重难点专题5.2 三角函数图象和性质及应用十一种题型（高效培优专项训练）数学湘教版2019必修第一册

重难点专题5.2 三角函数图象和性质及应用十一种题型 题型一 做出（识别）三角函数的图象 题型二 三角函数图象的变换问题 题型三 三角函数的定义域问题 题型四 三角函数的最值（值域）问题 题型五 三角函数单调性问题 题型六 三角函数奇偶性问题 题型七 三角函数的对称性问题 题型八 三角函数图象的应用 题型九 三角函数图象和性质的综合应用 题型十 比较函数值大小 题型十一 三角函数模型的应用 题型一 做出（识别）三角函数的图象 1．（16-17高一下·江西景德镇·期末）函数在一个周期内的图像是（    ） A． B． C． D． 2．（2007·海南·高考真题）函数在区间的简图是 A．B． C．D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，用“五点法”作出在上简图． 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数.画出在上的图象. 5．（22-23高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 题型二 三角函数图象的变换问题 6．（9-10高一下·山东聊城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 7．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 8．（2025高一上·全国·专题练习）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 题型三 三角函数的定义域问题 10．（19-20高一上·吉林长春·月考）函数的定义域为 . 11．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，则函数的定义域是 12．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）（1）求满足不等式的的集合； （2）求函数的定义域. 题型四 三角函数的最值（值域）问题 13．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ． 14．（2025高一上·全国·专题练习）函数的最大值为 . 15．（24-25高一下·天津红桥·月考）函数 在区间 上的最大值为 . 16．（24-25高一下·江西·月考）函数的最大值为 . 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；    (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 18．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)函数在上的最大值，并确定此时的值． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）求函数的最大值与最小值之和. 题型五 三角函数单调性问题 20．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 22．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数在区间上的单调减区间是 . 24．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的单调减区间. 25．（24-25高一下·山东泰安·月考）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)求在区间上的值域． 26．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求函数的单调减区间． 题型六 三角函数奇偶性问题 27．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 28．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的奇偶性是 ． 29．（2022高三·全国·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若具有奇偶性，则的最小值为 ． 30．（25-26高一上·江苏·月考）设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为 题型七 三角函数的对称性问题 31．（2025·陕西汉中·一模）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（    ） A． B． C． D． 33．（多选）（24-25高一下·广东深圳·月考）已知函数向左平移得到函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递减 34．（多选）（23-24高一上·江苏常州·月考）下面关于叙述中正确的是（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是奇函数 35．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 题型八 三角函数图象的应用 36．（25-26高三上·安徽安庆·开学考试）已知函数的部分图象如图，则曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 37．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，若是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则实数（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 40．（24-25高一下·四川成都·月考）已知，，函数的图象如图所示，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点为，若在区间上有2027个零点，则的最大值为 . 41．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 题型九 三角函数图象和性质的综合应用 41．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 42．（多选）（25-26高一上·江西宜春·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 43．（24-25高一下·北京·月考）已知函数在上单调，且，则的取值可能为 . ①        ②        ③        ④12        ⑤ 44．（23-24高一下·北京门头沟·期中）已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论： ①在上的图象有且仅有3个最低点； ②在至多有7个零点； ③在单调递增； ④的取值范围是； 则正确的结论是 ．（填写序号） 45．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. (1)求函数在上的单调递增区间. (2)求函数在上最大和最小值. 46．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 47．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 48．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数的图象如图所示． (1)直接写出A，ω，φ的值； (2)求函数在区间上的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 49．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 题型十 比较函数值大小 51．（24-25高一下·四川成都·月考）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 题型十一 三角函数模型的应用 56．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 57．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 58.（24-25高一下·陕西渭南·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题5.2 三角函数图象和性质及应用十一种题型 题型一 做出（识别）三角函数的图象 题型二 三角函数图象的变换问题 题型三 三角函数的定义域问题 题型四 三角函数的最值（值域）问题 题型五 三角函数单调性问题 题型六 三角函数奇偶性问题 题型七 三角函数的对称性问题 题型八 三角函数图象的应用 题型九 三角函数图象和性质的综合应用 题型十 比较函数值大小 题型十一 三角函数模型的应用 题型一 做出（识别）三角函数的图象 1．（16-17高一下·江西景德镇·期末）函数在一个周期内的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的周期及特殊点排除错误选项，即可得到正确结果. 【详解】的周期为，排除A、C， 当时，，排除D. 故选：B. 2．（2007·海南·高考真题）函数在区间的简图是 A．B． C．D． 【答案】A 【详解】将代入到函数解析式中得，可排除C，D; 将x=π代入到函数解析式中求出函数值为负数，可排除B，故选A． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，用“五点法”作出在上简图． 【答案】图象见解析 【分析】由x的范围求出的范围，在这个范围内采用“五点作图法”取特殊值点列表，在坐标系里面描出这些点，用光滑曲线连接这些点即可． 【详解】∵，∴，列表如下： 0 0 2 0 描点，连线，在上的图象如下： 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数.画出在上的图象. 【答案】答案见解析 【分析】用五点法作图，先列表格，然后描点连线画图即可. 【详解】因为，所以列表如下： 0 π x 0 π y 2 4 0 0 2 5．（22-23高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    题型二 三角函数图象的变换问题 6．（9-10高一下·山东聊城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.. 【详解】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. 7．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】应用三角函数伸缩的规则判断即可. 【详解】只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象； 故选：A. 8．（2025高一上·全国·专题练习）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【分析】根据图像求出正弦型函数，再结合平移的内容判断. 【详解】由题图象知， 所以．所以， 又图象过点，由五点法知，所以， 所以． 故将函数的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不度），可得函数的图象． 故答案为：A. 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点法整体代换完成表格的填写，再描点法作图即可得答案； （2）方法一：根据三角函数的变换先做平移变换，再对横坐标做伸缩变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 方法二: 根据三角函数的变换先对横坐标做伸缩变换，再做平移变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 画图如下： （2）方法一  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 方法二  先将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得的图象， 再将曲线向右平移个单位长度，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 题型三 三角函数的定义域问题 10．（19-20高一上·吉林长春·月考）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据对数函数和根式的定义域要求，结合三角函数图象性质求解即可. 【详解】由题意可得，得 或. 函数的定义域为， 故答案为: . 11．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，则函数的定义域是 【答案】 【分析】本题可根据二次根式有意义的条件以及正切函数的定义域来确定函数的定义域.二次根式中被开方数须大于等于，同时正切函数分母不能为. 【详解】要使函数有意义，则根号下的，且有意义，即的分母. 因为，所以（）. 那么等价于. 由可得. 由可得.   因为，即. 综合以上条件，取交集可得或. 故答案为：. 12．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）（1）求满足不等式的的集合； （2）求函数的定义域. 【答案】（1），（2）. 【分析】（1）利用余弦函数的性质解不等式； （2）利用正弦函数的性质解不等式. 【详解】（1）由题意得：，根据余弦函数的性质可得： 不等式的解集为：； （2）由题意得：， 根据正弦函数的性质解得：， 即定义域为. 题型四 三角函数的最值（值域）问题 13．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ． 【答案】 【分析】求出在的范围即可求解. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴． 即当时，函数的值域是． 故答案为： 14．（2025高一上·全国·专题练习）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系式与基本不等式即可求得. 【详解】由题可得， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 15．（24-25高一下·天津红桥·月考）函数 在区间 上的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】当，则，则， 则的值域为，所以函数的最大值为3. 故答案为：3 16．（24-25高一下·江西·月考）函数的最大值为 . 【答案】1 【分析】先利用诱导公式把函数化成的形式，再结合正弦函数的值域求函数的最大值. 【详解】因为， 所以（当，即，取“”）. 故答案为：1 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；    (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据五点法作图，先列表，再描点，连线即可； （2）求出，再对分讨论即可. 【详解】（1）列表如下： 0 0 2 0 0 作图如下：    （2），则． 当时，不符合题意． 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 综上，或 18．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)函数在上的最大值，并确定此时的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）只需根据图形列方程依次求出的值即可； （2），结合三角函数性质即可求解. 【详解】（1）由题图知，，则， ∴．又， ∴． ∵，∴，∴，即， ∴的解析式为． （2）由（1）． ∵，∴， ∴当，即时，． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）求函数的最大值与最小值之和. 【答案】 【分析】首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，因为，所以， 则原函数等价于， 因为的图象的对称轴方程为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 故函数的最大值与最小值之和为. 题型五 三角函数单调性问题 20．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图像，根据函数单调性，分析和的取值范围，最后解不等式组即可. 【详解】画出函数的部分图象如图所示， 因为，所以 因为在区间上不单调， 所以解得 故选：B. 21．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 22．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调区间列出不等式求出，进而求出函数值. 【详解】当时，，， 由在区间上单调，则， 于是，解得， 由，得，因此或， 又，则，，所以. 故选：C 23．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数在区间上的单调减区间是 . 【答案】和 【分析】利用正弦函数的性质可知的单调增区间为，，故可得，从而求出函数的单调减区间，最后取特殊值便可求得上的单调减区间. 【详解】函数， 令， 解得， 即函数的单调减区间为： 令得，；令得， 所以在区间上的单调减区间为和， 故答案为：和. 24．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的单调减区间. 【答案】. 【分析】提出负号，转化成余弦型函数，结合复合函数单调性，整体代入计算即可. 【详解】解：，. 由， 得，. 当时，，k取其它值，不合题意， 故单调减区间为. 25．（24-25高一下·山东泰安·月考）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦函数的单调性可得答案； （2）利用的范围求出及的范围可得答案. 【详解】（1）由得 ， 所以的单调减区间为； （2）当时，， 所以， 所以. 26．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求函数的单调减区间． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用最小正周期求得，进而计算可得； （2）利用整体法计算即可求得单调递减区间. 【详解】（1）的最小正周期为， ， （2）令 所以函数的单调减区间． 题型六 三角函数奇偶性问题 27．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 28．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【分析】根据诱导公式化简函数，再结合函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】解析  ， ， 是奇函数． 故答案为：奇函数 29．（2022高三·全国·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若具有奇偶性，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平移变换求得，然后结合奇偶性可得. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数， 因为具有奇偶性， 所以，即， 因为，所以的最小值为. 故答案为： 30．（25-26高一上·江苏·月考）设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为 【答案】 【分析】利用奇偶性恒等式，消去，即得，从而可求值. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 则，， 两式相减得， 则， 则. 故答案为：. 题型七 三角函数的对称性问题 31．（2025·陕西汉中·一模）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得到，再结合范围即可求解. 【详解】因为函数的图象关于直线对称 所以，故，， 又因为，令得， 故选：A 32．（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平移得到，由求解即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得， 由题意为奇函数， 所以， 则， 结合选项可知：ABD不符合，C符合， 故选：C 33．（多选）（24-25高一下·广东深圳·月考）已知函数向左平移得到函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递减 【答案】AB 【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角型函数的图象与性质，逐项求解判断，即可得到答案. 【详解】将函数向左平移得到函数， 对于A中，函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B中，由，可得的图象关于对称，所以B正确； 对于C中，由，则不是函数的对称轴，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 由正弦函数在上单调递增，在单调递减， 所以在上先增后减，所以D不正确. 故选：AB. 34．（多选）（23-24高一上·江苏常州·月考）下面关于叙述中正确的是（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是奇函数 【答案】ACD 【分析】将代入即可判断AB；根据求出，结合三角函数的图象即可判断C；求出的解析式即可判断D. 【详解】， 对于AB：因为，不为最值， 的图象关于点对称，且不为对称轴，故A正确，B错误； 对于C：当时，，且正弦函数在内单调递增， 在区间上单调递增，C正确； 对于D：又为奇函数，D正确. 故选：ACD. 35．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【分析】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对； 对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对； 对于C选项，因为，当时，， 因为函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则， 所以，，C错； 对于D选项，若，即， 当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对. 故选：ABD. 题型八 三角函数图象的应用 36．（25-26高三上·安徽安庆·开学考试）已知函数的部分图象如图，则曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据函数的图象相关信息，依次求出的值，即得函数解析式，在同一坐标系中作出两函数的图象，即得答案. 【详解】由图可知的周期为：，则； 由，可得，且， 所以，所以，所以； 又由，可得，解得，故， 在同一坐标系中，作出与的图象如图，可见两者有7个交点. 故选：B 37．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，若是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象求出，得，分类讨论、，结合图形和三角函数的对称性求出，根据计算即可. 【详解】由的部分图象知，，解得， 所以，又，解得， 因为，所以，所以. 若，不妨设的位置如图1所示，则， 又，所以，又， 所以； 同理时，如图2，， 令，解得， 所以点是图象与轴的一个交点，即关于直线对称， 得，解得， 所以. 综上，. 故选：D 38．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：，， 由，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 39．（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】A选项，由图象可以看出函数的最小正周期，求出；B选项，将代入，结合得到；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，由图象可以看出的最小正周期为， 又故，A错误； B选项，将代入得，解得， 因为，所以只有时，满足要求， 故，B正确； C选项，， 的图象与轴的交点坐标为，C正确； D选项，时，， 由于的一个对称中心为， 故函数的图象关于点对称，D正确. 故选：BCD 40．（24-25高一下·四川成都·月考）已知，，函数的图象如图所示，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点为，若在区间上有2027个零点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用图象过原点得，结合对称轴及图象确定，再利用三角函数的零点计算即可. 【详解】将原点坐标代入得， 则，又，所以， 故， 因为的中点横坐标为， 故， 又对应的点为轴左侧第一个最低点，所以， 解得，解得， 所以， 令得， 则或， 解得或， 所以相邻两个零点的距离有两种，可能为， 在上，有2027个零点，要求的最大值， 则当为个和1014个时，取得最大值， 最大值为. 故答案为：. 41．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据周期确定的值，再根据图象过点，结合的取值范围可确定的值，再根据函数图象过点可求的值. （2）结合余弦函数的图象解不等式即可. 【详解】（1）由图可知：，所以， 又，所以. 因为函数图象过点，所以，. 又，所以，. 由函数图象过点，所以. 所以. （2）由. 结合余弦函数的图象可得：，. 所以，. 所以不等式的解集为，. 题型九 三角函数图象和性质的综合应用 41．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据给定条件，结合函数的图象特征求出解析式，进而求出函数值. 【详解】设，由，得，由，得或， 由图知分别在相邻的两个递增与递减区间内，则， 即，解得，由及函数的图象在所在单调区间上递增， 得，即，因此， 所以. 故选：C 42．（多选）（25-26高一上·江西宜春·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因，则的图象关于点对称，A正确； 因，则的图象不关于对称，B不正确； 因，则，所以在上为增函数，C正确； 的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确. 故选：AC 43．（24-25高一下·北京·月考）已知函数在上单调，且，则的取值可能为 . ①        ②        ③        ④12        ⑤ 【答案】①③ 【分析】根据三角函数的单调性先得，再由，得的一个零点为，即可分周期的情况求得的值. 【详解】设的最小正周期为T，则由在上单调， 可得，即， 由且， 得的一个零点为. 因为， 所以有以下三种情况：①，则； ②，得，则； ③，得，则. 故选：①③. 44．（23-24高一下·北京门头沟·期中）已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论： ①在上的图象有且仅有3个最低点； ②在至多有7个零点； ③在单调递增； ④的取值范围是； 则正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】根据第3个正最大值点在区间内，第4个正最大值点不在内列不等式可得的范围，可判断④；求出第3个正最小值点，结合的范围求出其范围即可判断①；根据的范围，求出第7、8个正零点的范围，可判断②；由得，结合的范围求出的范围可判断③. 【详解】对于④，由得的最大值点为， 因为在上的图象有且仅有3个最高点， 所以，解得，④正确； 对于①，由得的最小值点为， 因为，所以， 因为第3个正最小值点为，所以， 所以第3个正最小值点不一定在内，故①错误； 对于②，由得， 第7、8个正零点为， 因为， 所以第7个正零点有可能在内，第8个正零点不在内， 所以在至多有7个零点，②正确； 对于③，由得， 因为，所以在单调递增，③正确. 故答案为：②③④ 45．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. (1)求函数在上的单调递增区间. (2)求函数在上最大和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由周期求得，进而由对称轴求得；再通过正弦函数单调区间即可求解； （2）由，得到，即可求解. 【详解】（1）的图象相邻两个最高点的距离为， 的最小正周期； 又的图象关于直线对称， ， ，又， ， ， 当时，， 令或， 解得或. ∴函数在上的单调递增区间为. （2）当时，， ， ∴函数在上的最大值为，最小值为. 46．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 【答案】(1)最小正周期为；对称中心为 (2) (3)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，进而得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 47．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象确定周期和最值得到，，再结合点，即可求解； （2）确定平移后解析式，即可求解. 【详解】（1）设的最小正周期为T， 由图可知，，，即， 且，所以， 此时， 将代入得，即， 且，则， 可得，解得， 所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到； 再将横坐标变为原来的2倍，得； 因为，， 所以函数在区间内的值域为． 48．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数的图象如图所示． (1)直接写出A，ω，φ的值； (2)求函数在区间上的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，，． (2)，，． (3) 【分析】(1)根据函数图像的振幅，周期，最值确定A，ω，φ的值； (2)把角看成一个整体利用正弦函数的单调性去求减区间； (3)利用正弦型函数与二次函数知识去求复合函数的值域. 【详解】（1），,所以,所以，所以， 又因为图像经过点，所以， 所以，即,又因为，所以． （2）由（1）知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，． 又，当时单调递减区间为，即区间上的单调递减区间为； 当时单调递减区间为； 当时单调递减区间为，即区间上的单调递减区间为； 所以函数在区间上的单调递减区间为，，． （3）当，则， 即． 设， 则，， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为2， 故在区间上的值域为． 49．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为， (2) (3) 【分析】（1）利用整体法即可求解对称，由周期的公式求解最小正周期， （2）利用整体法，即可求解， （3）将问题转化为，即可利用整体法求解. 【详解】（1）的最小正周期为， 令，解得，故对称轴方程为， 令，解得，故对称中心为， （2），则，故， 因此，故值域为 （3）由可得，继而， 所以，解得， 故时，. 题型十 比较函数值大小 51．（24-25高一下·四川成都·月考）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得且，结合余弦型函数的单调性、对称性判断函数值的大小即可. 【详解】由题设，则且， 所以与的单调性相同，而，且 所以，则，即， 所以，故. 故选：C 52．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式有，，，最后利用的单调性即可求解. 【详解】由，， ，又， 因为在单调递减， 所以，即，所以. 故选：D. 53．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，再利用性质化简自变量，以及利用单调性，结合特殊值，比较大小. 【详解】函数的定义域为，且，所以函数是偶函数， 当时，是增函数，是减函数，所以在区间是增函数， ，， ，，， 所以， 所以，即. 故选：D 54．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式可得，，由余弦函数单调性比较，根据函数单调性比较的大小，结合奇偶性可得结论. 【详解】因为， 由，则． 所以， 又在区间内单调递增， 则， 又函数为偶函数，故则， 所以． 故选：D. 55．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数和对数函数单调性性质即可判断AB；由三角函数诱导公式结和三角函数单调性即可判断CD. 【详解】对于：函数为R上的增函数，且当时，， 因为，所以，且，故正确； 对于：因为，所以， 当时，函数为上的增函数，所以， 当时，函数为上的减函数，所以，故错误； 对于：在上单调递增，又， 所以，所以，故错误； 对于：， 在上单调递减，时， ，即，故错误. 故选：. 题型十一 三角函数模型的应用 56．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】BC 【分析】由题意依次求出A、，接着由求出即可判断A；依次求出即可判断B；由和即可求解判断C；举反例即可分析判断D. 【详解】对于A，由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故A错误； 对于B，因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 对于C，若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C正确； 对于D，，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故D错误. 故选：BC 57．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC． 58.（24-25高一下·陕西渭南·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据已知有、、求解析式中的参数，即可得； （2）根据正弦型函数性质求值域范围，即可得点到轴的距离的最大值. 【详解】（1）由题意，，则， 由题意，即，又，则. . （2）由（1）知， 当时，， ，故， 点到轴的距离的最大值为6. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $