4.3.3 对数函数y=logax的图像和性质 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦对数函数y=logₐx的图象和性质，通过复习y=log₂x的具体性质导入，引导学生思考底数a的影响，搭建从具体到抽象的学习支架，梳理其与指数函数的联系。 特色在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象，采用启发讨论和多媒体辅助，结合比较大小、求定义域等例题巩固应用，既帮助学生深化性质理解与数学思维，也为教师提供分层教学资源和清晰实施路径。

课题 4.3.3 对数函数y=logax的图象和性质 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第四章第三部分第三节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 【教学目标】 1. 掌握对数函数y=logax的图象和性质． 2. 能用对数函数的性质解决应用问题． 【教学重难点】 1. 掌握对数函数y=logax的图象和性质（重点） 2. 掌握用对数函数的性质解决应用问题（难点） 核心素养 1.数学抽象：理解对数函数y=logax的定义，明确其中a作为底数的条件（a>0且a=1）。抽象出对数函数的一般形式，并理解其与其他函数（如指数函数）的关系。 2.逻辑推理：推导对数函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等，这需要严密的逻辑推理能力。通过对数函数的性质，推导出其图象的特点，如图象的位置、形状、与坐标轴的交点等。 3.数学建模：在实际问题中，识别出可以使用对数函数进行建模的情况，如复利计算、声音强度等。建立数学模型，利用对数函数的性质解决实际问题。 4.直观想象：通过绘制对数函数的图象，直观地理解其性质。例如，当a>1时，函数是增函数，图象在y轴右侧上升；当0<a<1时，函数是减函数，图象在y轴右侧下降。想象对数函数图象与坐标轴的交点、渐近线等特征。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习导入 探究新知 知识点：对数函数y=logax的图象与性质 师生共同复习y=log2x的图象和性质： 函数y=log2x在定义域(0，+∞)上是增函数，且值域为R． 当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0； 当x趋近于正无穷大时，y趋近于正无穷大； 当x趋近于0时，y趋近于负无穷大． 今天我们就来归纳探究对数函数y=logax的图象与性质 思考1：函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象有何特征? 师生活动：学生自主思考，发现图象恒过定点(1，0)，教师适当指导得出，当a>1时，图象呈上升趋势；当0<a<1时，图象呈下降趋势. 思考2：函数y=logax与y=(a>0，且a≠1)的图象有什么关系? 师生活动：教师引导学生思考y===-logax，所以，它们关于x轴对称. 教师总结： 1. 对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 函数 对数函数y=logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 特殊点 图象过定点(1，0)，即当x=1时，y=0 函数值 特点 x∈(0，1) 时，y∈(-∞，0)； x∈[1，+∞) 时，y∈[0，+∞) x∈(0，1) 时，y∈(0，+∞)； x∈[1，+∞) 时，y∈(-∞，0] 单调性 在(0，+∞)上是增函数 当x→+∞时，y→+∞； 当x→0时，y→-∞ 在(0，+∞)上是减函数 当x→+∞时，y→-∞； 当x→0时，y→+ 2.对数函数的知识总结： 对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1来可不行； 底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(1，0)点. 3.对数函数y=logax，当a>1时，讨论a的变化对函数图象的影响． 当a>1时，a越大，对数函数y=logax的图象在向右的方向越接近x轴．当x越趋近于0时，图象越趋近于y轴． 当0<a<1时，a越小，对数函数y=logax的图象向右的方向越接近x轴．当x越趋近于0时，图象越趋近于y轴． 通过复习回顾，引出对数函数y=logax的图象与性质，激发学生的学习兴趣。 师生共同总结对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的相关知识 例题典析 1．[多选题]下列各组的大小关系正确的是(　　) A．log0.5<log0.6 B．log1.51.6>log1.51.4 C．log0.57<log0.67 D．log3π>log20.8 【师生活动】 学生根据函数性质分析选项中的函数是增函数还是减函数，再比较大小进行作答，教师讲解。 【解析】A中，因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57，C不正确；D中，因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8，D正确．故选BD. 2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 【师生活动】 学生根据函数性质分析选项中的函数是增函数还是减函数，再比较大小进行作答，教师讲解并总结归纳。 【解析】∵a＝2∈(0,1)，b＝log2<0，c＝log>1，∴b<a<c.故选C 3.函数y＝的定义域为(　　) A. B．[1，＋∞) C. D．(－∞，1) 【师生活动】 学生为使函数有意义，需将根号下的数为正数，同时结合对数函数的性质进行分析，得出答案，教师总结讲解。 【解析】由题意得即故函数的定义域为[1，＋∞)． 4.函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为 ． 【师生活动】 学生为使函数有意义，要结合式子与对数函数的性质进行分析，得出答案，教师总结讲解。 【解析】由题意得解得∴1<x<2，所以函数f(x)的定义域为(1,2)． 5.(1)函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域为 ． (2)设函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为． 【师生活动】 学生自主思考，结合题意进行分析，得出答案，教师出示正确答案并总结归纳。 【解析】(1)由题意知解得－1<x≤2.∴函数f(x)的定义域为(－1,2]． (2)由题意知a－lg x≥0，即lg x≤a＝lg 10a，∴0＜x≤10a，∴10a＝10，∴a＝1. 通过多个练习题，让学生实际操作换算过程，教师巡视指导，及时纠正错误。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 回顾本节课的重点内容，强调对数函数y=logax的图象与性质重要性。 当堂达标 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。 板书设计 对数函数y=logax的图象与性质 一、复习引入 二、知识精讲 知识点：对数函数y=logax的图象与性质 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、课堂小结 六、当堂练习 教学设计反思 一、教学内容回顾 本次课程我们深入探讨了对数函数y=logax的图象和性质，在教学过程中，我通过理论讲解、图象绘制、实例分析等多种方式，力求使学生全面理解和掌握对数函数的性质。 二、教学效果评估 知识点掌握：大多数学生能够正确理解对数函数的定义和性质，并能够根据性质绘制出函数的图象。然而，也有部分学生在换底公式的理解和应用上存在一些困难。 实践能力：通过课堂练习和课后作业，我发现学生能够将所学知识应用于解决实际问题，但在处理复杂问题时，部分学生还缺乏足够的灵活性和创新性。 兴趣激发：在教学过程中，我通过引入实际应用案例和数学史知识，试图激发学生的学习兴趣。但从学生的反馈来看，部分学生对于对数函数在实际中的应用还不够熟悉，导致兴趣不够浓厚。 三、教学过程中的亮点与不足 亮点： 1.采用多媒体辅助教学，使学生能够更加直观地理解对数函数的图象和性质。 2.通过小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作，提高了学生的自主学习能力。 3.注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，通过实际问题引导学生进行深入思考。 不足： 1.在课堂练习的设计上，没有充分考虑到学生的个体差异和水平差异，导致部分学生在练习中感到吃力。 2.在激发学生的学习兴趣方面，还需要进一步探索和创新教学方法和手段。 四、改进措施 调整教学策略：我将更加注重学生的个体差异和水平差异，在课堂练习中设置不同难度的题目，以满足不同学生的需求。 丰富教学资源：我将积极收集和整理与对数函数相关的实际应用案例和数学史知识，以丰富教学内容并激发学生的学习兴趣。同时，我也将引导学生自主查找和阅读相关资料以拓展视野。 加强师生互动：我将更加注重与学生的互动和交流，鼓励学生提出问题和发表意见。通过解答学生的疑问和反馈学生的意见，我将不断调整和完善自己的教学方法和策略。 创新教学方法：我将积极探索和创新教学方法和手段，如采用游戏化教学、翻转课堂等新型教学模式来激发学生的学习兴趣和积极性。同时，我也将注重培养学生的实践能力和创新精神通过项目式学习等方式让学生在实际操作中巩固所学知识并培养解决问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $