专题28.2 解直角三角形及其应用 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题28.2 解直角三角形及其应用 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直角三角形边角关系 1 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 2 知识点梳理03：解直角三角形应用的相关概念 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：解直角三角形的相关计算 3 考点2：解非直角三角形 4 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 6 考点4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 7 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 8 考点6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 10 考点7：其他问题(解直角三角形的应用) 11 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01：直角三角形边角关系 　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　③边角之间的关系： 　， ， 　④，h为斜边上的高. 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， 知识点梳理03：解直角三角形应用的相关概念 (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 考点1：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（2023·广东珠海·一模）春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 【变式训练1】（25-26九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式训练2】（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 考点2：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【变式训练1】（23-24九年级下·安徽六安·月考）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【变式训练2】（23-24九年级下·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【变式训练1】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝ ． 【变式训练2】（2024九年级·全国·竞赛）已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 考点4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【变式训练1】（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【变式训练2】（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【变式训练1】（25-26九年级下·重庆·月考）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【变式训练2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 考点6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【变式训练1】（24-25九年级下·海南·期中）如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）后，小明沿坡度为的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)填空： ______度， ______度； (2)求F距离地面的高度（结果保留根号）； (3)求宣传牌的高度（结果保留根号）． 【变式训练2】（2024·甘肃嘉峪关·三模）如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 考点7：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【变式训练1】（25-26九年级下·山东泰安·阶段练习）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 【变式训练2】（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 1．（2024·上海·中考真题）如图，为圆O的一条直径，长度为10，与一弦的交点为C．若弦，且，则 ．    2．（2024·北京·中考真题）相交两圆的圆心距为d．如果较小圆的一条半径在公共弦的一个端点处与大圆相切，且这条半径所在直线与连心线的夹角为，那么两圆连心线被截得的较短线段的长度为 （用d和表示）． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，，点D为边的中点，于点E，连接，则的值为 4.（2024·湖南·中考真题）如图，在中，， D， E分别为边上一点，且满足．连接，将沿翻折，点B的对应点F 恰好落在边上，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 5．（2024·黑龙江·中考真题）如图，在矩形中，，，点F为边上一点且，点E为边上一点，将矩形沿过点E的直线折叠，使点D落在边上的点F处，则折痕的长度为（ ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 3．（2023·广东清远·一模）如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026九年级·河北·专题练习）在中，，则 ， ． 5．（23-24九年级上·江苏南通·月考）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，小明制作了一个三角形的小旗帜，测得，，，请你帮助小明计算这个小旗帜的面积为 （精确到，） 8．（2024·广东·二模）因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 9．（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 10．（2024·广东中山·一模）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 培优拔高 11．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　） A．2 B．4 C． D． 13．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 15．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为 ． 16．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 17．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 18．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 19．（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，平分，点O在射线上，以点O为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 ． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和） 20．（24-25九年级下·上海长宁·期中）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点、重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)连接、，如果四边形有两个内角互补，直接写出的长． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2 解直角三角形及其应用 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直角三角形边角关系 1 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 2 知识点梳理03：解直角三角形应用的相关概念 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：解直角三角形的相关计算 4 考点2：解非直角三角形 7 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 10 考点4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 12 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 16 考点6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 20 考点7：其他问题(解直角三角形的应用) 25 中考真题 实战演练 30 难度分层 拔尖冲刺 36 基础夯实 36 培优拔高 43 知识点梳理01：直角三角形边角关系 　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　③边角之间的关系： 　， ， 　④，h为斜边上的高. 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， 知识点梳理03：解直角三角形应用的相关概念 (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 考点1：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（2023·广东珠海·一模）春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键． 根据正弦的定义即可直接作答． 【规范解答】解： ，高为10丈， ， ， 故选：A． 【变式训练1】（25-26九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）先利用勾股定理求出、，再利用线段的和差关系求出，最后利用线段中点求出； （2）先利用线段的和差关系求出，再利用勾股定理求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【规范解答】（1）解：在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∵是边上的中线， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形、等腰三角形的性质及平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定与性质、面积法及正弦的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定与性质得出，再结合平行四边形的判定（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）即可解决问题． （2）先求出的长，进一步得出的长，再过点C作的垂线，垂足为M，结合面积法求出的长，最后根据正弦的定义即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 在中， ． 在中， ， 过点C作，垂足为M，如图 ∵， ∴， 在中，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴． 考点2：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【思路点拨】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式训练1】（23-24九年级下·安徽六安·月考）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【规范解答】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 【变式训练2】（23-24九年级下·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝ ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 过B作于P，则，，解直角三角形即可得到结论． 【规范解答】解：过B作于P，则， ，， ， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练2】（2024九年级·全国·竞赛）已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了利用旋转性质，根据旋转性质可知，，，从而利用解三角形求出，，，再由两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 考点4：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）①分别在和中求出和的长，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，， ∴； 答：的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 【变式训练1】（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 【变式训练2】（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【规范解答】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【答案】该搜救船在航行过程中会受到干扰 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由题意得，，，，过作于，解直角三角形可得，，解方程即可求解． 【规范解答】解：由题意得，，，， 过作于， ， ，， ， ， 解得：， 该船在航行过程中与小岛的最近距离为， ∵， ∴该搜救船在航行过程中会受到干扰． 【变式训练1】（25-26九年级下·重庆·月考）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 【变式训练2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【思路点拨】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【规范解答】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 考点6：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 【变式训练1】（24-25九年级下·海南·期中）如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）后，小明沿坡度为的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)填空： ______度， ______度； (2)求F距离地面的高度（结果保留根号）； (3)求宣传牌的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)， (2)米 (3)米 【思路点拨】此题考查了解直角三角形的应用． （1）由题意，得，，则，，即可由，求解； （2）过点作于，先证明四边形是矩形，得，解，求出的长，即可求解； （3）解，求得米，再根据是等腰直角三角形，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意，得， ， ， 由题意，得， ， ； （2）如图，过点作于， 由题意得， ， 四边形是矩形， ， 在中，米， 米， 答：距离地面的高度为米； （3）解：斜坡的坡度为， 在中，米， 米， 在中，， 米， 在中，米， 米． 答：宣传牌的高度约为米． 【变式训练2】（2024·甘肃嘉峪关·三模）如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 【答案】楼的高度是204米 【思路点拨】本题考查解三角函数，矩形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点F，证明四边形是矩形，，求出，则，，继而求出，则，即可解答． 【规范解答】解：过点A作于点F，如图， 由题意，得 ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：楼的高度是204米． 考点7：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理．过点A作于点G，则，，利用，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到；连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线，可得，可设，，在中，利用勾股定理可得（舍去），从而得到，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作于点G，则，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线， 在中，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴可设， ∴， 在中，，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴． 即相对点上升了． 故答案为：32； 【变式训练1】（25-26九年级下·山东泰安·阶段练习）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用：先从实物图中抽象出几何图形，然后构造出直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算求出未知的线段与角； （1）由得到，在中，，，然后根据勾股定理即可计算出； （2）过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点作，在中求出、，在中求出，然后求出，在中求出，最后利用求出的长． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ∴， ∴， 即车架档的长为. （2）解：过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点，如图所示， ∵在中，，， ∴， 又∵由（1）得：， ∴在中，， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ 故车座点到车架档的距离为． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的长约为； （2）解：过点B作交的延长线于D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ， 答：显示屏顶部比原来升高了约． 1．（2024·上海·中考真题）如图，为圆O的一条直径，长度为10，与一弦的交点为C．若弦，且，则 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查圆的相关性质，三角形全等、相似的判定与性质，解题的关键是根据相似比得到弦的长． 先证得到，结合，得到，继而可证得，可得，设，则，再根据可求，进而得到弦的长，设中点为，根据勾股定理求出相关边长即可求解． 【规范解答】如图，设中点为，连接，    由题知， ， ， ，（等腰三角形底角相等）， （弦所对圆周角相等）， ， 又（对顶角相等）， ， ， ，直径为10，， 即，设，则， ，， ， ，即，解得， ， 又中点为，， ， ， ． 故答案为：． 2．（2024·北京·中考真题）相交两圆的圆心距为d．如果较小圆的一条半径在公共弦的一个端点处与大圆相切，且这条半径所在直线与连心线的夹角为，那么两圆连心线被截得的较短线段的长度为 （用d和表示）． 【答案】 【思路点拨】本题考查切线的性质，解直角三角形，根据题意，画出图形，根据切线的性质，以及解直角三角形，进行求解即可． 【规范解答】解：如图，为的公共弦，，是的切线，，，则：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理，得：， ∴； 故答案为：． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，，点D为边的中点，于点E，连接，则的值为 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理．利用等腰直角三角形结合勾股定理求出，解得到，然后通过，即可求得的值． 【规范解答】解：在中，，， ， ∴， 点D为边的中点， ， 于点， ， ， ， ． 故答案为：． 4.（2024·湖南·中考真题）如图，在中，， D， E分别为边上一点，且满足．连接，将沿翻折，点B的对应点F 恰好落在边上，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 如图，过作于 根据已知条件先求解： 再利用的三角函数求解 由对折得到： 再利用勾股定理求解 从而由可得答案． 【规范解答】解：如图，过作于 ，，， 同理： 由对折可得： 故选：A 5．（2024·黑龙江·中考真题）如图，在矩形中，，，点F为边上一点且，点E为边上一点，将矩形沿过点E的直线折叠，使点D落在边上的点F处，则折痕的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】设交于点L，作于点M，则，所以四边形是矩形，则，由，得，则，求得，而，则，由折叠得垂直平分，则，可证明，由，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：设交于点L，作于点M， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ， 点F为边上一点且， ， ， ， ， 由折叠得点F与点D关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， 故选：． 基础夯实 1．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据矩形的性质得到，，，，，由此判定是等边三角形，则，从而得到，然后代入求解即可，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 【答案】D 【思路点拨】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【规范解答】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 3．（2023·广东清远·一模）如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；由题意易得，然后根据可分别得出的长，进而问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 4．（2026九年级·河北·专题练习）在中，，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是掌握余弦、正切的定义． 根据勾股定理计算出长，再根据余弦、正切定义可得答案． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∴，． 故答案为：，． 5．（23-24九年级上·江苏南通·月考）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ． 【答案】30 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡比问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果． 【规范解答】设这个斜坡的坡角为， 由题意得：， ． 故答案为：30． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 【答案】 【思路点拨】在上找一点F，使，过A作于点G，根据相似三角形的判定得出∽，进而利用相似比求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等内容，构造相似三角形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，在上找一点F，使，过A作于点G， ，且， ， ， ，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得， 故答案为： 7．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，小明制作了一个三角形的小旗帜，测得，，，请你帮助小明计算这个小旗帜的面积为 （精确到，） 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．过点作于点，根据锐角三角函数分别求出与的长即可推出结果． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2024·广东·二模）因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了仰角俯角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是正确的将仰角俯角问题转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识求解． 利用锐角三角函数分别求出和，利用两者的差等于3求得的长即可． 【规范解答】解：∵侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和， ∴，， ∵垂直于地面，立杆高度是， ∴()， ∴()， ∴指示牌的高度为()． 9．（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用，，的特殊直角三角形拼接图形计算面积及勾股定理，需熟练掌握相关的知识点是解此题的关键．通过理解，，的特殊直角三角形的性质，并根据已知条件通过勾股定理求出对应的边长后再分别将两个三角形的面积求出之后即可得出四边形的面积． 【规范解答】解：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 即四边形的面积为． 10．（2024·广东中山·一模）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，则，，因为，，故，再代入数值到，即可作答． 【规范解答】解：依题意，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， 答：乙建筑物的高为． 培优拔高 11．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了点的坐标规律，正方形的性质，解直角三角形，由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为，再结合，得出点在第三象限的角平分线上，分别求出，，，同理可得，，再求出点的横纵坐标即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向右侧作正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向上方作正方形， ∴， ∴； 同理可得，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：B． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形综合，解直角三角形，勾股定理，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，进而得出，得到，得到，勾股定理求出，，代入即可求解． 【规范解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，， ， ， ， ， ， 的坐标是， ，， ， ，， ， ， 解得：． 故选：A． 13．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 14．（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理． 作，交于点F，过点E作于点G，则，可得，从而得到，再由角平分线的性质可得，设，则，可得，即可求解． 【规范解答】解：作，交于点F，过点E作，垂足为点G， 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． 设， 则． ∴． ∵， ∴． 即． 解得：． ∴． 故答案为：． 16．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 【答案】 4或5 【思路点拨】（1）利用正方形性质推出，从而证明，得到，利用角的正切值求出的长，再利用勾股定理求出结果即可； （2）分两种情况①；②，利用相似三角形性质结合正方形性质，利用勾股定理求出最后结果 【规范解答】解：（1）， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ． （2）有两种情况： ①， 即， ， 则四边形为矩形， ； ②， 则． 由（1），得， 即， ， ． 由（1），得， ， ， 即点G和点D重合． ， ． 综上，的长为4或5． 故答案为：（1）；（2）4或5． 17．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 【答案】 【思路点拨】先利用等角的余角相等证明，然后在中利用的余弦求的长． 【规范解答】解：∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，即 ∴． 故答案为：. 18．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 19．（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，平分，点O在射线上，以点O为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 ． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和） 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质，解答本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）首先过点O作于点，易证得，即可得证； （2）由，，可求得的长，又由，即可求得答案． 【规范解答】（1）证明：过点O作于点，如图， 与相切于点， ， 平分，是半径， ， 是的切线； （2）解：∵，， ∴ ， ， 在中，，， ， ． 20．（24-25九年级下·上海长宁·期中）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点、重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)连接、，如果四边形有两个内角互补，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)的长为或 【思路点拨】 本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据，得到，即，可证，得到，即平分，即可求解； （3）分类讨论：第一种情况，如果与互补，则，在中，由三角函数的计算可得，结合，可求解；第二种情况，如果与互补，即，则，由题意可得点也是的中点，即，结合，可求解；第三种情况，一定是钝角，则（舍）；由此即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即平分； （3）解：∵，，是中点， ∴. 第一种情况，如果与互补，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况，如果与互补，即，则， ∵点是的中点， ∴点也是的中点，即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第三种情况，∵一定是钝角， ∴（舍）. 综上所述，当四边形有两个内角互补时，的长为或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $