数列课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习 课时作业：数列 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，所以. 故选：B. 2．设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，设，，， 则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案 【详解】设，，， 则A，B，C成等比数列，公比为，且, 由条件得，所以，所以，所以.故选：B 3．已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【答案】C 【分析】作差并化简得，根据，讨论差的正负即可得解. 【详解】 ． 因为，，，所以若，则，，所以， 所以；若，则，，所以， 所以.所以恒有．故选：C． 4．若等比数列满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②， ②÷①得：=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4， 当q=﹣4时，由①得：a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，则公比q=4．故选B 5．已知等差数列的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ） A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确； 对于B，由题意可知，，， ∴，，，． ∴，． 根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确； 对于C，， 当时，，C正确； 对于D，，， ． 当时，，∴即； 当时，，∴即，所以，D不正确． 故选：D. 6．设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．30 D．32 【答案】D 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 7．已知等比数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B. 8．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ） A．30 B．45 C．90 D．186 【答案】C 【详解】由，，，所以． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知数列是公比为的等比数列，满足，则（   ） A． B． C． D．数列为递减数列 【答案】ACD 【分析】先求等比数列的公比和首项即可判断AB，再求通项公式即可判断CD. 【详解】由题意有：，故A正确，B错误； 所以，所以，故C正确； 由，所以数列为递减数列，故D正确. 故选：ACD. 10．已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，求出数列和的通项公式，进而分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 两式相减得，即，所以， 又，解得，则，故A正确； ，故B不正确； 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，故C正确； 由，得，则集合中元素的个数为，即，故D正确． 故选：ACD． 11．已知数列满足，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列为递增数列 D．数列的前项和为，则 【答案】CD 【分析】对于A，由即可判断；对于BC，根据递推关系求得即可判断BC，对于D，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】对于A，，且，可知数列不是等比数列，A错误； 对于BC，由可得, 数列是首项为4，公比为2的等比数列，数列为递增数列，，B错误，C正确； 对于D，数列是首项为4，公比为2的等比数列，，D正确． 故选：CD． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 13．设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由题意，对的大小分三种情况讨论即可. 【详解】由题意：即可，； 若，则且，故，则必有； 若，则，该数列为常数列，即，此时； 若，则显然有； 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 14．记为等差数列的前项和，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式及等差数列奇数项和的性质求积. 【详解】因为，解得， 所以，解得， 所以， 故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由（1）可得，， 所以．① ② ①②得 ，所以． 16．（15分）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式进行计算即可. （3）根据数列的性质分组求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得或 依题意得，则，所以． （2）由（1）知，，所以． （3）因为， 所以. 17．（15分）已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式： (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可得出，两式作差推导出，然后利用初值可求得数列的通项公式； （2）利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立； 【详解】（1）因为，进而，两式作差可得： ，即，所以为常数列， 又，则，故数列的通项公式为． （2）由（1），则，其中，8，…，， 结合等比数列求和公式，有：， 当时，，综上所述，. 18．（17分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证； （2）由裂项相消法求和，可求解得，根据单调性，即可求证结论. 【详解】（1）由得，，，又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以， 所以， 19．（17分）已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到， 可得，累加即可证. 【详解】（1）由，又由题意知，， 左右同时除以得， 所以，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得； （2）令函数，求导得， 在上单调递增，，即， 取，则，于是， 由（1）知，, ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学一轮复习 课时作业：数列 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 2．设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（    ） A． B． C． D． 3．已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 4．若等比数列满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 5．已知等差数列的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ） A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D． 6．设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．30 D．32 7．已知等比数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ） A．30 B．45 C．90 D．186 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知数列是公比为的等比数列，满足，则（   ） A． B． C． D．数列为递减数列 10．已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知数列满足，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列为递增数列 D．数列的前项和为，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 13．设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是 . 14．记为等差数列的前项和，已知，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 16．（15分）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 17．（15分）已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式： (2)证明：． 18．（17分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和，证明：． 19．（17分）已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026属高考数学一轮复习课时作业：数列 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.记Sn为等差数列{a}的前n项和，若S?=6,S=-5,则S6=（) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 2.设{a}是由正数组成的等比数列，公比q=2,且44·44o=20,那么a,,440=() A.20 B.220 C.216 D.25 3.已知等比数列a,42,,4各项为正且公比q≠1，则() A.a4+ag=4+45 B.4+a<a,+aC.q+a>a,+4D.4+a与4+4的大小关系不能确定 4.若等比数列{a}满足mm=161,则公比为() A.2 B.4 C.8 D.16 5.己知等差数列a}的前n项和s,公差0，导sL.记6=S,bm+nt neN,下列等式不何能成 立的是() A.2a=a2+5B.2b=b2+b6 C.ai=ads D.bi=b,bs 6.设{an}是等比数列，且4+a2+a=1,a2+a,+a=2,则a。+a,+a=() A.12 B.24 C.30 D.32 7.已知等比数列{an}满足41=3，a+4+a,=21,则4+a+a,=() A.21 B.42 C.63 D.84 8.己知等差数列{a}中，42=6,4，=15，若b=4m,则数列b}的前5项和等于() A.30 B.45 C.90 D.186 二、多项选释题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.己知数列{a}是公比为9的等比数列，满足42·4=4，=8，则() A.4=1 B.q=2 C.a43+4=20 D.数列 为递减数列 10.己知等比数列{a}的前n项和为S,且a1=S。+1,b}为等差数列，且b=4,bs=a4,记集合 A,={x∈Nb≤x≤a}中元素的个数为cm,则下列结论正确的是() A.a1=1 B.S4=16 C.b=n D.C =2"-1-n+1 11. 已知数列{a}满足4=1，a,=3aa1+2a+1(neN),则下列结论正确的有() 1 1 A.数列 是等比数列 a B.41=4092 C.数列 为递增数列 1 D.数列{二+3的前n项和为I,则T。=252 a 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.等差数列a}的公差不为0，前u项和为S,若a,4,4成等比数列，则= 40 13.设数列{a}满足a1=2d-1(n∈N).若存在常数，使得a.≤元成立，则的最小值是 14.记Sn为等差数列{a}的前n项和，已知a。=10,S,=7,则a4。= 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)己知数列{a}和b}满足a=4,b=2,a1=2a.+b.+2,b1=2b.+a.-2. (1)求证：数列{a+b}是等比数列，数列{a。-b}是等差数列： (2)求数列 a好-b好 的前n项和Sa, 4 16.(15分)已知正项等差数列{a}满足4=13，且14,4成等比数列. (1)求{a}的通项公式： (2)求{a,}的前n项和T: 3)设数列{《-1)a}的前n项和为S,求S· 17.(15分)己知数列{an},Sn为数列{a}的前n项和，且满足4=2,3S。=(n+2)a.· (1)求{a}的通项公式： 111113 2证明：a+a+a+a++a,4 一十一+一+一十+ 18.(17分)己知数列{an}的首项4=3，且满足a+1=2a,-1(n∈N). (1)求证：数列{a-1}为等比数列； (2)记b,=log2(a-1),数列 bb.) 的前n项和Sn,证明：Sn<1. 19.(17分)已知a后ah+3a,a=a. (1)求{a}的通项公式： @冷4气的面项之积，求证好名出+子血 CL4+12026届高考数学一轮复习课时作业：数列 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.记Sn为等差数列{a}的前n项和，若S?=6,S=-5,则S6=（) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项a,和公差d的方程求出首项a,和公差d,再由等差数列前n 项和公式即可计算求解， 3a+3d=6d=-3 【详解】设等差数列{a}的公差为d,则由题可得 5a+10d=-5> 4=5,所以8=6+15d=6x5+15x3）=-15 故选：B 2.设{a}是由正数组成的等比数列，公比q=2,且4444o=20,那么a,4,4o=() A.20 B.220 C.216 D.25 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，设A=4a,4,as，B=4244-4,C=4,a,4,-4o, 则A,B,C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案 【详解】设A=4a,448，B=a,4,4…4g，C=4,a,4…a0, 则A,B,C成等比数列，公比为q°=2，且B2=A.C, 由条件得AB.C=230,所以B3=20,所以B=20,所以C=B.20=220.故选：B 3.已知等比数列a,4,,4各项为正且公比q≠1，则（) A.a+a=a,+4B.a+a<a,+aC.4+a>a+aD.4+a与4+4的大小关系不能确定 【答案】C 【分析】作差并化简得4+4-(a+a)=41-q)1-q),根据g>1,0<q<1讨论差的正负即可得解 【详解】a+a-(a+a)=a(1+q'-q3-q上a1-g3-q1-g3】=a(1-q)1-q） 4+a-(a+a)=a-a,+a4-a=4(1-q）+aq(-1=a(1-q）1-q). 因为4>0，q>0,q≠1，所以若9>1，则1-q<0,1-q<0,所以41-q)1-q)>0, 所以4+4>44+4；若0<q<1,则1-3>0,1-q>0,所以4(1-q)1-q)>0, 所以4+4>4+a4.所以恒有4+4>4+4.故选：C. 4.若等比数列{a}满足mm1=16,则公比为() A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】B 【详解】当n=1时，a1a=16①：当n=2时，a2a=256②， ②①得： 36,即q16,解得44或q-4 a1 当q=-4时，由①得：a2×(-4)=16,即a12=-4,无解，所以q=-4舍去，则公比q-4.故选B 5.已知等差数列a号的前n项和s,公差0，号sL.记6-5，bmt-5tSm,neN,下列等式不可能成 立的是() A.2as=azta B.2b-b2+bo C.ai=ads D.bi=b,b 【答案】D 【分析】根据题意可得，b1=S2m+2-S2m=a+1+4+2,而b=S2=4+a2,即可表示出题中b2,b,b。,b,再结合等 差数列的性质即可判断各等式是否成立. 【详解】对于A,因为数列{a}为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4+4=2+6可得，2a,=4+a6, A正确： 对于B,由题意可知，b1=S2-2n=aH+4+2,么=2=a+4, .b2=43+a4,b4=4+as,b6=41+42,b=45+416 .2b,=2(a+4),b2+b=4+44+a1+a2: 根据等差数列的下标和性质，由3+11=7+7,4+12=8+8可得b2+b。=4+44+4,+42=24+4)=2b,,B正确： 对于c,G-a,4=(a+3d)2-(a+d)(a+7d)=2d-24d=2d(d-a), 当a=d时，a=a,ag,C正确： 对于D,b=(a,+a)2=(2a+13d)2=4a+52ad+169d, b,b=(a+a)(as+a6)=(24+5d(24+29d=4a+68ad+145d, b-b,b=24d2-16ad=&1(3d-2a1）. 当d>0时，4≤d,∴.3d-2a=d+2(d-4)>0即b-b,b>0: 当d<0时，4≥d,∴.3d-2a=d+2(d-a)<0卿b好-b>0,所以b-b,b>0,D不正确， 故选：D. 6.设{a}是等比数列，且a,+a,+a=1,a,+a,+a,=2,则a,+a+4=() A.12 B.24 C.30 D.32 【答案】D 【分析】根据已知条件求得q的值，再由a,+a,+4=q(a+a2+4)可求得结果 【详解】设等比数列{a}的公比为9，则a+a,+a,=a(1+q+q)=1, 42+a+a=49+aq+a4q3=a4q1+q+q)=q=2, 因此，a,+a,+a=aq+a49+aq=a4q(1+q+q)=q=32 故选：D 7.已知等比数列{an}满足41=3,4+4+4=21，则4+a+a,=() A.21 B.42 C.63 D.84 【答案】B 【详解】由a1ta+as=21得41+q+q)=21.1+q+q=7q=2.a+a+a=(4+4+4)=2×21=42,选B. 8.己知等差数列{a}中，4=6,4=15，若b,=am,则数列地}的前5项和等于() A.30 B.45 C.90 D.186 【答案】C 【详解】由凸=4+d=6 0%*划=15,3 9(d-3a=3+30-)=3m,6=4.=6n,所以s,=6+30×5=90. 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知数列{a}是公比为q的等比数列，满足a2·4=4=8,则() A.a=1 B.g=2 C.4+4=20 数万 0g, 为递减数列 【答案】ACD 【分析】先求等比数列{a}的公比q和首项a,即可判断AB,再求通项公式即可判断CD. 【详解】由题意有： aa;=aas=as a=1 → a4=a4q=8 g=2故A正确，B错误： 所以a=aq-1=2"1,所以4，+4=22+24=20，故C正确： 由1og-l32是=1-n,所以数列{s 1 1 为递减数列，故D正确. a. a 故选：ACD. 10.己知等比数列{a}的前n项和为Sn，且a1=Sn+1,b}为等差数列，且b2=4,b=a4,记集合 A,={x∈Nb≤x≤a}中元素的个数为cn,则下列结论正确的是() A.41=1 B.S4=16 C.b=n D.Cn=2-1-n+1 【答案】ACD 【分析】根据题意，求出数列{a}和b}的通项公式，进而分析选项是否正确，综合可得答案， 【详解】设等比数列{a}的公比为9，由a1=Sn+1,得a,=Sn1+1(≥2)， 两式相减得a1-an=Sn-Sn-1=a.，即a1=2a.，所以q=2, 又42=S+1=4+1,4=241,解得a=1,则a=2”1,故A正确： ⑧221S2-1=15,枚B不正面 设等差数列b}的公差为d,由b2=4,=2,b=4,=8,得6d=b-b,=6,解得d=1, 所以b.=b2+-2)d=n,故C正确： 由A,={x∈NIb,≤x≤a},得A,={xeN|n≤x≤2”-}，则集合A中元素的个数为2-1-n+1,即cn=2-1-n+1, 故D正确. 故选：ACD. 11.己知数列{a}满足4=1，a=3aa1+2a1（n∈r),则下列结论正确的有() 1 A.数列 是等比数列 B.41=4092 C.数列 为递增数列 1 D.数列{二+3的前n项和为T.,则T%=252 a 【答案】CD 1 【分析】对于A,由 乙+3即可判断；对于BC,根据递推关系求得a,=2-；即可判断BC,对于D,由等 比数列求和公式即可求解 【详解】对于A,a=3aan+2a,且4=1≠0，可知a,≠0,1-2+红-2 +3,数列 不是等比数列， a A错误； 对于BC,由 1 2+3可得+3=23,4=13=4， 1 数列 —+3 a 是首项为会比为2的等比数列，8=42-日-a写数召 a a. 为递增数列，4，= 4093,B错误，C正确； 1 对于D,数列 +3是首项为4，公比为2的等比数列，.T= 4×1-2) a =252,D正确， 1-2 故选：CD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.等差数列和}的公差不为0，前n项和为S,若a,4,4成等比数列，则三= 410 【答案】7 【分析】设等差数列{a.}的公差为d(d≠0)，根据条件得a=2d,再利用等差数列的前n项和公式及等差数列的通 项公式，即可求解， 【详解】设等差数列{a}的公差为d(d≠0)，因为4,4，a成等比数列， 则aG=4,4,所以(a+4d)2=(a4+2d)(a+7d),整理得到q=2d, 所以S 11x10d17d=7 114 2 40 a+9d 11d 故答案为：7. 13.设数列{a}满足a1=2a-1(n∈N).若存在常数，使得a≤元成立，则的最小值是 【答案】-05 【分折】由题意am-a-2a-&1-(2a+a-),对a,方的大小分三种情况讨论卸可 【详解】由题意：元≥(a)ms即可，a1-an=2C-a,-1=(2a.+1)(a。-1)； 若a<分则风>a且4分以分0，故a>行则必有2 若a=分：则a1=a,该数列为常数列，即a=子，此时22 3 1 若a.>2则显然有元>2 综上所述：2的最小值为2 故答案为：- 2 14.记S.为等差数列{a}的前n项和，己知a。=10,S,=7,则4。= 【答案】28 【分析】根据等差数列的通项公式及等差数列奇数项和的性质求积 【详解】因为S7=7a4=7,解得a,=1, 所以a=4+21=1+21=10,解得d 2 所以4。=a。+4d=10+18=28, 故答案为：28 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)己知数列an}和{b.}满足4=4，b=2,a1=2an+b.+2,b.+1=2b.+a-2. (1)求证：数列{a+bn}是等比数列，数列{a。-b}是等差数列： (2)求数列 a-b好 的前n项和Sn, 4 【答案】(1)证明见解析 (2)S,=3+(01-1)3+1 【分析】(1)根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明： (2)由第(1)问{a,+b}是等比数列，{a.-b}是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求 出前n项和 【详解】(1)证明：因为a1=20n+bn+2，bn+1=2b.+a.-2, 则将两式相加，可得a+1+b+1=2an+b.+2+2b.+a.-2=3a.+b.), 又4+b=4+2=6≠0，所以数列{a,+bn}是首项为6，公比为3的等比数列. 将两式相减，可得a+1-bn1=24.+b.+2-(2b,+a.-2)=a。-bn+4, 即a+1-b1-(a.-b)=4,又4-b=4-2=2,所以数列{a,-b.}是首项为2，公差为4的等差数列. (2)解：由(1)可得a.+bn=6×31=2×3”,4.-b,=2+4(n-1)=4n-2, 所以=b-a+ba-b）-(2m1)3.S=1x3+3x3+5x3++(2m-)-30 4 4 3Sn=1×32+3×33++(2n-3)3+(2n-1)3m② ①-②得-28.=3+23+3++3）(2m-1）-3=3+2×90=3)-1-1)×3=3+31-9-2m-0x3 1-3 =-6-(21-2)×3m1,所以S=3+(0-1)31 16.(15分)己知正项等差数列{a}满足4=13，且1,4,4，成等比数列. (1)求{a}的通项公式： (2)求{a}的前n项和T.: 3)设数列{-1)a}的前n项和为S,求S· 【答案】(1)a.=4n+1 (2)Tn=22+3n (3)S2m=4n 【分析】(1)根据等差数列的通项公式进行求解即可. (2)根据等差数列的前项和公式进行计算即可. (3)根据数列的性质分组求和即可. 13 a+2d=13, 4=5, 4= 21 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,则 4=a=a+5以，解得 或 d=4, d=39 依题意得a.>0,则a=5,d=4,所以an=a+(n-1)d=4n+1. (2)由1)知，a=4n+14=5,d=4,所以T=5+n+)n-2i+3 2 (3)因为(-1)2ma21+(14,n=-4×2n-11+4×2n+1=4, 所以S2m=(-4+4)+(-4+4)+…+(-a42m1+aa)=4n 17.(15分)已知数列{an},S.为数列{a}的前n项和，且满足a=2,3S=(n+2)a.. (1)求{a}的通项公式： a名古女 ,13 4 【答案】(1)a.=n(n+1) (2)证明见解析 aH 【分析】(1)由3S,=(m+2)a可得出38,1=+3)a.a,两式作差推导出0+0n+2+,然后利用初值可 求得数列{a}的通项公式： 111 (2)利用放缩法推导出。+D京，再结合等比数列求和公式可证得结论成立： 【详解】(1)因为3S.=(n+2)an,进而3Sn=(n+3)a1,两式作差可得： +1 3an=n+3)an-n+2)a,即(0n+2)a=m.1,所以(ou+1n+2)n+1为常数列， 又a=2,则，及=1，故数列{a,}的通项公式为a,=(n+1). 1×2 1=1<1 (2)由(10a,=n+0,则a+0京，其中i=4,8,,2, 1 243 结合等此数列求和公式，有：22+上十++。古女京+女分6气 4a2444 当n=1时， 这甘行导上m古古安片…这京 9.4 18.(17分)已知数列{am}的首项a=3,且满足a1=2a.-1(n∈N). (1)求证：数列{a-1}为等比数列： 1 (2)记b.=1og2(a-1),数列 的前n项和Sn,证明：Sn<1. b.b1」 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)由等比数列的定义即可求证： ②》由裂项相消法求和，可求解得S=么+么+么++么1心1根据单调性，即可求证结论 【详解】(1)由a1=2a.-1(n∈N)得，a1-1=2(a.-1),(n∈N),又4-1=2， 所以{a,-1}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)由(1)知，a.-1=2×2=2”,所以bn=10g2(a,-1)=n, 所女六841}青日11 1 11、1 19.(17分)已知a三6a1+3a41=a· (1)求{a}的通项公式： Q冷，=a,工为b的前n项之积，求证： a+1 好立家L立a-》 【答案】()a,=3n 1 (2)证明见解析. -3,且4行由等差数列的定义写出通项公武即可： 1 【分析】(1)根据已知可得 a+1a。 (2)利用导数证明nx<x-1(0<x<1),进而得到1<nn+1, "n+1 n 可得b.7.(n+1)n+0n+1 <1<ln(n+1)-lnn,累加即可证。 【详解】(1)由a+1+3aa1=4.,又由题意知，an≠0， 1 1 左右同时除以aA+1得。+3=。 士-34。则4号 所以 Aa 故是以3为首项，3为公差的等差数列， a 所以2=3+3n-,可得a=n 1 (2)令函数f()=血x-x+l,0<x<1,求导得f'(x)=1-1>0, f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)<f(I)=0,即lnx<x-1, =N则名片1 取x=八， —主工是1大 由(1)知，6=n+1 2一，=23.+1=n+1 12n 1 <h"+l=lnm+l）-hn, 1 b,T(n+1)(n+1)n+1 n 1,1 新以2元+632Zb7<n(u+1)-h1=n(n+ +…+