19.2 二次根式的乘法与除法（课件）2025-2026学年人教版八年级数学下册

二次根式的乘法 人教·八年级数学下册 二次根式的乘法与除法 1 新课导入 正方形面积 = 长方形面积 = 探索新知 计算下列各式，观察计算结果. （1） ___________， （2） ___________， （3） ___________， 你能发现什么规律？ 一般地，二次根式的乘法法则是 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： （1） （2） （3） 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 例 1 计算： （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 两个无理数相乘，结果可以是有理数. 下边的式子如何运算？ 可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则 乘法法则的推广： 把 反过来，就得到 积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积 . 二次根式的乘法法则的逆用，利用它可以进行二次根式的化简. 例 2 化简： （1） （2） 解：（1） （2） 公式的推广： 例 3 计算： （1） （2） （3） 解:（1） （2） 乘法交换律、结合律在二次根式的运算中仍然适用： (≥0，d ≥0) 例 3 计算： （1） （2） （3） （3） 练 习 1. 计算： （1） ； （2） . 解:（1）原式= ； （2）原式= ； （3） ； （4） . （3）原式= ； = （4）原式= . = 2. 化简： （1） ； （2） ； （3） . 解:（1）原式 = ； （2）原式 = ； · = （3）原式 = . · · · = 4bc 3. 一个长方形的长和宽分别是 和 ， 求这个长方形的面积. 解: 这个长方形的面积为 × 2 × 课堂小结 这节课有什么收获呢？ 乘法法则： 拓展法则： 乘法法则的逆用： 公式推广： 二次根式的除法 人教·八年级数学下册 二次根式的乘法与除法 16 新课导入 广播电视塔高 h 与广播电视节目信号的传播半径 r 之间 存在近似关系 r = ，其中 R 是地球半径，R ≈ 6 400 km． 如果两个广播电视塔的高分别是 h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 . 你能将这个式子化简吗？ 探索新知 计算下列各式，观察计算结果. （1） ___________， （2） __________， （3） __________， 你能发现什么规律？ 一般地，二次根式的除法法则是 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： （1） （2） （3） 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 为什么 b > 0？ 因为 b = 0 时分母为 0，没意义. 例 4 计算： （1） （2） 解：（1） （2） 下边的式子如何运算？ 二次根式的除法法则的推广： 把 反过来，就得到 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式的除法法则的逆用，利用它可以进行二次根式的化简. 例 5 化简： （1） （2） 解:（1） （2） 例 6 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b. 已知 S = ，b = ，求 a. 解：因为 S = ab，所以 a = 二次根式化简的结果中被开方数不含分母. 练 习 1. 计算： （1） ； （2） ； 解:（1）原式= ； （2）原式= ； （3） ； （4） . （3）原式= ； = = = 2 （4）原式= . = · = 2a 2. 化简： （1） ； （2） ； （3） . 解:（1）原式 = ； （2）原式 = ； = （3）原式 = . = 3. 计算： （1） ； （2） . 解:（1）原式= ； （2）原式= . = 课堂小结 这节课有什么收获呢？ 二次根式的除法法则： 二次根式的除法法则的逆用： 最简二次根式 人教·八年级数学下册 二次根式 19 31 探索新知 观察这些二次根式，你能发现什么？ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 例 7 计算： （1） ； （2） ； （3） . 解:（1）解法 1: 除法法则 分数的基本性质 逆用除法法则 解法 2: 分数的基本性质 例 7 计算： （1） ； （2） ； （3） . （2） = = = = = （3） = = = 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 现在来看本章引言中的问题. 如果两个广播电视塔的高分别是 h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是 . = = = 可以看出，这个比与地球半径无关. 这样，只要知道 h1，h2，就可以求出比值. 练 习 1. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： （1） ； （2） ； 解:（1）原式= ； （2）原式= ； （3） ； （3）原式= （4） ； （5） ； （6） . 将小数化为分数，再化简. （4）原式= = = = （5）原式= = = （6）原式= = 2. 化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解:（1）原式 = ； （2）原式 = ； = = 2. 化简： （3）原式 = ； = = （4）原式 = . = = （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 3. 一个长方体的体积 V = ，高 h = ， 求它的底面积 S. 解: 依题意得 化简二次根式的一般方法： 方法 举例 将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方 化去根号 下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式，再进行开方运算 = = = = = = = $