第5章 直角三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2024八年级上册

第五章 直角三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 2．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（              ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据求解即可得． 【详解】解：∵是中的角平分线，，，且， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故选：C． 3．如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可知，、，，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得． 【详解】解：由题意得，、，， ， ， ， 故选：A． 4．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即，① 因为，② 将①代入②，解得：， 由图形可知，阴影部分的面积为， 所以阴影部分的面积为， 故选：B． 5．下列条件中，能判定为直角三角形的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟记定理内容，判断各选项是否满足直角三角形的条件； 【详解】解：∵ 选项A：， ∴ ，不满足三角形两边之和大于第三边，故不能构成三角形，更不是直角三角形； ∵ 选项B：， 设， ∴， ∴满足勾股定理逆定理，故是直角三角形； ∵ 选项C：， 设， ∴ ， ∴ ，无角，故不是直角三角形； ∵ 选项D：， ∴ ，无角，故不是直角三角形； 故选：B 6．已知，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余，可求得，再根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：在中， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图，的周长是21，，分别平分和，于D，且，则的面积为（　　） A．48 B．63 C．21 D．42 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．过点O作于点M，于点N，连结，根据角平分线定理，可求得，，再根据，即可求得答案． 【详解】解：过点O作于点M，于点N，连结， 平分，， ， 同理可得， ． 故选：C． 8．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E．则的长为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． 连接，由线段垂直平分线的性质推出，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】解：连接，    ∵垂直平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于，于M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长于点D，下列结论错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，等角对等边，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由作图可判断A；由直角三角形的两锐角互余可得，即得，得到，即可判断B；进而由等角对等边可得，根据直角三角形的性质可得，即可判断C，根据，即可判断D，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，为的角平分线， ∴平分，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 10．如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得，得，由翻折的性质可得，推出，根据，由三角形外角性质得，得，得． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形翻折．熟练掌握翻折的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图， ， 只添加一个条件使．你添加的条件是 ．    【答案】或 或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握“三组对应边分别相等的两个三角形全等”、“有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”、“斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等”这三种全等三角形的判定是解题的关键． 根据题目条件可知要证全等的两个三角形中已经有两组边相等，如果夹角相等，两个三角形全等；如果第三边相等，两个三角形全等；如果有一组角为直角，两个三角形全等． 【详解】解：在和中，，， 当时，， 当时，， 当时，． 故答案为：或 或． 12．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据正方形边长的平方等于它的面积，以及勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意得， ， 即A所代表的正方形的面积为100， 故答案为：100． 13．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，平分，是的中线，若的面积是10，，，则的面积是 ． 【答案】32 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质、中线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等．作于点F，于点H，由平分，得，由是的中线，的面积是10，得，所以，而，且，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点F，于点H， ∵平分， ∴， ∵是的中线，的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 15．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是 ． 【答案】米 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得负值舍去， 故他滑行的最短距离约为米； 故答案为：米． 16．如图，在三角形钢架中，，，点在边上，是连接点与中点的支架，且，，垂足为．测得，则的长为 ． 【答案】2 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据等腰三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，，再由垂直平分线的性质确定，继续利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 又， ， 在中，， 在中，， 根据题意得：垂直平分， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，，P为上一点，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据三角形全等的判定定理证明，得到，根据角平分线的性质证明结论． 【详解】证明：在和中 ， ， ． 又为上一点，， ． 18．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面4.55尺 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设长x尺，则长尺， ∵在中，， ∴， ∴，，， 解得． 答：折断处离地面尺． 19．如图，在中，，点D、E是边上两点，，，于点A．求、和的度数． 【答案】；； 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴，； ∵，且 ∴， ∴， ∴． 20．如图，四边形中，连接，．点E在上，连接，，交于点F，恰好平分，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平分，得又因为，，证明即可作答． （2）由得，又因为，，证明，得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， 解得（负值已舍去）． 21．如图，和分别位于异侧，，点是的中点，连接，，． (1)求证：为等腰三角形 (2)若，，求的度数： (3)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形外角定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）由直角三角形斜边中线可得，，继而等量代换即可证明； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 22．如图，，，分别是的中线，角平分线和高线． (1)若，，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义、三角形内角和定理． 根据三角形的面积公式可以求出，根据三角形中线的定义可知； 根据三角形内角和定理可知，根据角平分线定义可知，根据直角三角形两锐角互余可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】（1）解：、分别是的中线和高线， ，， ， ， ； （2）解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高，即， ， ． 23．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，连接，使，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等基础知识． （1）证明，求得，据此可证明； （2）证明为等边三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形，是的中点， ，，，， ． 又∵， ． 又， ． 在和中，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ． 为等边三角形， ， 又， 24．（1）发现问题：如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接，求的度数； （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展提高：如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 【答案】（1），（2），理由见详解，（3）或， 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，推出，利用勾股定理和等量代换，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，； ； 在中，由勾股定理，得：， ∴； （3）∵为等腰直角三角形， ∴， ①当点在线段上时，连接，如图 同（2）可得：， ∴，， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： 同理：，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形，进行求解． 25．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． 【初步感知】（1）勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； 【问题解决】（2）如图2，已知，求的长度； 【拓展延伸】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，已知．测得，，求新路比原路短多少千米？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）新路比原路短千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）根据面积法求解即可； （2）在中，则 ，再根据勾股定理即可求解； （3）设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）方法一：； 方法二：；整理，得，所以； （2）因为， 在中，，即，所以 在中，，即，； （3）设，则． 在中，由勾股定理得，解得，即， ∴ ∴新路比原路短千米． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章直角三角形（高效培优单元测试·提升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.ABC的三边长分别为a,b,c,由下列条件不能判断ABC为直角三角形的是() A.∠A+∠B=90° B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a=3,b=4,c=5 D.c2-a2=b2 2.如图，AD是ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,S△ABC=7,DE=2, AB=4,则AC长是( A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，己知左边竹竿端点C与墙角A的距离等于右边竹 竿底部F与墙角D的距离，则∠ABC+∠DFE=() B 777777777777777 A.90° B.100° C.110° D.120° 4.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S,S2,S, 若S+S2-S,=18,则图中阴影部分的面积为() B S2 A.6 c D.3 5.下列条件中，能判定ABC为直角三角形的是() 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB=AC=1,BC=2 B.BC:AC:AB=3:4:5 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.∠A=36°，∠B=64° 6.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4,则AC的长为() A.1 B.2 C.√5 D.2√5 7.如图，ABC的周长是21，OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=2,则 ABC的面积为() ■ B D A.48 B.63 C.21 D.42 8.如图，在RtaBAC中，∠A=90°，AC=3,AB=4,BC的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E.则 AD的长为() A▣ D A. 7 B C.1 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交于AB ，AC于M,N,分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延长BC于 点D,下列结论错误的是() M D A.AD平分∠BAC B.∠ADC=60 C.DB=2CD D.S△AcD:SA4DB=1:3 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 IO.如图，在ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，把△BCD沿着BD翻折得到△BCD,连接AC, 若∠C=,则∠CAB为() D B A. B.90°-a C.180°-2a D.2a-90 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，AC=BD,只添加一个条件使△ABC≌△BAD.你添加的条件是 C D E A B 12.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 64-x 36+x 13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点M、N分别在边AC、AB上，连接MN，,将aAMN沿直线MN折 叠，点A恰好落在BC边上的点D处，且BD=号BC,若AC=I0,AB=8,则线段BN的长为 2 M D ◇ 14.如图，在ABC中，BE平分∠ABC,AD是△ABE的中线，若ADE的面积是10，AB=10,BC=6, 则ABC的面积是」 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 15.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱” 而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘AB=CD=1米，点E在CD上，cE=1米.一 滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是， 米 B 11米 E 16.如图，在三角形钢架ABC中，AB=AC,∠A=120°，点F在BC边上，FE是连接点F与AB中点E的 支架，且FE⊥AB,EG⊥BC,垂足为G,测得FC=16m,则GF的长为一m. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.如图，OA=OB,CA=CB,P为OC上一点，PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别为E、F.求证：PE=PF 18.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有 竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，竹子折断 后，竹梢触地点离竹根3尺(BC=3尺).问折断处离地面多高？ 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.如图，在ABC中，∠B=45°，点D、E是BC边上两点，∠BAD=∠BDA,∠EAC=∠C,AE⊥AB于 点A.求∠DAE、∠DAC和∠BAC的度数. D 2O.如图，四边形ABCD中，连接AC,AB=AC.点E在DC上，连接AE,BE,BE交AC于点F,EA 恰好平分∠DEF,EF=ED· (I)求证：AF=AD. (2)若∠D=90°，BF=7,CE=4,求FC的长. 21.如图，RtA ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点，连接AC, A0,0C. D A B (1)求证：△AOC为等腰三角形 (2)若∠ADB=30°，∠BDC=40°，求∠A0C的度数： (3)若锐角LADC=a,求∠AOC的度数（用的代数式表示）， 22.如图，AD,AE,AF分别是△ABC的中线，角平分线和高线. 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E F (1)若AF=2,S。ABD=3,求DC的长. (2)若∠B=30°，∠C=54°，求∠EAF的度数 23.如图，ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,连接AE,使AE∥CD,连接 BE,交CD于点G. D (I)求证：BG=CG; (2)若CG=4,求BE的长. 24.(1)发现问题：如图1，ABC和ADE均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接CE,求 ∠BEC的度数： D 图1 (2)类比探究：如图2，ABC和ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B、D、E在同一 直线上，连接CE,试判断线段BD、BE、BC之间的数量关系，并说明理由； 图2 (3)拓展提高：如图3，ABC是等腰直角三角形，斜边BC=5,点D是射线BC上的一点，连接AD,以 点A为直角顶点作等腰RtAADE(点A、D、E按逆时针方向排列)，若CD=2,直接写出DE2的值. 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图3 备用图 25.【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了 演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础. b D B b 图1 图2 图3 【初步感知】(1)勾股定理的证明方法非常丰富.如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大 正方形，中间空白部分是一个小正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c.请 用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； 【问题解决】(2)如图2，己知∠B=∠ACD=90°，AB=4,BC=CD=3,求AD的长度； 【拓展延伸】(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中 AB=AC.由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水 点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,己知CH⊥AB.测得CH=2.4km,HB=1.8km,求 新路CH比原路CA短多少千米？ 7/7