精品解析：湖南省祁阳市浯溪第一中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

浯溪一中九年级上册数学期中试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 2025 B. C. 1 D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 已知，则下列式子成立的是（　　） A. 3x＝5y B. xy＝15 C. D. 4. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图像分布在第二、四象限内 B. 图像经过点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点，都在函数的图像上，且时，则 5. 下列图形中一定是相似形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 6. 若方程可以直接用开平方法解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＜5 B. k≥5 C. k≤5且k≠1 D. k＞5 9. 如图，在中，平行于，则三角形与四边形的面积比是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是 A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若反比例函数y＝﹣的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____． 12. 已知是方程的一个根，则a=___________． 13. 已知AB//CD，AD与BC相交于点O，若，AD=15，则DO的长为__________． 14. 当m__________时，函数的图像在第一、三象限内． 15. 若方程是一元二次方程，则m的值为 ________． 16. “杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量贡献了自己的一生，某试验田种植了杂交水稻，2019年平均亩产800千克，2021年平均亩产1000千克，设此水稻亩产量的平均增长率为x，则可列出的方程是___________． 17. 双曲线、在第一象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________． 18. 如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止运动．设运动时间为秒．当为_________秒时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出必要的文字说明或解答过程） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第一象限内画一个，使它与的位似比为，并求的面积． 22. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价元． （1）降价后，商场日销售量增加___________件，每件盈利___________元；（用含的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元? 23. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点E，F分别是AC，AB边上的点，连结EF，且EF⊥AB． （1）求证：△ABC∽△AEF； （2）若AE=4，求△AEF的面积． 24. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示. （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）在该过程中，水温不低于的时间有多长? 25. 阅读与思考 阅读材料并解决下列问题： 材料1 若一元二次方程的两根为，则，． 材料2 已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，， ． 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程的两根为，，则_________，_________． （2）已知实数m，n满足，且，求的值． （3）已知实数p，q满足，且，求的值． 26. （1）【问题探究】如图1，小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图1，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．“为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． 请在上述两个方案中任选一个加以证明； （2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且．求的值（用含，的式子表示）． （3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浯溪一中九年级上册数学期中试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 2025 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，将点A的坐标代入反比例函数解析式，直接计算k的值即可． 【详解】解：代入点到，得， 故选：A． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，． 故选：D． 3. 已知，则下列式子成立的是（　　） A. 3x＝5y B. xy＝15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴两边都乘以5y，得5x=3y，故选项A、B都不符合题意； ∵， ∴两边都乘以3y，得xy=15，故选项C不符合题意； ∵， ∴两边都乘以3x，得3y=5x，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么ad=bc． 4. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图像分布在第二、四象限内 B. 图像经过点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点，都在函数的图像上，且时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质， 根据反比例函数的图像与性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴图像分布在第二、四象限内，故原说法正确，不符合题意； B、当时，， ∴图像经过点，故原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴当时，y随x的增大而增大，故原说法正确，不符合题意； D、令，，则，， 此时且，故原说法不正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列图形中一定是相似形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意． B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意． D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 6. 若方程可以直接用开平方法解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若方程可以直接用开平方法解，则． 【详解】由题意知，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－直接开平方法，形如的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 8. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＜5 B. k≥5 C. k≤5且k≠1 D. k＞5 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根， ∴， 解得：k≤5且k≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 9. 如图，在中，平行于，则三角形与四边形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质,掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行于，得，又因为，可以得到，已知，即 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而可以得到和的面积之比，然后即可得到的面积与四边形的面积比，本题得以解决． 【详解】解：， ∴， ∵， ， ∵， ∴ ， 三角形的面积与四边形的面积比为， 故选：C． 10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是 A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论． 【详解】∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2=PH∙PC，故④正确； 故选C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若反比例函数y＝﹣的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____． 【答案】﹣2 【解析】 【详解】∵反比例函数的图象过点A（m，3）， ∴，解得. 12. 已知是方程的一个根，则a=___________． 【答案】5 【解析】 【分析】把代入方程，故可求出a的值． 【详解】代入方程得 解得a=5 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程即可求解． 13. 已知AB//CD，AD与BC相交于点O，若，AD=15，则DO的长为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行截线段成比例列出比例式，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是列出比例式，准确进行计算． 14. 当m__________时，函数的图像在第一、三象限内． 【答案】>2 【解析】 【分析】根据反比例函数的系数k的性质求解即可，对于反比例函数，当时，函数图像在第一、三象限内，当时，函数图像在第二、四象限内． 【详解】∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的系数k的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的系数k的性质． 15. 若方程是一元二次方程，则m的值为 ________． 【答案】－2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）． 【详解】∵方程是一元二次方程， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）． 16. “杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量贡献了自己的一生，某试验田种植了杂交水稻，2019年平均亩产800千克，2021年平均亩产1000千克，设此水稻亩产量的平均增长率为x，则可列出的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“2019年平均亩产年平均亩产”即可列出关于的方程， 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据数量关系列出关于的一元二次方程． 17. 双曲线、在第一象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据y1=，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式． 【详解】解：∵y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C， ∴S△AOC=×4=2， ∵S△AOB=1， ∴△CBO面积为3， ∴k=xy=6， ∴y2的解析式是：y2=． 故答案为：y2=． 18. 如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止运动．设运动时间为秒．当为_________秒时，为直角三角形． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质，由勾股定理求出，根据等积关系得出，根据题意得，，证明，分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ①当时， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：t为3秒或秒时，为直角三角形． 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出必要的文字说明或解答过程） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法，化为+1=3或x+1=－3即可求解； （2）利用公式法，先确定，再求判别式的值，然后代入公式计算即可． 【详解】（1）解：=9， +1=3或x+1=－3 ， ； （2）解： ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和配方法是解题的关键． 20. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求出一次函数的解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量x的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：代入到，得， ∴反比例函数的解析式为， 代入到，得， ∴， 代入和到，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可知，当或时，， ∴关于x的不等式的解集为或． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第一象限内画一个，使它与的位似比为，并求的面积． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，位似变换： （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把的横纵坐标都乘以得到对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；根据轴对称图形的性质求出的面积，再根据位似图形的性质求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由轴对称图形的性质， ∵与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴． 22. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价元． （1）降价后，商场日销售量增加___________件，每件盈利___________元；（用含的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元? 【答案】（1）； （2）20元 【解析】 【分析】（1）根据“这种玩具的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件玩具的原利润及降价元，即可得出结果； （2）根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：每件玩具降价元， 商场日销售量增加件， 每件盈利元， 故答案为：；． 【小问2详解】 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ． 答：每件玩具应降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点E，F分别是AC，AB边上的点，连结EF，且EF⊥AB． （1）求证：△ABC∽△AEF； （2）若AE=4，求△AEF的面积． 【答案】 （1）∵∠ACB=90°，EF⊥AB， ∴∠AFE=∠ACB=90° ， 又∵∠A=∠A ， ∴△ABC∽△AEF ； （2） 【解析】 【分析】（1）由∠ACB=90°，EF⊥AB，可得∠AFE=∠ACB=90°，即可证明； （2）根据30°直角三角形性质先求EF，再根据勾股定理求出AF，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠A=30° ， 在△AEF中，∠AFE=90°，∠A=30°，AE=4， ∴ ， ∴ ， ∴S△AEF． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与30°直角三角形选项，勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与30°直角三角形的性质，以及勾股定理的应用． 24. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示. （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）在该过程中，水温不低于的时间有多长? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度可得加热时间为4分钟，进而得到，点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用（1）中的函数解析式即可求得． 【小问1详解】 解：开始加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是； 【小问2详解】 解：在加热过程中，水温为时，所需时间为， 即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都高于， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 25. 阅读与思考 阅读材料并解决下列问题： 材料1 若一元二次方程的两根为，则，． 材料2 已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，， ． 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程的两根为，，则_________，_________． （2）已知实数m，n满足，且，求的值． （3）已知实数p，q满足，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；理解一元二次方程根与系数的关系，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． （1）中，，，代入 ，，即可求解； （2）由（1）得m，n是方程的两个不相等的实数根，即可求解； （3）由（1）得、是方程的两个不相等的实数根，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ， ， 故答案：，； 【小问2详解】 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ，， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ， ， ． 26. （1）【问题探究】如图1，小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图1，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．“为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． 请在上述两个方案中任选一个加以证明； （2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且．求的值（用含，的式子表示）． （3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值． 【答案】 证明：方案一，如下图所示，过点作，交于点，过点作，交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形和四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ； 选择方案二，如下图所示， 过点作于点，过点作于点， ， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形是矩形， ，， ，， ， 在和中，， ， ， ； 【解析】 【分析】方案一、过点作，交于点，过点作，交于点，可证四边形和四边形是平行四边形，证明，根据全等三角形的性质可证结论成立； 方案二、过点作于点，过点作于点，可证四边形和四边形是矩形，根据矩形的性质可证，利用全等三角形的性质可证结论成立； 过点作，，可证，，利用角之间的相等关系可证，根据相似三角形的性质可得； 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可知四边形是矩形，四边形是平行四边形，过点作，仿照中的方法可以求出结果． 【详解】略 解：如下图所示，过点作，， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ； 解：如下图所示，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作， 则， ， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质与判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $