等比数列单元检测B卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列单元检测B卷 班级 学号 姓名 参考答案 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．5 B．±5 C．4 D．±4 答案：C 解析：∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.又a5＝a3q2>0，∴a5＝4. 2.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为(　　) A.30 B.10 C.9 D.6 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q， 因为{an}是各项均为正数的等比数列，则a1>0，q>0， 因为a＝a2a4＝9，所以a3＝3. 又因为9S4＝10S2，则9(a1＋a2＋a3＋a4)＝10(a1＋a2)， 可得9(a3＋a4)＝a1＋a2，所以＝q2＝，解得q＝， 故a2＋a4＝＋a3q＝10. 3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 答案：B 解析：解法一：设等比数列{an}的公比为q，则由 解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1， 所以＝＝2－21－n.故选B. 解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2， 所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n.故选B. 4.两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若＝3，则＝(　　) A.3 B.27 C.81 D.243 答案：D 解析：法一　设等比数列{an}的公比为q1， 则a3＝a1q，{an}的前5项积 A5＝a1a2a3a4a5＝aq＝aq. 设等比数列{bn}的公比为q2，则b3＝b1q，B5＝bq.因为＝＝3， 所以＝＝＝35＝243. 法二　由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝a， 所以{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝a， 同理可得B5＝b，所以＝＝35＝243. 5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A.120 B.85 C.－85 D.－120 答案：C 解析：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列， 所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)， 解得S2＝－1或S2＝. 当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85； 当S2＝时，结合S4＝－5得 化简可得q2＝－5，不成立，舍去. 所以S8＝－85，故选C. 6.在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， ∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列， ∴an＝2×2n－1＝2n.又ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25， ∴＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5， ∴k＝4.故选C. 7.等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：∵an＝192， ∴q＝＝＝＝－2， 又Sn＝＝S奇＋S偶， 即＝255＋(－126)，解得a1＝3. 8.已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1.若数列{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则a2026＝(　　) A. B. C．21012－1 D．21011－1 答案：A 解析：依题意，a1＋a2＝1，an＋an＋1＝2n－1，当n≥2时，an－1＋an＝2n－2， 则an＋1－an－1＝2n－2， 所以a2026＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2026－a2024) ＝1＋2＋23＋25＋…＋22023＝1＋＝.故选A. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)(　　) A.该人第五天走的路程为12里 B.该人第三天走的路程为42里 C.该人前三天共走的路程为330里 D.该人最后三天共走的路程为42里 答案：AD 解析：由题意可得此人每天走的路程构成一个公比为q＝的等比数列， 且S6＝378， 所以S6＝＝378，解得a1＝192， 所以an＝a1qn－1＝192×(1≤n≤6，n∈N*). 对于A，因为a5＝192×＝12，故A正确； 对于B，因为a3＝192×＝48，故B错误； 对于C，S3＝＝＝336，故C错误； 对于D，该人最后三天共走的路程为S6－S3＝378－336＝42，故D正确. 10.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　　) A.{an＋Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列 C.{a}是等差数列 D.是等比数列 答案：ACD 解析：由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3， ∵{an}是各项均为正数的等比数列， ∴a2＝a2q，可得q＝1. ∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1， ∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确； ∵a＝a，∴{a}是常数列，为等差数列，因此C正确； ∵＝a1>0，∴是等比数列，因此D正确； ∵anSn＝na，∴{an·Sn}不是等比数列，因此B不正确. 11.已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，且m，n，p是互不相等的正整数，则(　　) A．若m＋n＝2p，则aman＝a B．若aman＝a，则m＋n＝2p C．若Tm＝Tn，则Tm＋n＝1 D．若Tm＋n＝1，则Tm＝Tn 答案：ACD 解析：设已知正项等比数列{an}的公比为q，∵m＋n＝2p， ∴aman＝a1qm－1a1qn－1＝aqm＋n－2＝aq2p－2＝(a1qp－1)2＝a，故A正确； 当q＝1时，等比数列{an}各项均相等，aman＝a恒成立，故B错误； 由题意，得Tn>0，不妨设m<n，∵Tm＝Tn，∴a1a2…am＝a1a2…amam＋1…an， ∴am＋1am＋2…an＝1，∴(am＋1·am＋2…an)(am＋1am＋2…an)＝1， 即(am＋1an)·(am＋2an－1)…(anam＋1)＝1， ∵am＋1an＝am＋2·an－1＝…＝anam＋1，∴am＋1an＝1， ∴T＝(a1a2…am＋n)(a1a2…am＋n)＝(a1am＋n)·(a2am＋n－1)(a3am＋n－2)…(am＋na1)， ∵am＋1an＝a1am＋n＝a2am＋n－1＝…＝1，∴T＝1，∴Tm＋n＝1，故C正确； 由C项的推导过程得反之也成立，故D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知公比不为1的等比数列{an}中，a1＝1且3a1，2a2，a3成等差数列，则a2025＝________________(结果用幂表示)． 答案：32024 解析：已知3a1，2a2，a3成等差数列， 则根据等差数列的性质可得2×2a2＝3a1＋a3. 因为a1＝1，设等比数列{an}的公比为q(q≠1)， 则a2＝a1q＝q，a3＝a1q2＝q2，可得2×2q＝3×1＋q2，整理得(q－1)(q－3)＝0， 解得q＝3或q＝1(舍去)，所以a2025＝1×32025－1＝32024. 13.已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为________. 答案：2 解析：由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，解得q＝， ∴a1＝2，a2＝1，a3＝， 故数列{anan＋1}是首项为2，公比为＝的等比数列， ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ＝∈. 故最小值为2. 14.将正整数按照如图所示方式排列： 试问2 025是表中第________行的第________个数. 答案：11　1 002 解析：由题意得第n行有2n－1个数， 前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1 023(个)数， 前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047(个)数， 故2 025在表中第11行， 又表中第11行有210＝1 024(个)数， 故2 025是表中第11行的第1 002个数. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.若等比数列{an}的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5. (1)求该数列的通项公式. (2)判断728是不是该数列中的项. 答案：(1) an=3n-1 (2) 不是 解析：(1)依题意,得(a+1)2=2a+5,解得a=2(a=-2舍去), 于是公比q==3,故通项公式为an=3n-1. (2)令3n-1=728,解得n=log3728+1. 因为log3 728+1∉N*,所以728不是该数列中的项. 16.(12分)已知数列的前n项和为Sn,且2Sn=4an-3. (1)求数列的通项公式. (2)令bn=·an,求数列的前n项和Tn. 答案：(1) an=×2n-1=3×2n-2 (2) Tn=4+(n-1)×2n+2 解析：(1)由已知得2Sn=4an-3. 当n=1时,2S1=4a1-3⇒a1=. 当n≥2时, 由①-②得an=2(n≥2), 所以是以为首项,2为公比的等比数列, 所以an=×2n-1=3×2n-2. (2)由(1)得bn=·an=n·2n+1, 所以Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,③ 所以2Tn=1×23+2×24+…+(n-1)×2n+1+n×2n+2,④ 由③-④得-Tn=4-n×2n+2+, 化简得Tn=4+(n-1)×2n+2. 17.在一次招聘会上,两家公司开出的工资标准如下. 公司A:第一年月工资3 000元,以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元; 公司B:第一年月工资3 720元,以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5%. 设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作. (1)若此人选择在其中一家公司连续工作n年,第n年的月工资分别为多少? (2)若此人选择在其中一家公司连续工作10年,则从哪家公司得到的报酬较多?(参考数据:1.0510≈1.63) 答案：(1)选择公司A，第n年的月工资是3 000+(n-1)×300=300n+2 700(元) 选择公司B，第n年的月工资是3 720×(1+0.05)n-1(元) (2) 从公司B得到的报酬较多 解析：(1)选择在公司A连续工作n年,第一年月工资3 000元,以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元, 则他第n年的月工资是3 000+(n-1)×300=300n+2 700(元)(n∈N*); 选择在公司B连续工作n年,第一年月工资3 720元,以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5%, 则他第n年的月工资是3 720×(1+0.05)n-1(元)(n∈N*). (2)若此人选择在其中一家公司连续工作10年,则在公司A和公司B得到的报酬分别为 公司A:12×[3 000+(3 000+1×300)+…+(3 000+9×300)] =12×3 000×10+12×300×=522 000(元), 公司B:12×3 720×(1+1.051+1.052+…+1.059)=12×3 720×≈562 464(元). 因为562 464>522 000,故从公司B得到的报酬较多. 18.已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn. (1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＜. 答案：(1)详见解析 (2) 详见解析 解析： (1)证明：依题意， ①＋②，得an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又a1＋b1＝≠0， ∴数列{an＋bn}是首项为，公比为的等比数列， ①－②，得an＋1－bn＋1＝(an－bn)． 又a1－b1＝≠0， ∴数列{an－bn}是首项为，公比为的等比数列． (2)由(1)得，an＋bn＝×，　③ an－bn＝×， ④ ③＋④，得an＝＋， 故Sn＝＋＝－－＜. 19．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝6，S4＝30. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设正项数列{bn}满足bnbn＋1＝an，其前n项和为Tn，当T20取最小值时，求b1的值． 答案：(1) an＝2n (2) 解析：(1)设正项等比数列{an}的公比为q， 由题意，得解得a1＝2，q＝2(负值舍去)， 故an＝2n. (2)因为正项数列{bn}满足bnbn＋1＝an＝2n，所以b1b2＝2， 设b1＝x，则b2＝，x>0， 因为bnbn＋1＝2n，则当n≥2时，bnbn－1＝2n－1， 两式相除，得＝2(n≥2)， 故b1，b3，…，b2n－1构成以x为首项，2为公比的等比数列， b2，b4，…，b2n构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以T20＝＋＝(210－1)， 因为x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝时取等号， 所以当T20取最小值时，b1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列单元检测B卷 班级 学号 姓名 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．5 B．±5 C．4 D．±4 2.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为(　　) A.30 B.10 C.9 D.6 3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 4.两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若＝3，则＝(　　) A.3 B.27 C.81 D.243 5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A.120 B.85 C.－85 D.－120 6.在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 7.等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1.若数列{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则a2026＝(　　) A. B. C．21012－1 D．21011－1 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)(　　) A.该人第五天走的路程为12里 B.该人第三天走的路程为42里 C.该人前三天共走的路程为330里 D.该人最后三天共走的路程为42里 10.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　　) A.{an＋Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列 C.{a}是等差数列 D.是等比数列 11.已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，且m，n，p是互不相等的正整数，则(　　) A．若m＋n＝2p，则aman＝a B．若aman＝a，则m＋n＝2p C．若Tm＝Tn，则Tm＋n＝1 D．若Tm＋n＝1，则Tm＝Tn 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知公比不为1的等比数列{an}中，a1＝1且3a1，2a2，a3成等差数列， 则a2025＝________________(结果用幂表示)． 13.已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值 为________. 14.将正整数按照如图所示方式排列： 试问2 025是表中第________行的第________个数. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13分)若等比数列{an}的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5. (1)求该数列的通项公式. (2)判断728是不是该数列中的项. 16.(15分)已知数列的前n项和为Sn,且2Sn=4an-3. (1)求数列的通项公式. (2)令bn=·an,求数列的前n项和Tn. 17. (15分)在一次招聘会上,两家公司开出的工资标准如下. 公司A:第一年月工资3 000元,以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元; 公司B:第一年月工资3 720元,以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5%. 设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作. (1)若此人选择在其中一家公司连续工作n年,第n年的月工资分别为多少? (2)若此人选择在其中一家公司连续工作10年,则从哪家公司得到的报酬较多?(参考数据:1.0510≈1.63) 18. (15分)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn. (1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＜. 19.(17分)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝6，S4＝30. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设正项数列{bn}满足bnbn＋1＝an，其前n项和为Tn，当T20取最小值时，求b1的值． 学科网（北京）股份有限公司 $