16 09 04 第四排 29 20 17 08 05 第五排 30 19 18 07 06 第六排 A．种 B．种 C．种 D．种 8．已知双曲线 是其左右顶点，过点的直线交圆于点，交双曲线的右支于点，且则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在一个抽奖游戏中，有四个编号为1，2，3，4的外观相同的箱子，其中只有一个箱子里有奖品（只有主持人知道哪个箱子有奖品）.游戏规则是主持人请抽奖人在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人首次随机选择了一个箱子，在抽奖人打开之前，主持人先打开了剩下的三个箱子中的一个空箱子，此时抽奖入有一次重新选择的机会，则以下说法正确的有（    ） A．抽奖人在初始选择中，每个箱子中奖的概率均为 B．主持人打开一个空箱子后，每个箱子中奖的概率均为，抽奖人不必换选箱子 C．主持人打开一个空箱子后，抽奖人换选剩下两个未开箱中的一个可使中奖概率升至 D．每个箱子中奖的概率始终为，主持人打开一个空箱子后，抽奖人不必换选箱子 11．如图所示，动点到定点的距离与到定直线的距离之积为1，记P的轨迹为曲线C，则（    ）    A．点P的横坐标的取值范围是 B．C与抛物线有且只有一个公共点 C．C上任意一点满足 D．C上存在两个不同的点关于直线对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程： ． 13．的展开式中项的系数为 .（用数字回答） 14．空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在一次聚会临近结束时，公司通过摸球抽奖的方式对优秀员工发放奖金.先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为500元、1000元、1500元的球分别有1个、2个、3个，每个优秀员工每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的奖金总金额. (1)若，设第一个摸球的优秀员工获得的金额，求的分布列和数学期望； (2)若，采用有放回方式摸球，设事件“一个优秀员工获得的总金额不超过2500元”，事件“一个优秀员工获得的总金额不低于2000元”，求. 16．（15分）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 17．（15分）设函数 (1)当时，求表达式的展开式中含有项的系数； (2)当时，求表达式的展开式中的常数项． 18．（17分）如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 19．（17分）从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)求直线的斜率； (3)证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷（1） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版2019选择性必修第一册~选择性必修第二册（空间向量与立体几何+平面解析几何+排列组合与二项式定理+统计与概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 3．四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（    ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 5．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 7．年高考考场的规格为每场名考生，分为排列，依照下图所示的方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（    ） 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 25 24 13 12 01 第一排 26 23 14 11 02 第二排 27 22 15 10 03 第三排 28 21 16 09 04 第四排 29 20 17 08 05 第五排 30 19 18 07 06 第六排 A．种 B．种 C．种 D．种 8．已知双曲线 是其左右顶点，过点的直线交圆于点，交双曲线的右支于点，且则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在一个抽奖游戏中，有四个编号为1，2，3，4的外观相同的箱子，其中只有一个箱子里有奖品（只有主持人知道哪个箱子有奖品）.游戏规则是主持人请抽奖人在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人首次随机选择了一个箱子，在抽奖人打开之前，主持人先打开了剩下的三个箱子中的一个空箱子，此时抽奖入有一次重新选择的机会，则以下说法正确的有（    ） A．抽奖人在初始选择中，每个箱子中奖的概率均为 B．主持人打开一个空箱子后，每个箱子中奖的概率均为，抽奖人不必换选箱子 C．主持人打开一个空箱子后，抽奖人换选剩下两个未开箱中的一个可使中奖概率升至 D．每个箱子中奖的概率始终为，主持人打开一个空箱子后，抽奖人不必换选箱子 11．如图所示，动点到定点的距离与到定直线的距离之积为1，记P的轨迹为曲线C，则（    ）    A．点P的横坐标的取值范围是 B．C与抛物线有且只有一个公共点 C．C上任意一点满足 D．C上存在两个不同的点关于直线对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程： ． 13．的展开式中项的系数为 .（用数字回答） 14．空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在一次聚会临近结束时，公司通过摸球抽奖的方式对优秀员工发放奖金.先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为500元、1000元、1500元的球分别有1个、2个、3个，每个优秀员工每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的奖金总金额. (1)若，设第一个摸球的优秀员工获得的金额，求的分布列和数学期望； (2)若，采用有放回方式摸球，设事件“一个优秀员工获得的总金额不超过2500元”，事件“一个优秀员工获得的总金额不低于2000元”，求. 16．（15分）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 17．（15分）设函数 (1)当时，求表达式的展开式中含有项的系数； (2)当时，求表达式的展开式中的常数项． 18．（17分）如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.    (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 19．（17分）从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)求直线的斜率； (3)证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B B D C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（答案不唯一） 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【详解】（1）的可能取值为500、1000、1500， (1分) 其中（1分），（1分），（1分）， （3分） 故的分布列如下： （2分） 500 1000 1500 则数学期望为 （1分） （2）采用有放回方式摸球，每次摸到500元的概率为， 每次摸到1000元的概率为，每次摸到1500元的概率为， （1分） 事件包含1种情况，即两次均摸到1500元，故， 故， （2分） 事件包含3种情况，两次均摸到1000元；一次摸到500元，一次摸到1500元； 一次摸到1000元，一次摸到1500元； 故， （2分） 则. （1分） 16．（15分）【详解】（1）依题意，得直线，即， （2分） 则圆心到直线l的距离 (2分) 所以． （2分） （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， （2分） 联立，得， （1分） 则，， （1分） 所以 ， 所以是定值，且定值为． （5分） 17．（15分）【详解】（1）当时，， 其展开式通项为， 令，得， 所以展开式中含有项的系数为． （7分） （2）当时，， 的展开式通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为． （8分） 18．（17分）【详解】（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，，； （1分） 以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， （1分） 为中点，所以，， 设平面的法向量为，又，， 所以，即，令，则，，所以， （2分） 所以，则， 所以平面； （1分） （2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， （2分） ，设平面的法向量为， ，即，令，则，，所以， （2分） 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （2分） （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， （2分） 设点Q到线段的距离为，， ，， （2分） ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为． （2分） 19．（17分）【详解】（1）因为在双曲线上， 联立，解得， 则双曲线C的标准方程为； （4分） （2）因为，， 联立，解得或（舍去），则， 已知，则； （5分） （3）证明：当为偶数时，取连续3个反射点，，， 则直线的方程为，与双曲线交于点， 联立，消去得， 由韦达定理得，两式相除得， （2分） 可得，故， 将代入直线的方程，得， 所以双曲线与直线的另一个交点为， （3分） 同理，双曲线与直线的另一个交点为， 故， 即， 所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； （3分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $