专题01 直线和圆的重难点题型汇编（七大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版九年级下册

专题01 直线和圆的重难点题型汇编 题型一：直线与圆的位置关系的判定 题型二：利用切线的性质求解 题型三：切线的性质与判定综合 题型四：切线长定理 题型五：三角形的内切圆 题型六：三角形的外接圆 题型七：四边形的内切圆和外接圆 题型一：直线与圆的位置关系的判定 1．已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．设点到直线的距离为，根据垂线段最短，可得，根据直线与圆的位置关系即可得答案． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点在直线上，且， ∴，（垂线段最短）， ∵的半径为， ∴当时，直线与相交； 当时，直线与相切； ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 3．如图，于点，若以点为圆心，的长为半径作圆，所得的圆与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断． 本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．若直线和相交；直线和相切；直线和相离． 【详解】解：于， ， 以点为圆心，为半径的圆与直线相交． 故选：． 4．在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系,锐角三角函数的定义．计算点到上的高即可判断． 【详解】解：如图，过作于，      ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 中，， ∴与相交， 故选：C． 5．已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定． 首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线a的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∵圆的直径是，即圆的半径为，， ∴直线l与圆O的位置关系是相离， 故选：B． 6．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交， ∴直线与有2个交点， 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，掌握直线与圆的位置关系定是解此题的关键．根据点为圆心，得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ，， 圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 题型二：利用切线的性质求解 1．如图，经过圆心且与相交于A，C两点，与相切于点D，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据切线的性质得出直角三角形，根据等边对等角以及三角形的外角得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵与相切于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，、分别与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四边形内角和定理、切线的性质、圆周角定理．首先连接、，根据切线的性质可知，根据四边形内角和定理可以求出，根据点在圆上的位置，求的度数． 【详解】解：连接、， ∵、分别与相切于、两点， ∴， 又∵， ∴ 当在劣弧上时 当在优弧上时 故选A.． 3．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点，，连接，，，已知经过圆心，与相切于点，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，切线的性质，结合的角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 4．如图，是等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D．若，则的半径为（   ） A．6 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，连接，根据是等腰三角形，O是底边的中点，得出，根据腰与相切于点D，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边的中点， ∴， ∵腰与相切于点D， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3， 故选：C． 5．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连接，若，，则的长度是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，切线的性质，掌握角所对直角边等于斜边的一半，以及见切线连圆心和切点得垂直的辅助线做法是解题的关键． 先根据切线，连接圆心和切点，得到，再根据，得到和之间的关系，再结合半径，找到和之间的关系，根据的长度求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点E， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故选：B． 6．如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和平行线的性质． 连接，如图，先根据切线的性质得，则利用互余可计算出，再根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 7．如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线以及含度角的直角三角形，分类讨论与半圆相切，半圆O与相切于点D，半圆O与相切三种情况即可求解； 【详解】解：①如图1，当点Q运动到与点B重合时，，与半圆相切，此时半圆O运动的距离为，所求运动时间． ②如图2，当半圆O与相切于点D时，则， ∵，，则，此时点O与点B重合， ∴半圆O运动的距离为，所求运动时间． ③如图3，当半圆O与相切时，此时点P与点B重合，半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 综上所述，t的值为或或． 故选：D． 题型三：切线的性质与判定综合 1．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． （1）连接，先证明，得出，再证明，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 是等腰三角形， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ． 2．如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得到，由直径所对的圆周角是直角推出，则由直角三角形的性质和等边对等角推出，根据切线的性质得到，则，据此可证明结论； （2）可证明是的中位线，推出，则，进而求出，可证明根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵点O和点E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求不规则图形的面积，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，是的直径，，点在上，连接，且，及的延长线与分别相交于点、． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查圆的切线判定定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，即，再由，为半径，得到是的切线，即可解答； （2）连接，证明是等边三角形，得到，继而推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，如图 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∵，为半径， ∴是的切线． （2）解：连接，如图 ∵是的直径 ∴， 则 ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴． 4．如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，再根据三角形相似即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ． （2）解：∵， 设，则， ， 设的半径为，则， 由（1）可知，， ， ， ， ， ∴的半径为 3 ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，涉及相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 5．如图，中，O是边上一点，以O为圆心，为半径的恰好与相切于点D，且． (1)求证：是的切线． (2)若，且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6． 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，得到，由切线的性质可得，由此即可证明是的切线； （2）先证明，则，设，则，根据勾股定理，可得，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵为半径的恰好与相切于点D， ∴，    ， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， ∴． ∴， ∴的半径为6． 6．如图，已知O是菱形对角线上的一点，以O为圆心，为半径的与相切于E点，与分别相交于F、G点． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，由与相切于E点，得到，根据菱形中平分，得到，即可证明； （2）可得为等边三角形，则，，则设，则，然后在中，由，代入计算即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， ∵与相切于E点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴为半径， ∴与相切； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径是． 【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 7．如图，是的直径，点在上，分别连接，，的切线与的延长线交于点，是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线性质得出，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可得出结论； （2）根据切线的性质得出，解直角三角形得出，根据勾股定理求出，解直角三角形得出，根据，，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， 为直径， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线． （2）解：是的切线， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，勾股定理，三角形面积计算，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 8．如图，、分别是的直径和弦，于点，过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形等知识． （1）连接，如图，根据切线的性质得到，再根据垂径定理得到，则垂直平分，所以，利用等腰三角形的性质得到°，然后根据切线的判定方法可判断是的切线； （2）先证明为等边三角形得到，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 9．如图，内接于，，过点O作，过点E作，与过点B的的切线交于点D，与延长线交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，锐角三角函数，垂径定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，利用切线性质得到，连接，根据得到证得，即可得到结论； （2）延长交于点G，设的半径为，则是矩形，然后利用解直角三角形和勾股定理求出，，进而得到和长，再在中利用勾股定理求出半径r即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的切线， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：延长交于点G，设的半径为， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵O是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 又∵， 在中，，即， 解得：（舍去），， ∴的半径为． 题型四：切线长定理 1．如图，从外一点引的两条切线，，切点分别为，，如果， ，那么弦的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解． 【详解】解：，PB为的切线， ， ， 为等边三角形， ． 故选：B． 2．如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了切线长定理，由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，， ∴的周长， ， ， ， 故选：C． 3．如图，圆的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，则长（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，同理：即可得出结论． 【详解】连接，， ，是的切线， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， 故选：A． 4．如图，分别与相切于点、过圆上点作的切线分别交于点，若的周长是12，的长是（    ） A．4 B．8 C．10 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出的周长．由切线长定理知，，然后根据的周长公式即可求出其结果． 【详解】解：∵分别与相切于点， 的切线分别交于点， ∴，，的周长是12， ∴的周长． ∴， 故选：D． 5．如图，在中，，，，的长度分别为，，，与分别与直线、、相切（与分别在直线的异侧），若的半径为，的半径为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与、、的切点分别为D、E、F，与、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形，则，，根据 切线长定理可得，，由此即可求出的值． 本题主要考查了正方形的判定和性质，切线的性质和切线长定理，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“过圆外一点向圆引的两条切线长相等”，熟练掌握切线的相关性质是解题的关键． 【详解】 如图，设与直线、、的切点分别为D、E、F，与直线、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形， 则，, 由切线长定理得，， ，， ， ， 又， ， ． 故选：C． 题型五：三角形的内切圆 1．如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 2．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 3．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为 为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①，②， ， ③， ， 解得或（舍去）， 大正方形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键． 题型六：三角形的外接圆 1．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 2．如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接与交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到，，，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，从而得到，然后利用为等腰直角三角形得到，，从而得到． 【详解】解：连接与交于P点，则它们的交点为O点， 如图， ∵正方形和等边都内接于圆O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形和正方形的性质． 3．如图，已知正外切于最小圆，内接于第二个圆，正外切于第二个圆，内接于最大圆，若最小的圆的半径为，则最大圆的半径等于 ． 【答案】 【分析】连接，则最大圆的半径为，过的顶点A，过点O作，则与的交点D为内切圆的切点，即，与均为正三角形，，利用含直角三角形的性质即可求得最大圆的半径． 【详解】连接，则最大圆的半径为，过的顶点A，过点O作，则与的交点D为内切圆的切点，即 ∵与均为正三角形， ∴， ∴， ∴，即最大圆的半径等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与外接圆综合及含直角三角形的性质，熟练掌握含直角三角形的性质是解决问题的关键． 题型七：四边形的内切圆和外接圆 1．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为 为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①，②， ， ③， ， 解得或（舍去）， 大正方形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键． 2．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 3.如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与相切于点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题； 【详解】解：如图所示，设与相切于点K，    由题意得，， 由切线长定理可知，   设正方形边长为，，则， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的半径为， 故选：D． 4．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 5．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且 ，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ， ，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ． ， ， （） 解得： ． 即的直径为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线和圆的重难点题型汇编 题型一：直线与圆的位置关系的判定 题型二：利用切线的性质求解 题型三：切线的性质与判定综合 题型四：切线长定理 题型五：三角形的内切圆 题型六：三角形的外接圆 题型七：四边形的内切圆和外接圆 题型一：直线与圆的位置关系的判定 1．已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 2．在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．如图，于点，若以点为圆心，的长为半径作圆，所得的圆与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 4．在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 5．已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 6．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 7．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 题型二：利用切线的性质求解 1．如图，经过圆心且与相交于A，C两点，与相切于点D，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，、分别与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点，，连接，，，已知经过圆心，与相切于点，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D．若，则的半径为（   ） A．6 B． C．3 D．4 5．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连接，若，，则的长度是（　　） A． B．2 C．3 D． 6．如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 题型三：切线的性质与判定综合 1．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 2．如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 3．如图，是的直径，，点在上，连接，且，及的延长线与分别相交于点、． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为8，，求的长． 4．如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，中，O是边上一点，以O为圆心，为半径的恰好与相切于点D，且． (1)求证：是的切线． (2)若，且，求的半径． 6．如图，已知O是菱形对角线上的一点，以O为圆心，为半径的与相切于E点，与分别相交于F、G点． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 7．如图，是的直径，点在上，分别连接，，的切线与的延长线交于点，是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求四边形的面积． 8．如图，、分别是的直径和弦，于点，过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 9．如图，内接于，，过点O作，过点E作，与过点B的的切线交于点D，与延长线交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型四：切线长定理 1．如图，从外一点引的两条切线，，切点分别为，，如果， ，那么弦的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 2．如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，圆的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，则长（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，分别与相切于点、过圆上点作的切线分别交于点，若的周长是12，的长是（    ） A．4 B．8 C．10 D．6 5．如图，在中，，，，的长度分别为，，，与分别与直线、、相切（与分别在直线的异侧），若的半径为，的半径为，则为（    ） A． B． C． D． 题型五：三角形的内切圆 1．如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 3．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 题型六：三角形的外接圆 1．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 2．如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H．若，则的长为 ． 3．如图，已知正外切于最小圆，内接于第二个圆，正外切于第二个圆，内接于最大圆，若最小的圆的半径为，则最大圆的半径等于 ． 题型七：四边形的内切圆和外接圆 1．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 3.如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 5．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $