专项突破06 直线、射线、线段的认识与计算（期末复习讲义-知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册精讲练

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了直线、射线、线段的认识与计算知识体系，将6个核心知识点按“概念表示-性质公理-应用拓展”的逻辑递进组织，用对比表格呈现直线、射线、线段的表示方法与区别，用关系图展示线段中点、n等分点与和差计算的内在联系。 讲义亮点在于“分层递进式”题型设计，12个重难点题型覆盖从基础计算到综合应用，如“线段中点的有关计算”通过动态图形变式培养推理意识，“最短路径问题”结合生活情境发展几何直观与空间观念。每个题型配套精讲例题与变式训练，基础学生可掌握规范步骤，优秀学生能探究多解思路，助力教师实施精准分层教学，提升学生自主复习效率。

专项突破06 直线、射线、线段的认识与计算 （知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线、射线、线段 2 知识点梳理02：直线的性质：两点确定一条直线 2 知识点梳理03：线段的性质：两点之间线段最短 2 知识点梳理04：两点间的距离 2 知识点梳理05：比较线段的长短 2 知识点梳理06：线段的和差 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 直线、线段、射线的数量问题 3 题型2 直线相交的交点个数问题 4 题型3 线段的应用 5 题型4 线段的和与差 5 题型5 线段中点的有关计算 7 题型6 线段n等分点的有关计算 8 题型7 线段之间的数量关系 9 题型8 与线段有关的动点问题 10 题型9 两点之间线段最短 11 题型10 两点间的距离 12 题型11 最短路径问题 13 题型12 作线段（尺规作图） 15 期末真题 实战演练 16 知识点梳理01：直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 知识点梳理02：直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点梳理03：线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 知识点梳理04：两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点梳理05：比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 知识点梳理06：线段的和差 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 题型1 直线、线段、射线的数量问题 【精讲】（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 题型2 直线相交的交点个数问题 【精讲】（24-25七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 【变式】（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 题型3 线段的应用 【精讲】（22-23七年级上·辽宁阜新·期中）如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 【变式】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 题型4 线段的和与差 【精讲】（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； (2)在（1）的条件下，图中共有 条线段； (3)在（1）的条件下，若，求线段和的长度； (4)在（1）的条件下，若，点在直线上，且，求线段的长度． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）（1）根据下图补全作法： ①已知线段a，b，作射线， ②在射线上依次截取； ③：_________． 结论：如图，线段即为所求．此时_________．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若，，E为线段的中点，F为线段的中点，求线段的长． （3）如图，折线由有公共端点B的两条线段，组成，点D把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“总长平分点”．已知点Q是折线的“总长平分点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 题型5 线段中点的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知点B、C在线段上，线段，，且m，n满足． (1)_____，_____； (2)若M是的中点，N是的中点（如下图）． ①的长度为_____； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）阅读材料并解答问题： 若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即． 若数轴上一点P满足，则称点P为的中点． 已知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为，4，x，y．解答下列问题： (1)___________； (2)若Q为的中点，求点Q表示的数； (3)当点C在之间运动时，若点E表示的中点，点F表示的中点．试探究的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． (4)若x，y为整数，且．直接写出的最大值． 题型6 线段n等分点的有关计算 【精讲】（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【变式】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 题型7 线段之间的数量关系 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【变式】（22-23七年级上·江西南昌·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 题型8 与线段有关的动点问题 【精讲】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【变式】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 题型9 两点之间线段最短 【精讲】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，线段； (2)画射线，并与直线交于点E； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 【变式】（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图， (1)设、、、四点为个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定购物中心的位置点，使个居民小区到购物中心的距离之和最小； (2)尺规作图：在图中作射线，在射线上找一点，使得； (3)点在直线上，，，点、分别是，的中点，则线段 ． 题型10 两点间的距离 【精讲】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则______； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______． 【变式】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 题型11 最短路径问题 【精讲】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为； (1)则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到三点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时的范围是______； ②代数式的最小值是______，此时的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【变式】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 题型12 作线段（尺规作图） 【精讲】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b． (1)请用尺规按要求作图，作线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若点C为上的任意一点，点D为的中点，点E为的中点，请补全图形，并求的长； (3)若（2）条件中“点E为的中点”改为“点E为的中点”，直接写出与、的数量关系和理由． 【变式】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）“深海一号”是由中国人自己设计、研发、建造的首个超深水油气生产作 业平台．假设该平台位于图1中的C处，在 A、B 两地分别有甲、乙两艘运输船定期向平台运送物资． (1)甲船航行速度为a 海里/小时，乙船航行速度为b 海里/小时，按照图1中的比例，可得a、 b的大小如图2所示，若甲、乙两船同时出发，你能用尺规作图说明哪艘船先到达C处吗？并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知长为90海里，长为120海里，甲船从A 处出发前往C处，速度为15海里/小时；乙船从B处出发前往C处，速度为20海里/小时、乙船航行1小时后，为了能和甲船同时到达C处，只能提速行驶，求乙船提速后的航行速度． 1．（22-23七年级上·湖北宜昌·开学考试）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 2．（20-21七年级上·山西运城·期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A，B的距离和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是（   ） A．经过一点能画无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 3．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点P在向左的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确结论有（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④当时，点N表示的数为数轴的原点； ⑤在点P的运动过程中，线段的长度会改变． A．①②③ B．①③⑤ C．①②④ D．①④⑤ 4．（20-21七年级上·陕西延安·期末）如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·广东深圳·期末）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．5 6．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下列说法： ①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线；②射线和射线表示的是同一条射线；③单项式的次数是3；④有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的说法有 （填序号）． 7．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，点M，N在线段上，其中，，且点N是线段的中点，则 cm． 8．（24-25七年级上·江西南昌·期末）下列说法：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；②射线与射线表示同一条射线；③若，则B为线段的中点，其中正确的个数为 个． 9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．请写出美好点所表示的数是 ． 10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 13．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 14．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 15．（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破06 直线、射线、线段的认识与计算 （知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线、射线、线段 2 知识点梳理02：直线的性质：两点确定一条直线 2 知识点梳理03：线段的性质：两点之间线段最短 2 知识点梳理04：两点间的距离 2 知识点梳理05：比较线段的长短 2 知识点梳理06：线段的和差 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 直线、线段、射线的数量问题 3 题型2 直线相交的交点个数问题 5 题型3 线段的应用 7 题型4 线段的和与差 9 题型5 线段中点的有关计算 13 题型6 线段n等分点的有关计算 16 题型7 线段之间的数量关系 20 题型8 与线段有关的动点问题 23 题型9 两点之间线段最短 26 题型10 两点间的距离 28 题型11 最短路径问题 31 题型12 作线段（尺规作图） 34 期末真题 实战演练 37 知识点梳理01：直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 知识点梳理02：直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点梳理03：线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 知识点梳理04：两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点梳理05：比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 知识点梳理06：线段的和差 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 题型1 直线、线段、射线的数量问题 【精讲】（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 【答案】(1)3，6 (2)6，1或4或6 (3)30场 【思路引导】本题考查了线段、射线、直线的定义，有理数乘法的应用，解题的关键是正确理解线段、射线、直线的定义的区别． （1）根据线段和射线的定义即可求解； （2）根据线段的定义即可求解条数，然后数直线需要分类讨论，画图求解即可； （3）根据共有6支队伍，则每个队伍需要比赛5场，即可求解总场数． 【规范解答】（1）解：直线l上有三个点，，，则可以确定线段，共3条； 分别以为端点，左右两边各1条，共条； 故答案为：3，6 （2）解：平面上有四个点，，，，则可以确定线段，共6条； 当四个点，，，共线时，如图： 则只有1条直线； 当有3个点共线时，如图： 有条直线； 当有2个点共线时，如图： 有条直线， ∴可以确定直线条数为1或4或6， 故答案为：6，1或4或6； （3）解：由题意得，（场） 答：需要进行30场比赛． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查线段的定义、线段的中点、线段的和差．根据数形结合思想找寻线段间的数量关系是解答的关键． （1）根据线段的定义即可解答； （2）根据，得到，再利用即可求解； （3）由题意求出的长，再根据线段中点的定义求出，根据即可求解． 【规范解答】（1）解：图中有，共条线段， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵C、D分别为中点， ∴， ∴． 题型2 直线相交的交点个数问题 【精讲】（24-25七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 【答案】A 【思路引导】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【规范解答】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， ∴12条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 【变式】（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 【答案】(1)见详解； (2)见详解，两点间线段最短； (3)7，11． 【思路引导】本题主要考查了作直线，射线，及线段的基本性质，掌握直线、射线、线段的概念和线段的性质是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）连接交于点，点即为所求作，依据：两点间线段最短，据此即可求解； （3）根据题意画出图形即可得平面内最多不同的区域． 【规范解答】（1）解：直线，射线，线段，如图所示， ； （2）解：如图，点即为所求作； 此画图的依据是两点间线段最短； 故答案为：两点间线段最短； （3）解：如图，平面已经被分成了7个不同的区域，过点再画一条直线，则此时平面最多有11个不同的区域． 故答案为：7，11． 题型3 线段的应用 【精讲】（22-23七年级上·辽宁阜新·期中）如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【思路引导】本题考查线段以及线段中点的定义，线段的和差倍数关系等相关知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． （1）根据线段的定义可知图中的线段的条数； （2）①根据线段的和差关系即可得到结论；②根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； （3）根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； 【规范解答】（1）解：图中有，，，，，， 共有条线段； （2）解：①根据图可得：，， ， ， ② M是AB的中点，N是CD的中点， ，， ， （3）解：，， 是的中点，是的中点 【变式】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【思路引导】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【规范解答】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【考点剖析】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 题型4 线段的和与差 【精讲】（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； (2)在（1）的条件下，图中共有 条线段； (3)在（1）的条件下，若，求线段和的长度； (4)在（1）的条件下，若，点在直线上，且，求线段的长度． 【答案】(1)①见详解；②见解析 (2)6 (3) (4)或 【思路引导】本题考查了简单作图-做线段、线段的等量关系等知识，厘清图中线段的等量关系是解答本题的基础． （1）①以B为圆心为半径画弧交的延长线于点C，即为所求；②以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点D，即为所求； （2）任意两个点的连线即是一条线段，据此即可求解； （3）根据（1）中的等量关系即可求解． （4）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，画出对应的图形分别求解即可． 【规范解答】（1）解：①如下图：即为所求 ②如下图：即为所求； （2）解：图中的线段有：、、、、、，共计6条， 故答案为：6； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6、9． （4）解：当点在点左侧时，如下图： ∵， ∴，， ∴， ∴ 当点在点右侧时，如下图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上：为或． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）（1）根据下图补全作法： ①已知线段a，b，作射线， ②在射线上依次截取； ③：_________． 结论：如图，线段即为所求．此时_________．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若，，E为线段的中点，F为线段的中点，求线段的长． （3）如图，折线由有公共端点B的两条线段，组成，点D把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“总长平分点”．已知点Q是折线的“总长平分点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】（1）在线段上截取，；（2）线段的长为；（3）4或 【思路引导】本题考查了作图，列代数式，两点间的距离，解题的关键是要结合题意进行分类讨论； （1）根据作图，列出代数式即可； （2）将，然后分别用进行表示求解即可； （3）提出一个新的定义——“总长平分点”，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论． 【规范解答】解：（1）解：由题意及图可知： ③在线段上截取， 此时， 故答案为：在线段上截取，； （2）如下图： 由题意知： ， 线段的长为； （3）解：如图3， ①在上， 点为线段的中点，， ， 点是折线的“总长平分点”， ， ， ， ， ， ； ②如图4，在线段上， 同理：， ， ， ， 故答案为：4或． 题型5 线段中点的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知点B、C在线段上，线段，，且m，n满足． (1)_____，_____； (2)若M是的中点，N是的中点（如下图）． ①的长度为_____； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)10，6 (2)①8；②同意他的说法，理由见解析 【思路引导】本题主要考查绝对值和平方的非负性，中点性质和线段的和差倍分关系，解题的关键是熟悉线段的关系， （1）根据绝对值和平方的非负性可得和，解得n和m即可； （2）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点，C在线段上，点在线段上，在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，分三种情况求解即可； 【规范解答】（1）解：∵点B、C在线段上，线段，，且m，n满足， ∴，， ∴，， 故答案为：10，6； （2）解：①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ②同意他的说法，理由： 当点B，C都在线段上，同①． 当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时： ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时： ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）阅读材料并解答问题： 若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即． 若数轴上一点P满足，则称点P为的中点． 已知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为，4，x，y．解答下列问题： (1)___________； (2)若Q为的中点，求点Q表示的数； (3)当点C在之间运动时，若点E表示的中点，点F表示的中点．试探究的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． (4)若x，y为整数，且．直接写出的最大值． 【答案】(1)6 (2)1 (3)是定值，3 (4) 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题目中的材料，； （2）由Q为的中点，可得，即，解绝对值方程即可； （3）先根据点E为的中点，得到点E表示的数为，再根据点F表示的中点，得到点F表示的数为，所以，得到的值是定值； （4）由x，y为整数，，通过列举法找到符合条件的x的最小值及y的最大值，即可得到的最大值． 【规范解答】（1）解：由题意得，； （2）设点Q表示的数为， Q为的中点， ，即， 当时，方程无解； 当时，， 解得； 点Q表示的数为1； （3）点E为的中点，点A表示的数为，点C表示的数为x， 点E表示的数为； 点F表示的中点，点C表示的数为x，点B表示的数为4， 点F表示的数为； ， 的值是定值，为3； （4） 表示数轴上点x到和1的距离之和， 的最小值为3，此时， 表示数轴上点y到和的距离之和， 的最小值为2，此时， 求的最大值，即求x和y之间的距离最大值， 应满足x尽可能取最小值，y尽可能取最大值， x，y为整数，， 当时，，得，即； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； …… ，，此时， 则的最大值为． 题型6 线段n等分点的有关计算 【精讲】（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【思路引导】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【规范解答】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 【变式】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 【答案】(1)120 (2)20或60 (3)①80；②16，40，64． 【思路引导】本题考查数轴两点之间的距离、等分点、翻折问题等知识点，理解题意、掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）分点C靠近A和点C靠近B两种情况求解即可． （3）①先求得折叠点表示的数为，设与原点重合的点表示的数为x，然后根据题意列方程求解即可；②由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可解答． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为100 ∴， ∴点A，B之间的距离是120． （2）解：∵，点C在数轴上且是线段的三等分点， ∴当点C靠近A时，， ∵点A表示的数为， ∴点C所对应的数为； 当点C靠近B时，， ∵点B表示的数为100， ∴点C所对应的数为． ∴点C所对应的数为20或60． （3）解：①∵将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合， ∴折叠点为的中点，其表示的数为， 设与原点重合的点表示的数为x，则，解得：， ∴与原点重合的点表示的数为80； ②∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， a.如图：当从A到B三条纸条的长度为24，24，72， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； b.如图：当从A到B三条纸条的长度为24， 72，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； c.如图：当从A到B三条纸条的长度为72，24，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是． 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 题型7 线段之间的数量关系 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【答案】(1)线段的长度为； (2)． 【思路引导】本题考查线段中点的相关计算，线段和差，线段之间的数量关系． （1）根据题意可得，，由，即可得； （2）根据题意可得，，结合，即可得线段和的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长度为． （2）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴． 【变式】（22-23七年级上·江西南昌·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【思路引导】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可； （2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案． 【规范解答】（1）解：①，，， ，， 如图， 为中点， ， ， ； ②如图， ， 点在点的左侧， 点是的中点， ， ， ； 当点在点的右侧，如图 ，， ， ， （不合题意，舍去）， 综上所述，的长为； （2），，满足关系式， 如图，当在点的右侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ； 如图，当在点的左侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ． 故答案为是或． 【考点剖析】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键． 题型8 与线段有关的动点问题 【精讲】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【思路引导】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【规范解答】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 【变式】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【思路引导】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到 ，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【规范解答】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 题型9 两点之间线段最短 【精讲】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，线段； (2)画射线，并与直线交于点E； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，熟练的画图是解本题的关键； （1）根据直线和线段的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3）连接交于点，根据两点之间线段最短，点P即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，直线，线段即为所求； （2）解：如图所示，射线，点E即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 【变式】（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图， (1)设、、、四点为个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定购物中心的位置点，使个居民小区到购物中心的距离之和最小； (2)尺规作图：在图中作射线，在射线上找一点，使得； (3)点在直线上，，，点、分别是，的中点，则线段 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【思路引导】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）连接，交于点，点即为所求； （2）延长到，使得，在线段上截取线段，使得，线段即为所求； （3）分两种情形画出图形，根据中点的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求： ； （2）解：如图，线段即为所求： ； （3）解：如图： 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 题型10 两点间的距离 【精讲】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则______； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了线段的和差、两点间的距离，掌握线段法和差计算，两点间的距离，利用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况：如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 【变式】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第二问注意分类讨论思想，此题难度不大． （1）根据非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据题意，求出此时，再利用线段中点的定义结合图形即可求解； （3）分6秒后，在点左边时，6秒后，在点右边时两种情况分别计算求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的中点， ∴，， 若6秒后，在点左边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 若6秒后，在点右边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 综上，运动前点，之间的距离为或． 题型11 最短路径问题 【精讲】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为； (1)则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到三点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时的范围是______； ②代数式的最小值是______，此时的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】(1)6，，x, (2)①点A和点B之间；②点B上 (3)①7，②；③ 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离最值问题，掌握数轴上两点之间的距离公式、绝对值的性质是解题的关键． （1）探索材料1（填空）：根据给出的材料填写即可； （2）探索材料2（填空）：分情况讨论点P的位置，使点P到其他点的距离之和最小； （3）结论应用（填空）：根据探索材料2得出的结论填写即可． 【规范解答】（1）∵ 故答案为： （2）①（i）当点P在点A左边时， （ii）当点P在点A与点B之间时， （iii）当点P在点B右边时， ∴当点P在点A和点B之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A和点B之间 ②（i）当点P在点A左边，， （ii）当点P在点A和点B之间，， （iii）当点P在点B和点C之间， （iv）当点P在点C右边， ∴最小值为，当点P在点B上时，值最小为 ∴当点P在点B上时，才能使P到A，B，C三点的距离之和最小 故答案为：点B上． （3）①由探索材料2得，当时，有最小值，最小值为 ②由探索材料2得，这是在求点x到三个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 ③由探索材料2得，这是在求点x到四个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 故答案为：①②③ 【变式】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【规范解答】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 题型12 作线段（尺规作图） 【精讲】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b． (1)请用尺规按要求作图，作线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若点C为上的任意一点，点D为的中点，点E为的中点，请补全图形，并求的长； (3)若（2）条件中“点E为的中点”改为“点E为的中点”，直接写出与、的数量关系和理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了线段和的尺规作图，线段中点的定义； （1）作一条以A为端点的射线，以A为圆心，的长为半径画弧，连续截取两次，再按同样的作法顺次截取线段，即可求解； （2）由线段的中点可得，，再由即可求解； （3）由线段的中点可得，，再由即可求解； 掌握线段的作法，根据题意用线段的和差表示线段，能利用线段中点的定义进行线段的等量转换是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求作的线段； （2）解：如图    为的中点， ， 为的中点， ， ， ∴． （3）如图所示， ∵点E为的中点 ∴， 为的中点， ， ∴． 【变式】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）“深海一号”是由中国人自己设计、研发、建造的首个超深水油气生产作 业平台．假设该平台位于图1中的C处，在 A、B 两地分别有甲、乙两艘运输船定期向平台运送物资． (1)甲船航行速度为a 海里/小时，乙船航行速度为b 海里/小时，按照图1中的比例，可得a、 b的大小如图2所示，若甲、乙两船同时出发，你能用尺规作图说明哪艘船先到达C处吗？并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知长为90海里，长为120海里，甲船从A 处出发前往C处，速度为15海里/小时；乙船从B处出发前往C处，速度为20海里/小时、乙船航行1小时后，为了能和甲船同时到达C处，只能提速行驶，求乙船提速后的航行速度． 【答案】(1)乙船先到达C处，理由见解析． (2)乙船提速后的航行速度为25海里/小时． 【思路引导】本题考查了作图——作线段，有理数混合运算的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）分别在、上截取线段、，即可得到答案； （2）由题意可知，乙船航行1小时后，甲船与C处的距离为海里，乙船与C处的距离为海里，进而得到甲船到达C处还需小时，再根据乙船4小时需行驶100海里，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：观察图形可知，甲船到达C处的时间是大于2小时，小于3小时；乙船到达C处的时间是大于1小时，小于2小时， 即乙船先到达C处； （2）解：由题意可知，乙船航行1小时后，甲船与C处的距离为（海里），乙船与C处的距离为（海里）， 则甲船到达C处还需（小时）， 因为两船同时到达C处， 所以乙船4小时需行驶100海里， 即海里/小时， 答：乙船提速后的航行速度为25海里/小时． 1．（22-23七年级上·湖北宜昌·开学考试）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 【答案】D 【思路引导】本题考查了列代数式，熟练掌握计算线段的长度、长方形的周长及长方形的面积是解题的关键．根据计算线段的长度、长方形的周长及长方形的面积逐一判断即可求解． 【规范解答】解：A、整条线段长度为：，则错误，故本选项不符合题意； B、整条线段的长为：，则错误，故本选项不符合题意； C、这个图形的面积为：，则错误，故本选项不符合题意； D、这个长方形周长为：，则正确，故本选项符合题意， 故选：D． 2．（20-21七年级上·山西运城·期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A，B的距离和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是（   ） A．经过一点能画无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段的性质，利用线段的性质即可求解． 【规范解答】解：这里用到的数学基本事实是：两点之间线段最短． 故选：B． 3．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点P在向左的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确结论有（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④当时，点N表示的数为数轴的原点； ⑤在点P的运动过程中，线段的长度会改变． A．①②③ B．①③⑤ C．①②④ D．①④⑤ 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；求出点P表示的数为6，可得点N表示的数为0即可判断④；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断⑤． 【规范解答】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或10，故③错误； 当时，, ∴点P表示的数为， ∵点N为的中点， ∴点N表示的数为，即原点，故④正确； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故⑤错误； ∴正确结论有①②④， 故选：C． 4．（20-21七年级上·陕西延安·期末）如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，先根据题意得出，，再根据线段中点的定义得到，，进而求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24七年级上·广东深圳·期末）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查了规律型,本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定与重合，再根据线段的和差可得答案． 【规范解答】解：∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 此时与 重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． 如图，   ， 即与重合， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下列说法： ①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线；②射线和射线表示的是同一条射线；③单项式的次数是3；④有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的说法有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【思路引导】此题考查了点动成线，射线的定义，单项式的次数，有理数的分类，根据点动成线，射线的定义，单项式的次数，有理数的分类逐项判断即可． 【规范解答】解：①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线，正确； ②射线是以A为端点，向无限延伸，射线是以点B为端点，向无限延伸， ∴射线和射线表示的不是同一条射线，故②错误； ③单项式的次数是3，正确； ④有理数分为正有理数，0和负有理数，错误； 综上所述，其中正确的说法有①③． 故答案为：①③． 7．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，点M，N在线段上，其中，，且点N是线段的中点，则 cm． 【答案】28 【思路引导】本题主要考查了线段中点的应用以及线段长度的计算，正确理解中点的定义是解题关键．先求出，再根据点N是线段AM的中点，可得，即问题随之得解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵点N是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． 8．（24-25七年级上·江西南昌·期末）下列说法：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；②射线与射线表示同一条射线；③若，则B为线段的中点，其中正确的个数为 个． 【答案】0 【思路引导】本题主要考查了直线的性质，射线的表示法，线段的中点，解题的关键是掌握基本定理． 根据直线的性质可判断①；根据射线的表示法可判断②；根据线段中点的定义可判断③． 【规范解答】解：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点确定一条直线；该选项错误，不符合题意； ②射线与射线表示的不是同一条射线；该选项错误，不符合题意； ③若，当三点不在同一条直线上时，则B 为等腰三角形的顶点；该选项错误，不符合题意； 所以正确的个数为0， 故答案为：0． 9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．请写出美好点所表示的数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴上两点的距离，还有新定义“美好点”，理解这个新定义是解决问题的关键．根据“美好点”的定义，，再根据，再根据与线段的位置关系分情况讨论，先求得，从而可得表示的数． 【规范解答】解：∵是美好点， ∴， ∵点所表示的数为，点所表示的数为2， ∴， ∴当在线段上时，，则，点表示的数是； 当在线段外时，由可得在右边，，则，点表示的数是； 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 【答案】269 【思路引导】本题考查了整式加减的应用，首先根据题意表示出，，然后根据求解即可． 【规范解答】A，B两站之间的距离； ， ， ， ． 答：C，D两站之间的距离是． 故答案为：269． 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)共有7条线段，6条射线 【思路引导】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键． （1）利用直线、线段、射线的定义作图即可； （2）依据在线段上任取一点E，连接即可； （3）根据线段和射线的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：直线、线段、射线如图所示， （2）解：点，如图所示， （3）解：根据题意可知，线段有，图中共有7条线段；以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有1条，以点为端点的射线共有1条，则共有6条射线． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据点M、N分别是线段、的中点，由线段的中点定义可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案； （2）同（1）可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【思路引导】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律． （1）根据图形画出直线即可； （2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入公式即可求解． 【规范解答】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 答：他们共握了次手． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【思路引导】本题考查列代数式、两点间的距离、线段和差，弄清线段长度之间的数量关系是解题的关键． （1）根据与的数量关系求出，从而求出，再由中点的定义求出，根据求出即可； （2）根据与的数量关系分别将用含 n的代数式表示出来，从而将用含n的代数式表示出来，进而由中点的定义分别将用含n的代数式表示出来，再根据将用含m和n的代数式表示出来即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【思路引导】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【规范解答】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $