专题5.3 勾股定理的逆定理（1大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题5.3 勾股定理的逆定理 教学目标 1. 理解勾股定理逆定理的含义，能准确表述定理内容，知晓其与勾股定理的区别与联系。 2. 掌握逆定理的证明思路，能运用定理判断三角形是否为直角三角形，规范书写推理过程。 3. 能结合实际问题，灵活运用逆定理解决相关几何计算与判定问题，提升逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）勾股定理逆定理的核心内容及应用方法，能快速通过三边数量关系判定直角三角形。 （2）逆定理的推理逻辑，明确“数到形”的转化思路，掌握规范的判定步骤与书写格式。 2.难点 （1）勾股定理逆定理的证明过程，理解构造全等直角三角形的思维逻辑，突破“辅助线构造”的思维障碍。 （2）逆定理与勾股定理的综合运用，能根据实际问题灵活选择定理，避免混淆定理的适用场景。 知识点01 勾股定理逆定理 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． ②当满足时，是斜边，是直角． ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 【即学即练1】1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式，二次根式的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理逆定理推出，再利用四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ， ∴四边形的面积为． 题型01 判断三边是否构成直角三角形 【典例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．6，8，9 B．1，，3 C．8，12，13 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断三边是否能构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解： 对于选项A：∵，∴不能构成直角三角形； 对于选项B：∵，∴不能构成直角三角形； 对于选项C：∵，∴不能构成直角三角形； 对于选项D：∵，∴能构成直角三角形． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·重庆江津·期末）以下不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，需熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用．根据勾股定理的逆定理（三边满足两边平方和等于第三边平方）和三角形内角和定理（内角和为），判断各选项是否能构成直角三角形． 【详解】解： A：，，， ∴， ∴ 能构成直角三角形； B：，且， ∴， ∴， ∴ 能构成直角三角形； C：，设，，， ∴， ∴， ∴， ∴ 能构成直角三角形； D：，设，，， ∴，， ∵， ∴，且其他组合（如，）， ∴ 不能构成直角三角形． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知分别为的两边，且满足，第三边 ​，求的面积 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，求出的值，得到三角形的两边长，再结合第三边长，通过勾股定理的逆定理可证该三角形是直角三角形，利用三角形面积公式计算即可； 本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握非负数的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 又∵第三边 ​， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知a，b，c满足，则以a，b，c为边长构成的三角形是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值、偶次方、算术平方根，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理计算即可． 【详解】解：， 又，，， ，，， ，，， ，， ， 以a，b，c为边长构成的三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 题型02 网格中判断直角三角形 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，先结合网格以及勾股定理得，则，故，又因为，所以运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：观察网格，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中， 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质．取格点，连接，，求得，推出，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：取格点，连接，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 题型03 利用勾股定理的逆定理求解 【典例3】．（23-24八年级下·甘肃甘南·期末）一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形性质，由，得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可知，利用勾股定理可求出的长，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ， ； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得到的形状． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； （2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：设，则． 在中，， ， 解得． ． 题型04 利用勾股定理的逆定理证明 【典例4】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证是解决问题． 连接，由线段垂直平分线的性质得出，再由已知条件得出，由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，故，即． 【详解】证明：连接，   是的中点，， 垂直平分， ， ∵，，． ， ， 是直角三角形， ∴． 即． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，四边形中，，，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定，先利用勾股定理求出，进而得到，即可证明为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】证明：在中， ∴， ∴， 在中，，， ， 为直角三角形，， ． 【变式2】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可； （2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴ ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，四边形的面积， ∴四边形的面积． 题型05 勾股定理逆定理的实际应用 【典例5】（25-26八年级上·山西晋中·月考）我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形， ∴该沙田的面积为（平方里）． 故选A． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的方法成为解题的关键． 通过勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形可得，即可判断是否合格． 【详解】解：∵， ∴，即， 同理：， ∴他挖的地基是合格的． 故答案为：合格． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期中）某旅游景区导览图的框架结构示意图如图所示．现测得，，，，．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该框架结构是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直．先在中，根据勾股定理求出，再计算与的值，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角． 【详解】解：因为， 所以在中，根据勾股定理，得． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以． 所以是直角三角形，且． 所以． 答：该框架结构符合安全标准． 题型06 勾股定理及其逆定理的综合应用 【典例6】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·月考）如图是机器零件的示意图形状，测得． (1)连接，求，之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)、之间的距离为 (2)四边形的面积是 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， 在中，，由勾股定理得： 答：B、D之间的距离为 （2）解：， 是直角三角形， ． 答：四边形的面积是 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 题型07 利用勾股定理及其逆定理解决作图题 【典例7】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点，位于格点处，请按要求作图． (1)在图甲中画出一个格点，使得是等腰直角三角形； (2)在图乙中画出一个格点，并满足． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理作图即可； （2）根据勾股定理作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 证明：∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，即为所求； 证明：∵，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C的顶点均在正方形网格格点上，只用不带刻度的直尺完成作图． (1)在图1中作出的角平分线． (2)在图2中作出点B关于直线的对称点D，并直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识点． （1）取格点，则由勾股定理可得，，再由得到，则； （2）取格点，连接，交于点，则，则，而，则，故点B关于直线的对称点为D，再由四边形的面积求解． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：如图，点即为所求， 四边形的面积． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，； (3)如图3，点A，B，C是小正方形的顶点，则是____________三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)钝角. 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据正方形的定义画出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可； （3）判断出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，正方形的边长是，面积是10； （2）解：如图，三角形的边长分别为2，，； （3）解：如图，取格点J，连接，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵． ∴为钝角三角形． 故答案为：钝角． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为． (1)请在图中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； (2)请在图中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数． 【答案】(1)画图见解析（答案不唯一）； (2)画图见解析（答案不唯一）． 【分析】此题考查了勾股定理与无理数，勾股定理逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据网格与勾股定理即可画图； （）根据网格与勾股定理即可画图． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴满足条件； （2）解：如图，即为所求； 理由：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴即为所求． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（    ） A．7，24，25 B．5，13，15 C．2，3，4 D．8，12，20 【答案】A 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴能构成直角三角形，故A符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴这样的三角形不存在，故D不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 3．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理． 根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故选：B． 5．（25-26七年级上·山东淄博·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形。 【详解】选项A：∵ ，设， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴其中最大角： ， ∴ 不是直角三角形。 选项B：∵ ，∴， ∴是直角三角形（勾股定理逆定理）。 选项C：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形。 选项D：∵ ，设， ∵， ∴ ， ∴ 是直角三角形。 综上，只有选项A不是直角三角形, 故选A 二、填空题 6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，点、分别是、的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D是的中点可求出的长，由勾股定理的逆定理证明，再由斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 【详解】解：已知点D是的中点，， ∴ ， ∵ ∴， ∵， ， 根据勾股定理的逆定理，可得， 即， ∵E是的中点， ∴． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，且点为边的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，利用勾股定理的逆定理证明，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点为边的中点 ∴， ∴， 故答案为． 9．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，若于D，则CD的长 ． 【答案】/7.2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由得到，再根据角平分线得到即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质． （1）利用勾股定理的逆定理求出即可得出结论； （2）设的中点为N，连接，则为等腰直角三角形，求出，证明，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 是直角三角形； （2）证明：设的中点为N，连接， ， ，是直角三角形，， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中，， ， ， ． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中线，于点E， (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直平分，见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据中线的定义可得出结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ； （2）解：与的位置关系是垂直平分， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 又是的中线， ， 与的位置关系是垂直平分 14．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)四边形ABCD的面积为36 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及四边形面积的计算，解题的关键是连接，将四边形分割为两个直角三角形分别求解． （1）在中，用勾股定理求的长； （2）利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边形面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴四边形的面积 ． 答：四边形的面积为． 15．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，还需注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理公式的变形可求得是直角三角形，即可证明． （2）先求出的长度，设所求线段为，利用（1）的结论，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ． （2）解：点是边的中点，， ， 在中，，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.3 勾股定理的逆定理 内容概览 教学目标、教学重难点 知识清单 知识点1勾股定理的逆定理 题型1判断三边是否构成直角三角形 题型2网格中判断直角三角形 勾股定理的逆定理 题型3利用沟股定理的逆定理求解 题型4利用勾股定理的逆定理证明 题型精讲 题型5勾股定理逆定理的实际应用 题型6勾股定理和逆定理的综合应用 题型7利用沟股定理及其逆定理解决作图题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解勾股定理逆定理的含义，能准确表述定理内容，知晓其与勾股定理的区别与联 系。 2.掌握逆定理的证明思路，能运用定理判断三角形是否为直角三角形，规范书写推理 教学目标 过程。 3.能结合实际问题，灵活运用逆定理解决相关几何计算与判定问题，提升逻辑推理能 力。 1.重点 (1)勾股定理逆定理的核心内容及应用方法，能快速通过三边数量关系判定直角三角 形。 (2)逆定理的推理逻辑，明确“数到形”的转化思路，掌握规范的判定步骤与书写格 教学重难点 式。 2.难点 (1)勾股定理逆定理的证明过程，理解构造全等直角三角形的思维逻辑，突破“辅助 线构造”的思维障碍。 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)逆定理与勾股定理的综合运用，能根据实际问题灵活选择定理，避免混淆定理的 适用场景。 知识清单 知识点01勾股定理逆定理 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 0 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边. ②当满足a2+b2=c2时，c是斜边，∠C是直角 ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方 及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形 【即学即练1】1.(25-26八年级上·浙江杭州月考)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=5, BC=7,CD=1,四边形ABCD的面积为 5 5 2.(25-26八年级上山西运城期中)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=V5, AD=10. A 8h (I)求AC的长 (2)求四边形ABCD的面积. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型精讲 题型01判断三边是否构成直角三角形 【典例1】(25-26八年级上陕西成阳·期中)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是() A.6,8,9 B.1,2,3 C.8,12,13 D.√2,5,5 【变式1】(23-24八年级下·重庆江津·期末)以下不能构成直角三角形的是() A.a=1,c=V5,b=2 B.∠A+∠C=∠B C.∠A:∠B:∠C=1:1:2 D.a:b:c=2:3:4 【变式2】(25-26八年级上·四川成都期中)己知m,n分别为aABC的两边，且满足m-5+(n-2√6)2=0， 第三边p=7,求aABC的面积 【变式3】(25-26八年级上安徽宿州阶段练习)已知a,b,c满足(a-V6)+b-0+vc-4=0,则以a ,b,c为边长构成的三角形是 题型02网格中判断直角三角形 【典例2】(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期中)如图，已知每个小正方形的边长为1，若A,B,C是小正 方形的顶点，则∠CAB的度数为() A.60° B.45° C.30° D.90° 【变式1】(25-26八年级上·全国课后作业)如图，在4×4的正方形网格中，ABC的顶点都在格点上，下 列结论错误的是() 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.AB=5 B.∠C=90° C.AC2=20 D.BC2=4 【变式2】(25-26八年级上·广东广州期中)如图，在3×4的正方形网格中，∠2= 【变式3】(25-26八年级上·吉林长春·月考)如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A,B ,C,D,E均为格点，连接AB、CD,则LABE+LBCD= B 题型03利用勾股定理的逆定理求解 【典例3】.(23-24八年级下·甘肃甘南期末)一块木板如图所示，己知AB=8,BC=6,DC=24, AD=26,∠B=90°，则木板的面积为() B◇ D A.60 B.20 C.96 D.48 【变式1】(25-26八年级上陕西西安·开学考试)在ABC中，∠B=36°，BC2-AC2=AB2,则∠C的大 小为() A.36° B.54° C.72° D.90° 【变式2】(25-26八年级上·陕西汉中.期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半 径作圆弧，交边AB于点D,若AB=I0,BC=8,则BD的长为一 4/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上·重庆月考)如图，在ABC中，AB=9,AC=12,BC=15, D B (1)求∠A的度数； (2)若点P为线段AC上一点，连接BP,且BP=CP,求△ABP的面积. 21 AP.AB 9× .S ABP= 8189 2 =216 题型04利用勾股定理的逆定理证明 【典例4】(24-25八年级下·陕西安康期末)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC,交AB于点 E,且BE=13,AE=5,AC=12.求证：CA⊥AB. B D 【变式1】(24-25八年级上福建漳州·期中)如图，四边形ABCD中，AB=2,BC=4,CD=4,AD=6, 且AB⊥BC.求证：AC⊥CD. D B 【变式2】(24-25八年级下·湖北恩施阶段练习)如图，在ABC中，BC=15,点D是边AB上一点，连接 CD,且BD=10,CD=5V5. D (1)求证：CD⊥AB: 5/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若SA4Bc=50V5,求ABC的周长。 :.ABC的周长=AB+BC+AC=20+15+15=50. 【变式3】(25-26八年级上·四川成都·月考)如图，在四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且 AC⊥CD. D (I)求证：AB⊥BC; (2)求四边形ABCD的面积. 题型05勾股定理逆定理的实际应用 【典例5】(25-26八年级上山西晋中·月考)我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样 一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一 块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位， 1里=500m,则该沙田的面积为() 数 书 九 章 A.1.5km2 B.3km2 C.6km2 D.30km2 【变式1】(2025八年级上·全国，专题练习)如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形 ABCD四个角都应是直角，他在挖完后测量发现AB=CD=6m,AD=BC=8m,AC=BD=I0m,则他挖的 地基」 ·(填“合格”或“不合格”) 4 D 【变式2】(2025八年级上·全国，专题练习)如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得 AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,且∠ABC=90°.这块菜地的面积是m2. 6/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B▣ 【变式3】(25-26八年级上·山西运城期中)某旅游景区导览图的框架结构示意图如图所示.现测得 AB=80cm,BC=90cm,CD=120cm,AD=170cm,∠ABD=90°.根据安全标准需满足BC⊥CD,请 你通过计算说明该框架结构是否符合安全标准. 题型06勾股定理及其逆定理的综合应用 【典例6】(2025河北邯郸模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD,E是边BC上的点，连接AE.已 知AD=6,CD=4,CE=2BC=2,AB=4.现要在边AB上找一点H,使得△BEH是以BH为腰的等腰 5 三角形，则BH的长为() A.3 B.5 c3号 D.3减号 【变式1】(24-25八年级下，湖北宜昌·期末)如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得AB=3,BC=4, CD=12,AD=13,∠B=90°，则阴影部分的面积为 A、 B D 【变式2】(25-26八年级上·山西运城月考)如图是机器零件的示意图形状，测得 AB=4m,AD=3m,BC=12m,CD=13m,∠A=90°. 7/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)连接BD,求B,D之间的距离： (2)求四边形ABCD的面积. 【变式3】(2025八年级上·全国专题练习)如图，在ABC中，CD⊥AB于点D. 备用图 (1)已知AD=4,BD=1,CD=2,求证：∠ACB=90°： (2)已知∠ACB=90°. ①若AD=3,BD=2,求CD的长； ②若设AD=m,BD=n,CD=k,则m,n,k的数量关系为 题型07利用勾股定理及其逆定理解决作图题 【典例7】(25-26八年级上浙江温州期中)如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A, B位于格点处，请按要求作图 图甲 图乙 (I)在图甲中画出一个格点ABC,使得ABC是等腰直角三角形； (2)在图乙中画出一个格点ABC,并满足AC2+BC2=18. 【变式1】(25-26八年级上·江苏南京·期中)如图，A、B、C的顶点均在正方形网格格点上，只用不带刻度 的直尺完成作图. 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 (I)在图1中作出∠ABC的角平分线BD (2)在图2中作出点B关于直线AC的对称点D,并直接写出四边形ABCD的面积. 【变式2】(25-26八年级上·全国单元测试)如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点. 图1 图2 图3 (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，√5，√3； (3)如图3，点A,B,C是小正方形的顶点，则ABC是 三角形 【变式3】(25-26八年级上河南郑州期中)画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格 的边长为1. 图① 图② (①)请在图①中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； (②)请在图②中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数. 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上·甘肃酒泉·期中)下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是() 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.7,24,25B.5,13,15 C.2,3,4 D.8,12,20 2.(25-26八年级上河南郑州·期中)如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A,B,C构成 一个三角形，则这个三角形是() A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 3.(25-26八年级上·湖北武汉·月考)如图，在正方形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，则 ∠CAD-∠BAC的度数为(). D A.42° B.30 C.38 D.459 4.(25-26八年级上·全国·单元测试)如图，在四边形ABCD中，AB=2,BC=√5，CD=5,DA=4, ∠B=90°，那么四边形ABCD的面积是() B A.10 B.√5+6 C.4+5 D.6-5 5.(25-26七年级上·山东淄博·期中)满足下列条件的ABC,不是直角三角形的是() A.∠A:∠B:∠C=5:12:13 B.b2=c2-a2 C.ZC=ZA+ZB D.a:b:c=3:4:5 二、填空题 6.(25-26八年级上·黑龙江绥化期中)如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=15km, BC=9km,AC=I2km.己知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB,为了实现村村通公路，现 在要从C村修一条笔直公路CD直达AB.已知公路的造价为10000元/km,则修这条公路的最低造价为 元 10/13