第4章 三角形（5大考点+ 13大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

该初中数学三角形单元复习讲义通过表格分类与核心关系梳理构建知识体系，用框架图呈现三角形定义、分类、性质及全等判定的内在逻辑，突出三边关系、内角和定理等重点，标注外角性质应用、全等判定定理选择等难点。 讲义亮点在于分层题型设计，如三角形三边关系计算、全等三角形性质与判定综合等12类题型，每类含典例及变式，培养推理意识与几何直观。提供“三线合一”几何语言表达等方法指导，帮助基础生掌握规范推理，优秀生提升逻辑断层突破能力，助力教师精准分层教学。

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第4章三角形 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1认识三角形 知识点2命题与证明 知识清单 知识点3全等三角形 知识点4等腰三角形 知识点5线段的垂直平分线 题型1三角形的识别与有关概念 题型2三角形的三边关系 题型3与三角形的高线有关的计算 第四章三角形 题型4根据三角形的中线有关性质求解 题型5根据三角形的角平分线有关性质求解 题型6命题与证明 题型精讲 题型7全等三角形的性质 题型8全等三角形的判定 题型9全等三角形的综合 题型10尺规作图 题型11等腰三角形 题型12等边三角形 题型13线段的垂直平分线 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解三角形的定义、分类及三边关系，能判断三条线段能否构成三角形，掌握三角 形内角和及外角性质。 教学目标 2.掌握等腰三角形、直角三角形的性质与判定，能运用相关知识解决简单几何问题。 3.理解全等三角形的定义、性质与判定定理，能规范进行全等三角形的证明与计算， 提升几何推理能力。 1/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.重点 (1)掌握三角形三边关系、内角和及外角性质，能灵活运用解决角度与边长计算问题 (2)熟练掌握全等三角形的判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS、HL),能规范完成几何 证明。 教学重难点 2.难点 (1)运用三角形三边关系、内角和及外角性质进行复杂角度推理与计算，理清角之间 的数量关系。 (2)结合图形精准选择全等三角形的判定定理，规范书写几何证明过程，突破推理逻 辑断层问题。 知识清单 1.三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 -构成要素：3条边、3个顶点、3个内角（内角和固定为180°）： 表示方法：△ABC(顶点为A、B、C,边为AB、BC、AC,内角为∠A、∠B、∠C)。 2.三角形的分类（两类核心分类标准） (1)按边分类（按三边长度关系） -等边三角形：三边都相等（特殊的等腰三角形，三边相等、三角均为60°）； -等腰三角形：有两条边相等（相等的边为腰，第三边为底，两腰夹角为顶角，腰与底夹角为底角）； -不等边三角形：三边都不相等。 核心关系：等边三角形c等腰三角形（包含关系，不可混淆分类边界）。 (2)按角分类（按内角大小关系） -锐角三角形：三个内角都是锐角（均<90°）； 一直角三角形：有一个内角是直角(=90°，直角所对的边为斜边，其余两边为直角边，斜边最长)： 八 钝角三角形：有一个内角是钝角(>90°且<180°)。 核心判定：一个三角形中最多有1个直角或1个钝角（内角和为180°推导得出）。 3.三角形的核心基础关系（必记+高频应用） (1)三边关系定理 -两边之和大于第三边：任意两边之和>第三边（如a+b>c、a+c>b、b+c>a); -两边之差小于第三边：任意两边之差<第三边（如a-b|<c、|a-c<b、|b-c<a); 八 应用场景：判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围（已知两边，第三边在“两边差两边和” 之间)。 (2)内角和定理 2/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 核心结论：三角形三个内角的和为180°（即∠A+∠B+∠C=180°）： -延伸推论：直角三角形的两个锐角互余（∠A+∠B=90°，因∠C-90°）； -应用场景：求未知角的度数、判定三角形的角类型。 (3)外角性质(3个核心推论) -推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（如∠ACD=∠A+∠B,∠ACD为△ABC的外 角)5 -推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（如∠ACD>∠A、∠ACD>∠B): -推论3：三角形的外角和为360°（任意三角形的3个外角之和固定为360°）： -关键提醒：外角需“不相邻”，避免误将外角与相邻内角混淆（相邻内角和为180°，互为邻补角）。 二、特殊三角形的性质与判定（等腰+直角） (一)等腰三角形（含等边三角形） 1.等腰三角形的性质(3个核心) -性质1（边）：两腰相等(AB=AC,△ABC为等腰三角形)： 性质2（角）：两底角相等(“等边对等角”，AB=AC→∠B=∠C): -性质3（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(3条线为同一条，仅 适用于“底边+顶角”，腰对应的线不重合)； -几何语言（三线合一）：，'AB=AC,AD平分∠BAC一AD⊥BC,BD=CD(反之，满足其一即可推另外两点)。 2.等腰三角形的判定(2个核心) -判定1（边）：有两条边相等的三角形是等腰三角形（直接判定）： -判定2（角）：有两个角相等的三角形是等腰三角形(“等角对等边”，∠B=∠C→AB=AC)。 3.等边三角形的特殊性质与判定 -三边都相等，三角都相等且均为60°： 任意一条边上的中线、高、对角平分线都重合（三线合一，适用于所有边和角）： -是轴对称图形，有3条对称轴。 (2)特殊判定(3种常用) -判定1：三边都相等的三角形是等边三角形； -判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； -判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（等腰+60°→等边，无需再证三边相等）。 题型精讲 题型01三角形是识别与有关概念 【典例1】(25-26八年级上·河南三门峡·期中)下列长度的各组线段能组成三角形的是() A.3、8、5B.5、5、10 C.15、10、7 D.12、5、6 3/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(23-24八年级上河北唐山期中)如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是ABC的 () B D D B'CB(CD 图① 图② 图③ A.角平分线、高线、中线 B.高线、中线、角平分线 C.角平分线、中线、高线 D.中线、角平分线、高线 【变式2】(25-26八年级上·云南红河·期中)己知a,b,c是ABC的三边，且满足a-c+b-c=0,则 ABC是」 三角形. 【变式3】(25-26八年级上·重庆渝北期中)用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边 的长为5cm,则该等腰三角形的腰长为 cm. 题型02三角形的三边关系 【典例2】(25-26八年级上浙江湖州期中)现有两根木棒，长度分别为2cm和4cm,若要搭成一个三角形， 则第三根木棒的长度可以为() A.Icm B.2cm C.4cm D.6cm 【变式1(25-26八年级上·河南洛阳·期中)一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为() A.4 B.6 C.8 D.4或8 【变式2】(25-26八年级上·江苏苏州期中)已知三角形三边长分别为3cm、5cm、xcm,则化简代数式 x-2+Vx-8)2的结果是 【变式3】(25-26八年级上·江苏徐州期中)若实数x、y满足(x-6)+√y-3=0,则以x、y的值为边长的 等腰三角形的周长为一 题型03与三角形的高线有关的计算 4/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例3】(25-26八年级上陕西榆林期中)如图，在ABC中，∠B=90°，AB=15cm,BC=20cm, AC=25cm,则ABC的边AC上的高线为() B A.12cm B.15cm C.20cm D.24cm 【变式1】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，AD，,AE分别是ABC的高和角平分线，且 ∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为() B D E C A.20° B.18° C.38 D.40° 【变式2】(25-26七年级上山东泰安期中)在ABC中，己知LABC=64°，∠ACB=56°，BE是AC上的 高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，则∠BHC的度数是 【变式3】(24-25七年级下·上海崇明·期中)如图，AD,BE分别是ABC的边BC,AC的高线，AD=3, BC=5,AC=4,则BE的长为 A 题型04根据三角形的中线有关性质求解 5/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例4】(25-26八年级上：广西百色·期中)如图，在ABC中，已知BD是ABC的中线，其中AB=27, BC=16,则△ABD与△BCD的周长差是() B A.11 B.12 C.13 D.14 【变式1】(23-24八年级上·广东汕头·期中)如图，ABC中，D,E分别为BC,AD的中点，且ABC的面 积为4，则图中阴影部分面积为() D A.3 B.2 C.1 D.0.5 【变式2】(25-26八年级上·四川泸州·期中)如图，在ABC中，己知点D、E分别为边BC、AD的中点， 且S.48c=8cm',则SBcE的值为一cm2. 【变式3】(25-26八年级上·甘肃武威期中)如图，AD和AE分别是ABC的中线和高.己知△ABD的面 积是6，AE=3,则BC的长是一 B D E 题型05根据三角形的角平分线有关性质求解 【典例5】(25-26八年级上·河南信阳·期中)如图，在ABC中CD是∠ACB的平分线，∠A=80°， ∠ACB=40°，那么∠BDC=() 6/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.80° B.90° C.100° D.110° 【变式1】(25-26八年级上山东潍坊期中)如图，在ABC中，∠A=36°，E为BC延长线上一点， LABC与∠ACE的角平分线相交于点D,则∠D的度数为 度. D B 【变式2】(25-26七年级上·山东淄博·期中)如图，在ABC中，BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平 分线，交点为O,若LB0C=115°，连接A0，则1BA0的度数为一 B 【变式3】(25-26八年级上·重庆渝北期中)如图，在ABC中，AD为BC边上的高，CE平分∠ACD交 AD于点E,若∠BAC:∠CAD=3:2,∠DCE=34°. E B (I)求∠CAD的度数： (2)求∠B的度数. 题型06命题与证明 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例6】(25-26八年级上·浙江金华期中)对于命题“若a2>b2,则a>b”,能说明该命题是假命题的是() A.a=2,b=-1B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=-2,b=1 【变式1】(25-26七年级上北京·期中)下列命题中，是真命题的是() A.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C.两直线平行，内错角相等 D.若b>a>0,则b的平方根大于a的平方根 【变式2】(25-26八年级上·宁夏吴忠期中)定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：一（写出它 的逆命题，不用判断它的真假) 【变式3】(25-26八年级上福建泉州期中)把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…那么…” 的形式： 题型07全等三角形的性质 【典例7】(25-26八年级上·重庆渝北期中)如图，△ABC≌△DEC,点A和点D,点B和点E是对应点，B、 C、D在同一直线上，EC=4cm,AC=8cm,则BD的长为() B A.4cm B.6cm C.11cm D.12cm 【变式1】(25-26八年级上·山东潍坊·期中)如图，己知△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于点F,交 DE于点G,∠D=25°，∠E=120°，∠DAC=25°，则∠EGB=度， B 【变式2】(25-26八年级上·安徽合肥期末)如图，已知△ABD≌△EBC,AB=3,BC=4.5,且点B在线段 AC上， 8/20 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (I)求DE的长： (2)求证：AC1BD. 【变式3】(25-26八年级上·安徽六安·期中)如图，在ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长 BE交AC于点F,且△ACD≌△BED. (I)若BC=11,AD=8,求CD的长度 (②)求证：∠AFE=∠ADB; (3)若SARCF=20，S西边形cFED=8,则SABF= 题型08全等三角形的判定 【典例8】(25-26八年级上浙江金华·期中)如图，已知点A,D,C,F在同一条直线上，AB=DE, AD=CF,要使△ABC≌△DEF,需添加一个条件是() B A.AB∥DE B.BC∥EF C.∠B=∠E D.AC=DF 【变式1】(25-26八年级上·全国课后作业)已知：如图，在ABC中，AD,BE分别是边BC,AC上的高， AD,BE相交于点F,AE=BE,求证：△AEF≌△BEC. △AEF≌△BEC(ASA. 9/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上·广西防城港期中)如图，已知AC=BD,AB=DE,∠A=∠BDE. A E (I)求证：△ABC≌aDEB; (2)若AC=6,BE=12,求CD的长. 【变式3】(25-26八年级上山东德州期中)如图，CA=CB,CD=CE,LACB=LDCE=35°，AD,BE 交于点H,连接CH, B (1)求证：AD=BE; (2)求∠AHB. 题型O9全等三角形的性质与判定的综合 【典例9】(25-26八年级上山东潍坊阶段练习)如图，已知AB=AC,AF=AE,∠FAE=LBAC,点 C,E,D,F共线.下列结论错误的是() A.LFAB=∠EAC B.BF=CE C.AC=DC D.∠BAC=∠BFC 【变式1】(25-26八年级上·安徽芜湖阶段练习)如图，在ABC中，CE是高，将ABC沿AB所在直线翻 转，点C与点D重合，则图中有 组全等三角形. B 10/20 第4章 三角形 教学目标 1. 理解三角形的定义、分类及三边关系，能判断三条线段能否构成三角形，掌握三角形内角和及外角性质。 2. 掌握等腰三角形、直角三角形的性质与判定，能运用相关知识解决简单几何问题。 3. 理解全等三角形的定义、性质与判定定理，能规范进行全等三角形的证明与计算，提升几何推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握三角形三边关系、内角和及外角性质，能灵活运用解决角度与边长计算问题。 （2）熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能规范完成几何证明。 2.难点 （1）运用三角形三边关系、内角和及外角性质进行复杂角度推理与计算，理清角之间的数量关系。 （2） 结合图形精准选择全等三角形的判定定理，规范书写几何证明过程，突破推理逻辑断层问题。 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 - 构成要素：3条边、3个顶点、3个内角（内角和固定为180°）； - 表示方法：△ABC（顶点为A、B、C，边为AB、BC、AC，内角为∠A、∠B、∠C）。 2. 三角形的分类（两类核心分类标准） （1）按边分类（按三边长度关系） - 等边三角形：三边都相等（特殊的等腰三角形，三边相等、三角均为60°）； - 等腰三角形：有两条边相等（相等的边为腰，第三边为底，两腰夹角为顶角，腰与底夹角为底角）； - 不等边三角形：三边都不相等。 核心关系：等边三角形⊂等腰三角形（包含关系，不可混淆分类边界）。 （2）按角分类（按内角大小关系） - 锐角三角形：三个内角都是锐角（均＜90°）； - 直角三角形：有一个内角是直角（=90°，直角所对的边为斜边，其余两边为直角边，斜边最长）； - 钝角三角形：有一个内角是钝角（＞90°且＜180°）。 核心判定：一个三角形中最多有1个直角或1个钝角（内角和为180°推导得出）。 3. 三角形的核心基础关系（必记+高频应用） （1）三边关系定理 - 两边之和大于第三边：任意两边之和＞第三边（如a+b＞c、a+c＞b、b+c＞a）； - 两边之差小于第三边：任意两边之差＜第三边（如|a-b|＜c、|a-c|＜b、|b-c|＜a）； - 应用场景：判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围（已知两边，第三边在“两边差~两边和”之间）。 （2）内角和定理 - 核心结论：三角形三个内角的和为180°（即∠A+∠B+∠C=180°）； - 延伸推论：直角三角形的两个锐角互余（∠A+∠B=90°，因∠C=90°）； - 应用场景：求未知角的度数、判定三角形的角类型。 （3）外角性质（3个核心推论） - 推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（如∠ACD=∠A+∠B，∠ACD为△ABC的外角）； - 推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（如∠ACD＞∠A、∠ACD＞∠B）； - 推论3：三角形的外角和为360°（任意三角形的3个外角之和固定为360°）； - 关键提醒：外角需“不相邻”，避免误将外角与相邻内角混淆（相邻内角和为180°，互为邻补角）。 二、特殊三角形的性质与判定（等腰+直角） （一）等腰三角形（含等边三角形） 1. 等腰三角形的性质（3个核心） - 性质1（边）：两腰相等（AB=AC，△ABC为等腰三角形）； - 性质2（角）：两底角相等（“等边对等角”，AB=AC→∠B=∠C）； - 性质3（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（3条线为同一条，仅适用于“底边+顶角”，腰对应的线不重合）； - 几何语言（三线合一）：∵AB=AC，AD平分∠BAC→AD⊥BC，BD=CD（反之，满足其一即可推另外两点）。 2. 等腰三角形的判定（2个核心） - 判定1（边）：有两条边相等的三角形是等腰三角形（直接判定）； - 判定2（角）：有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”，∠B=∠C→AB=AC）。 3. 等边三角形的特殊性质与判定 - 三边都相等，三角都相等且均为60°； - 任意一条边上的中线、高、对角平分线都重合（三线合一，适用于所有边和角）； - 是轴对称图形，有3条对称轴。 （2）特殊判定（3种常用） - 判定1：三边都相等的三角形是等边三角形； - 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； - 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（等腰+60°→等边，无需再证三边相等）。 题型01 三角形是识别与有关概念 【典例1】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）下列长度的各组线段能组成三角形的是（    ） A．3、8、 5 B．5、5、10 C．15、10、7 D．12、5、6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断较小的两个数的和与第三个数的关系，即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 A、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、， 能够组成三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式3】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分已知边是腰长或底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①当是腰长时， 底边为， ∵， ∴、、不能组成三角形； ②当是底边时， 腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为. 故答案为：． 题型02 三角形的三边关系 【典例2】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）现有两根木棒，长度分别为和，若要搭成一个三角形，则第三根木棒的长度可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系定理，第三边必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，即可求解． 【详解】解：两根木棒的长度分别为和， 若要钉一个三角架，第三根木棒的长度大于，小于， 则第三根木棒的长度可以为． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（ ） A．4 B．6 C．8 D．4或8 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分两种情况讨论：当腰为4时，底边为8；当底边为4时，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形周长为16，有一条边为4， ∴分两种情况讨论： ①若腰为4，则底边， 此时，不符合三角形三边关系，故不成立； ②若底边为4，则腰， 此时，符合三边关系，成立． ∴底边为4． 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边的关系，以及等腰三角形的定义． 根据非负数的性质，求出和的值，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定三角形的边长，最后计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，． 当腰长为6，底边长为3时，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为； 当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6，但，不满足三角形三边关系，故不成立． 因此，等腰三角形的周长为15． 故答案为：15． 题型03 与三角形的高线有关的计算 【典例3】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，，则的边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的相关计算，根据等面积法即可求解． 【详解】解：设的边上的高线为， 依题意， ∴ 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线的定义、三角形的内角和、三角形的外角的性质等，关键是角的转换； 先由求出，再根据角平分线求得，进而可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·山东泰安·期中）在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，则的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据高线的定义，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 题型04 根据三角形的中线有关性质求解 【典例4】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了中线的性质，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据中线的性质得到，再利用周长作差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长 ∴与的周长差， 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0.5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线．根据D，E分别为，的中点，得， ，于是得到，解答即可． 【详解】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与中线有关的三角形的面积的计算，由点为边的中点，得出，再由点为的中点得出，，即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点为边的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中线定理及利用三角形面积求对应的高．根据三角形中线定理得出，再由三角形的面积及三角形的高求得的值，从而求得的值． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 又∵的面积为6，，且为的高， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：8． 题型05 根据三角形的角平分线有关性质求解 【典例5】（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质． 首先由角平分线得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的平分线，， ， 又， ． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中， ， E 为延长线上一点，与的角平分线相交于点 D ，则的度数为 度． 【答案】18 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键，由三角形的外角的性质可得，再结合角平分线的性质进行等量代换可得，从而可得答案． 【详解】解：∵与的角平分线相交于点 D ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，、分别为与的角平分线，交点为O，若，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键． 根据点是与的角平分线的交点，得到是的角平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可得解； 【详解】点是与的角平分线的交点， 是的角平分线， 、分别为与的角平分线， ，， ， ， ， ， 是的角平分线， ． 故答案是：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，为边上的高，平分交于点E，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义求出，再由高的定义求出，再由计算即可得解； （2）由题意求出，再计算出，即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型06 命题与证明 【典例6】（25-26八年级上·浙江金华·期中）对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的定义，关键是条件成立时，结论不成立； 若，则可能不成立，当但时即为反例，需找出满足此条件的选项． 【详解】解：选项A：，满足条件，满足结论，故不符合题意； 选项B：，不满足条件，故不符合题意； 选项C：，不满足条件，故不符合题意； 选项D：，满足条件，不满足结论，故符合题意； 因此，选项D能说明该命题是假命题． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期中）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则b的平方根大于a的平方根 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与判定、平方根的概念，解题的关键在于准确掌握定理与概念． 【详解】解：A：两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同旁内角才互补，否则不一定，此选项不符合题意； B：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，此选项不符合题意； C：两直线平行，内错角相等，这是平行线的性质，是真命题，此选项符合题意； D：若，则b的平方根有正负两个值，并非所有b的平方根都大于a的平方根，是假命题，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是： （写出它的逆命题，不用判断它的真假） 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，从而得到原命题的逆命题． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”． 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果那么”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论． 根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等， ∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 题型07 全等三角形的性质 【典例7】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，，点A和点D，点B和点E是对应点，B、C、D在同一直线上，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，可得：，，再根据求出结果． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知，的延长线交于点 F，交 于点 ， 则 度． 【答案】120 【分析】本题考查了全等三角形与三角形内角和问题，属于中等题；根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解： ，即 故答案为：120. 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 题型08 全等三角形的判定 【典例8】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．根据全等三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，则，结合，，可根据证明，故符合题意； B．添加，则，结合，，根据无法证明，故不符合题意； C．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； D．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，分别是边上的高，相交于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由题意得到，又由即可证明． 【详解】证明：∵分别是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质； （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可解决问题； 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）解：由（1）可知， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，，，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由条件根据可证明，则结论得证； （2）由（1）可得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． ． （2）， ， 又， ． 题型09 全等三角形的性质与判定的综合 【典例9】（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是合理的利用全等三角形的性质；先判断三角形全等，根据三角形的全等判断A和B正确，再运用三角形的内角和定理可以判断出D正确，无法判断出C正确，故得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故A正确； 又∵，， ∴， ∴，， 故B正确； ∵， 又∵，， ∴， 故D正确； 无法判断，∴无法判断， 故无法判断出C； 故选∶C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点与点重合，则图中有 组全等三角形． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据判定，根据判定和，据此求解． 【详解】∵将沿所在直线翻转，点与点重合， ∴，， ∵在中，是高， ∴， ∴三点共线， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， 综上分析可得，图中有3对全等三角形， 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，是的高线，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；②根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）思路证明即可； （3）同（2）思路求解． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ， ， ， ， ； ②由①知， ，， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 题型10 尺规作图 【典例10】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，光线射到镜面上的点处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角，根据作图可知，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：由作图可知， . 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了画一个角等于已知角，角平分线的定义，由画图可得，得到，再利用平角定义求出即可求解，理解作图是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段和，求作，使，． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了尺规——作三角形，作一个角等于已知角，作线段，首先作进而以为圆心的长为半径画弧，再以为圆心为半径画弧即可得出，的位置，连接即可，解题的关键是熟练掌握尺规作三角形的方法． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式3】（25-26八年级上·河北邢台·期中）按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的基本作图方法是解题的关键． （1）截取，以点C为圆心，a为半径作弧，以A为圆心，c为半径作弧，两弧交点为B； （2）先作，截取，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，即所求． （2）解：如图2，即所求． 题型11 等腰三角形 【典例11】（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形外角、内角和定理，涉及知识点：等边对等角、三角形外角等于不相邻两内角和、三角形内角和为．解题方法是从已知角出发，利用等腰三角形性质逐步推导相关角的度数，最终求出；解题关键是依次推导等腰三角形的底角和外角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，和的角平分线交于点O，过点O作的平行线交于点M，交于点N，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质证得等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解： 平分即 同理，， ∴的周长 故答案为：14． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，D、E为边上两点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题重点考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是问题求解的关键． （1）根据等边对等角，得到，进而证明． （2）根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，求得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的度数为． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 题型12 等边三角形 【典例12】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等边三角形，得，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ， ． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，分别以的边 向外作等边和等边，与相交于点O． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论； （2）根据角的和差和对顶角的性质求出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线性质得到角的关系以判定等边三角形，通过作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一建立线段间的等量关系． （1）由等边三角形的各角为，结合利用平行线的同位角相等可得，再结合即可证明是等边三角形； （2）设由是等边三角形得结合可得过E作利用得，进而得由和得再通过建立关于x的方程，求解即可得的长． 【详解】（1）解：证明：∵是等边三角形 ∴． ∵， ∴，， ∴是等边三角形． （2）如图，过点作，垂足为点，则，设．由（1）得是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 即，解得， ∴线段的长为6． 题型13 线段的垂直平分线 【典例13】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 由垂直平分线可得，则周长可求． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴ ∵， ∴的周长为：． 故选：C ． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，进而求解即可．． 【详解】解：是的垂直平分线 ∵ ∴． 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的最小值为的长，进而可得周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m垂直平分， ∴， 又∵， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， ∴周长的最小值是． 故答案为：11． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）下列各组线段中，能构成三角形三边的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据任意两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：A、较短两边和之和为，等于最长边，不能组成三角形，选项错误； B、较短两边和之和为，大于最长边，能组成三角形，选项正确； C、较短两边和之和为，小于最长边，不能组成三角形，选项错误； D、较短两边和之和为，小于最长边，不能组成三角形，选项错误； 故选：B． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和角的和、差关系，通过三角形全等得到是解题的关键． 由全等三角形的性质得，再利用角的和、差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，先由三角形外角的定义及性质求出，从而得出，即可得解，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．① C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质进行判断①，由三角形内角和定理求得，从而判断②，过点作，在上截取，证得，根据全等三角形的性质证得，据此判断③即可． 【详解】解：连接，如图， ，，D为的中点， ，，，， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ，， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 为等边三角形， 故②正确； 过点作，在上截取，如下图， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确， 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定、全等三角形的判定是解题的关键． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键． 由折叠得到，由等腰三角形性质可得，根据三角形的内角和得，代入度数计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意知：，， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：21． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，为延长线上一点，且，则为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质（三线合一）求出的度数，再利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形，且为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 通过证明，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，再结合求解即可； 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：4； 10．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 11．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据已知条件可推出，再结合，，利用判定定理即可证明． （2）先由（1）中三角形全等得出，再根据三角形外角性质求出，根据三角形的内角和定理和对顶角相等求出即可． 【详解】（1）证明：， ． 在与中， ， ． （2）解： ， ，． ∴． 12．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，锐角的高，交于点，且． (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，利用全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证，再根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）根据全等三角形的性质求出，再求得，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ， ∴． 在与中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，． ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，是的高，，过D点的直线交于点E，交于点F，． 求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定与性质、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，则有垂直平分线段，进而问题可求解； （2）由（1）可得，则有，然后问题可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的高， ∴垂直平分线段， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 14．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点F．（不用写作图步骤，保留作图痕迹） (2)在（1）问条件下，若，求证：． 请把以下的解题过程补充完整． 证明：， ∵① （依据② ）． ， ③ （依据④ ）， 即， 在和中， （依据⑥ ）． ⑦ ． 【答案】(1)见解析 (2)；两直线平行，同位角相等；；等式的性质；；； 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，作一个角等于已知角，熟练掌握基本作图方法，是解本题的关键． （1）作即可； （2）根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角； （2）证明：， ①（依据②两直线平行，同位角相等）， ， ③（依据④等式的性质）， 即， 在和中， （依据⑥）． ⑦， ． 15．（25-26八年级上·天津·期中）（1）如图，，都是等边三角形，连接，相交于点，求证：； （2）如图，，都是等边三角形，点在边上，过作垂直于，求证：； （3）如图，是等边三角形，在中，，，连接，平分交延长线于点，交于点，则的度数为______．（直接写出答案） 【答案】（）见解析；（）见解析；（）． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． （）由，都是等边三角形，，，，则有，然后通过“”即可证明； （）连接，在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，得出，结合三线合一即可证明； （）设，则，根据角平分线定义得出 ，，根据等腰三角形的性质得出，最后利用求出结果即可． 【详解】（）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （）证明：如图，连接，在上截取，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴； （）解：∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的性质可得，再证明，最后利用证明即可； （2）证明得出，，即可得解． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴． 17．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线法的应用； （1）利用三角形的三角形的三边关系可得的取值范围，进而得出的取值范围； （2）通过倍长中线构造两三角形全等，将转换成，即可求得； （3）通过倍长中线构造两三角形全等，再通过论证与全等即可得到． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）如图，延长交的延长线于， ∵， ∴ ，因为点是的中点， ∴， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线 ， ∴； （3） 证明 ：延长至点，使， 连接 ∵ 是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $