专题01 锐角三角函数重难点题型汇编（八大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版九年级下册

专题01 锐角三角函数重难点题型汇编 题型一：已知函数值求边长 题型二：求角的函数值 题型三：特殊角的三角函数值 题型四：解直角三角形 题型五：解直角三角形的应用-坡度坡角 题型六：解直角三角形的应用-仰角俯角 题型七：解直角三角形的应用-方向角 题型八：解直角三角形的其他应用 题型一：已知函数值求边长 1．在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 2．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（   ）．（结果精确到） A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 3．如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 5．在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 6．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 题型二：求角的函数值 1．如图，正方形的边长为2，是边的中点，把沿折叠得到（点的对应点为点），则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 3．如图，在中，三边，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型三：特殊角的三角函数值 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．的值等于（   ） A． B． C． D．1 3．的值等于（    ） A． B．1 C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作分别交x轴，y轴于点A，B，弦与相交于点C，与y轴相交于点D，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 6．计算：（   ） A．1 B． C． D． 题型四：解直角三角形及应用 1．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 2．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 4．如图，是的中线，，，．求： (1)的长； (2)的余弦值． 5．如图，在中，于点D，若，，，求： (1)的长 (2)的值 6．如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 7．如图，是的直径，，分别与相切于点A，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型五：解直角三角形的应用-坡度坡角 1．某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 2．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 3．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 4．“星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 题型六：解直角三角形的应用-仰角俯角 1．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 2．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 3．“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求这栋房屋高． 4.学习小组为测量学校三号楼的高度，设计了以下测量方案：小志站在五号楼一层的C处（小志身高），看到三号楼楼顶的A处，此时测得仰角为，随后上到三楼，在E处看到三号楼楼顶的A处仰角为，两视线之间的距离，（、D、E在同一直线上且垂直于地面），请根据测量数据求三号楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 5．如图，皇城相府位于山西省晋城市阳城县，其中的河山楼雄伟险峻，是一处罕见的明清两代城堡式住宅建筑群，被专家誉为“中国北方第一文化巨族之宅”．某数学兴趣小组运用所学知识，对河山楼的高度进行测量．为减小测量误差，对每个数据都进行多次测量，并取平均值作为测量结果．如图，河山楼顶部为点，楼底部为点，与水平地面垂直．以下是他们的测量数据：小组成员在点处测得顶部点的仰角为，向河山楼方向行走35m后到达点，在点处测得顶部点的仰角为．已知测角仪的高度m，且点在同一水平线上，点在同一竖直平面内，，．请根据以上数据，求河山楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 6．阅读理解：如图1，在中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角比的定义：，，可得，即（规定）． 探究活动：如图2，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，如图，过点作直径交于点，连接， ，， ， ， 根据上面的思路，试探究： （用，或连接）． 初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，，，分别是，，的对边，，，，求． 综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，，，在一条直线上，且，两点的距离为100米，求楼的高度．（结果保留根号）（参考数据：）． 7．【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 题型七：解直角三角形的应用-方向角 1．如图，海岸线l上有两个的观察点A，B，点B在点A的正东方向，，从观察点A，B望海岛C，测得海岛C分别在点A的北偏东和点B的北偏东的方向上，求海岛C到A，B观察点所在海岸线l的距离． 2．今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 3．为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 4．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 题型八：解直角三角形的其他应用 1．图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景，图2是其侧面示意图，车身高米（），为车身长，且，云梯可绕点O旋转，点O、D、B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆底端C为上的固定点，米．在现在工作状态下，．求此时： (1)救援高度点B到地面的距离是多少米； (2)的值． （参考数据：，结果精确到0.1） 2．江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 3．某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 4．舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 5．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 6．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 7．每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？ (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数重难点题型汇编 题型一：已知函数值求边长 题型二：求角的函数值 题型三：特殊角的三角函数值 题型四：解直角三角形 题型五：解直角三角形的应用-坡度坡角 题型六：解直角三角形的应用-仰角俯角 题型七：解直角三角形的应用-方向角 题型八：解直角三角形的其他应用 题型一：已知函数值求边长 1．在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（   ）．（结果精确到） A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦的定义，设梯子的长度为L，根据正弦的定义得出，即可得出当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：设梯子的长度为L， 根据正弦的定义得出：， 随着α的增大，增大，L减小， 故当时，L取得最小值为：， 故选：B 3．如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】B 【详解】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，求出的长是解题关键．根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据特殊角的锐角三角函数值进而求出的长． 【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点O，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 5．在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 6．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算． 【详解】解：作于E，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵在中，， ，解得 ． 故选：D． 题型二：求角的函数值 1．如图，正方形的边长为2，是边的中点，把沿折叠得到（点的对应点为点），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，求正切值等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点作，分别交于点，证明四边形是矩形和，再利用相似三角形的性质得出，再利用勾股定理求出的值，进而求解即可． 【详解】解：过点作，分别交于点， ∵四边形为正方形， ∵是边的中点，把沿折叠得到， ∴四边形是矩形， 设， 则， ， ， 在Rt中，，即，解得， ， 故选：C． 2．如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据正弦的定义（对边与斜边的比值）计算的值． 【详解】解：取格点D，连接、，则，A、B、三点不共线， 由网格可知，， 在中， ， ， 故选：． 3．如图，在中，三边，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数． 先判断三角形的形状，再根据，求解即可． 【详解】解：∵， 令， ， ， ∴是直角三角形， ， 故选：C． 4．如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的性质证明，根据勾股定理，利用余弦的定义计算即可． 本题考查了余角的性质，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正切值，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求得、两点的坐标，再求得，，从而可求得的值． 【详解】解：∵直线与、轴分别交于、两点， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、勾股定理等知识． 过点D作轴于点F，设交y轴于点G，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理可得，，再由，可得，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：过点D作轴于点F，设交y轴于点G， ∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B 题型三：特殊角的三角函数值 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，然后根据特殊角的三角函数值，直接计算的值，熟练掌握等特殊角的三角函数值有助于快速解题． 【详解】解：． 故选：B． 2．的值等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 3．的值等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求特殊三角函数值以及二次根式的运算．先求出，再代入原式进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作分别交x轴，y轴于点A，B，弦与相交于点C，与y轴相交于点D，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，圆周角定理得到，特殊角的三角函数值得到，进而得到，对顶角相等结合三角形的内角和定理求出的度数即可。 【详解】解：∵，在平面直角坐标系中，． ∴ ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故选B． 5．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理结合逆定理推出为等腰直角三角形，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选B． 6．计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是关键；根据角的正切值即可求解． 【详解】解：； 故选：C． 题型四：解直角三角形及应用 1．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键． 根据正弦的定义即可直接作答． 【详解】解： ，高为10丈， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义． 如图，过点作交于点．设，则，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点作交于点． 设，则， ，， ， ， ， ∴， ， ， 故选：B． 3．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 根据，构造直角三角形，过点作于点，过点作于点，由是等腰三角形，利用“三线合一”的性质可证明，根据相似三角形的性质建立方程组，解方程组即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图： ， ， 设，，则 在中， ，即 在中，由勾股定理得 联立 解得：， ． 故选：D． 4．如图，是的中线，，，．求： (1)的长； (2)的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是接直角三角形的应用． （1）如图，作于H，结合，先求解，，进一步求解可得答案． （2）先求解，，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，作于H． 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴． ∴． （2）解：∵是的中线 ∴， ∴， ∴． 在中，． ∴的余弦值为． 5．如图，在中，于点D，若，，，求： (1)的长 (2)的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 6．如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，得到，根据角平分线的定义得到结论； （2）由（1）知，，等量代换得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论； 【详解】（1）连接为直径， ∵为直径， ∴， ∴， ∵过点C作的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，是的直径，，分别与相切于点A，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用,锐角三角函数等知识点，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力． （1）根据切线的性质得，，证得，进而得证； （2）连接，令交圆于点F，利用，可求出，再证明，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出，的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵，与分别相切于点A，C， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （2）解：令交圆于点F， ∵，与分别相切于点A，C， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴． 题型五：解直角三角形的应用-坡度坡角 1．某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 2．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 如图：过点作于点，根据题意可得米，易得四边形是矩形，即米、，再说明是等腰直角三角形可得，设米，则米，米，然后在中解直角三角形即可． 【详解】解：如图：过点作于点， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， ，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ，解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 3．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 4．“星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】星火相传雕塑的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，作于点，由台阶长为，坡度，求得，，连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点，求得，再在和中，解直角三角形，求得，解得，据此求解即可． 【详解】解：设，作于点， ∵台阶长为，坡度， ∴设，则， ∴， 解得， ∴，， 连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点， 则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：星火相传雕塑的高度约为． 题型六：解直角三角形的应用-仰角俯角 1．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 【答案】(1)建筑物的高度为米； (2) 米；行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 【分析】本题主要考查解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）过作于点，则有四边形是矩形，所以米，米，求出（米），然后通过线段和差即可求解； （2）①分别求出（米），（米），然后通过线段和差即可求解； ②利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高度为米； （2）解：∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）； ∵米， ∴， 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 2．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【答案】(1)线段的长为 (2)的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，根据，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为． 3．“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求这栋房屋高． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． （1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， （米）； 答：屋顶到横梁的距离约为米； （2）过作于， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米， ， 解得：， ∴米， （米）， 答：房屋的高约为米． 4.学习小组为测量学校三号楼的高度，设计了以下测量方案：小志站在五号楼一层的C处（小志身高），看到三号楼楼顶的A处，此时测得仰角为，随后上到三楼，在E处看到三号楼楼顶的A处仰角为，两视线之间的距离，（、D、E在同一直线上且垂直于地面），请根据测量数据求三号楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】三号楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，过A作于H，则，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过A作于H， 则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 答：三号楼的高度AB约为 5．如图，皇城相府位于山西省晋城市阳城县，其中的河山楼雄伟险峻，是一处罕见的明清两代城堡式住宅建筑群，被专家誉为“中国北方第一文化巨族之宅”．某数学兴趣小组运用所学知识，对河山楼的高度进行测量．为减小测量误差，对每个数据都进行多次测量，并取平均值作为测量结果．如图，河山楼顶部为点，楼底部为点，与水平地面垂直．以下是他们的测量数据：小组成员在点处测得顶部点的仰角为，向河山楼方向行走35m后到达点，在点处测得顶部点的仰角为．已知测角仪的高度m，且点在同一水平线上，点在同一竖直平面内，，．请根据以上数据，求河山楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】河山楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，延长交于点，由题可知四边形和四边形都是矩形， 则，，设，则，在中，，所以，得，在中，，所以，得，解得，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题可知四边形和四边形都是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：河山楼的高度约为． 6．阅读理解：如图1，在中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角比的定义：，，可得，即（规定）． 探究活动：如图2，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，如图，过点作直径交于点，连接， ，， ， ， 根据上面的思路，试探究： （用，或连接）． 初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，，，分别是，，的对边，，，，求． 综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，，，在一条直线上，且，两点的距离为100米，求楼的高度．（结果保留根号）（参考数据：）． 【答案】探究活动：，；初步应用；综合应用 【分析】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结论是解题的关键． 探究活动：由锐角三角函数可得，可得解； 初步应用：将数值代入可求解； 综合应用：由锐角三角函数即可求解． 【详解】解：探究活动：如图，过点C作直径交于点D，连接， ∴， ∴， ∴， 同理可证：，， ∴， 故答案为：，； 初步应用： ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 综合应用： 如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 设楼，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴楼的高度约为． 7．【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 题型七：解直角三角形的应用-方向角 1．如图，海岸线l上有两个的观察点A，B，点B在点A的正东方向，，从观察点A，B望海岛C，测得海岛C分别在点A的北偏东和点B的北偏东的方向上，求海岛C到A，B观察点所在海岸线l的距离． 【答案】海岛C到海岸线l的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角的问题，过C作交延长线于D，根据三角形的外角性质求出，再根据等腰三角形的性质求出，并通过解直角三角形的应用得到答案． 【详解】解：如图，过C作交延长线于D， ∴，                 根据题意得，，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即海岛C到海岸线l的距离为． 2．今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 【答案】(1)这条最近的简易公路长为5.20千米 (2)修建简易公路的最低费用为83200元 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过作于，根据垂线段最短得到为最近的简易公路，设，解直角三角形，求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可； （2）用路长乘以单价，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：过作于，为最近的简易公路． 设，依题意得： 在中，，， ， ， 同理：． ， ， 解得：； 答：这条最近的简易公路长为5.20千米； （2）元． 答：修建简易公路的最低费用为元． 3．为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)； (2)甲先到达点 ． 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，如图： 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图： 在中，， ∴， ∴， ∴甲到达所用的时间为：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴乙到达所用的时间为：， ∵， ∴甲先到达点． 4．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 题型八：解直角三角形的其他应用 1．图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景，图2是其侧面示意图，车身高米（），为车身长，且，云梯可绕点O旋转，点O、D、B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆底端C为上的固定点，米．在现在工作状态下，．求此时： (1)救援高度点B到地面的距离是多少米； (2)的值． （参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)救援的高度为13.7米 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． （1）过点B作，延长交于点Q，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）过点D作于点P，依次求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图作，延长交于点Q． ∴． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． 此时救援的高度为13.7米． （2）解：作， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． 2．江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度，再加的高度即可求解． 【详解】（1）解：在中， 由题意得， ； 即索道的长约为． （2）解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 3．某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)背垫旋转的度数为 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【详解】（1）解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． （2）过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 4．舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 【答案】(1) (2)桩AB与桩CD之间的距离BD的长约为 【分析】本题主要考查仰角与俯角，解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）过点作交于点，交于点，根据直角三角形的两个锐角互余，求出，再根据平角为即可求解； （2）四边形和四边形均是矩形，设，则，由三角函数算出，，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作交于点，交于点，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． （2）解：∵四边形和四边形均是矩形， ． 设， ， 在中， ． 同理，在中，， ， 解得， ， 桩与桩之间的距离的长约为． 5．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到的距离的长为米． (2)轿车能驶入小区，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． （2）解：由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 6．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出的长，再由余弦的定义可得，据此求解即可； （2）求出的长，延长交于点，则四边形是矩形，可求出的长，进而求出的长，再证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． 7．每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？ (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)旅游车高约米． (2)该旅游车停车符合规定的安全标准． 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，，可得，进一步求解可得答案． （2）先求解，再进一步分析即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旅游车高约米． （2）解：在中，， ∵， ∴， 答：该旅游车停车符合规定的安全标准． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $