精品解析：浙江省宁波市慈溪育才中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

八年级数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心位置的是（ ） A. 北纬，东经 B. 距电台500海里 C. 西太平洋 D. 在电台的西北方向 2. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 边长相等的两个等边三角形全等 B. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 C. 周长相等的两个三角形全等 D. 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 3. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 5. 如图，中，垂直平分，垂足为，，的周长为13，那么的周长为（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 6. 若点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，过点A作，使，过点B作，点C坐标为，在x轴负半轴上取点D使，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则______（填“”或“”）． 12. 已知点到轴、轴的距离相等，则点的坐标______． 13. 如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 14. 如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格线交点，则的为______度． 15. 如图钢架中，∠A=度，焊上等长的钢条...来加固钢架，若，这样的钢条至多需要6根，那么的取值范围是____. 16. 如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为______． 三、解答题（第17－21题每题8分，第22－23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解下列不等式（组）： （1）； （2） 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示． （1）只用直尺作出的边上的高线（保留利用格点的作图痕迹）； （2）的面积为______； （3）边上的高长为______． 19. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ （1）小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； （2）看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来． 21. 据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． （1）问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ （2）现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 22. 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 23. 如图，已知中，是高， F是中点，连接和， （1）求证：是等腰三角形． （2）若，试判断的形状，并说明理由． （3）若，，求的面积． 24. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下： （1）如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接．当B，P，，四点在同一直线上时，点P是的“费马点”． 证明过程如下： 由旋转可知 则， ∵______， ∴为等边三角形， ∴______， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （2）如图3，已知锐角，分别以，为边向外作正和正，连接，相交于P点，交于点M，交于点N．求的度数． （经过一定的证明我们可知所得点P也是的“费马点”．） （3）图4所示是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接头P分别向顶点A，B，C布设三根滴灌水管，现测得，，，求滴灌水管总长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心位置的是（ ） A. 北纬，东经 B. 距电台500海里 C. 西太平洋 D. 在电台的西北方向 【答案】A 【解析】 【分析】根据一对有序实数对才能确定点的位置判断即可． 【详解】∵北纬，东经满足有序实数对要求， ∴能确定位置， 故A符合题意； ∵距电台500海里不满足方位，距离的要求， ∴不能确定位置， 故B不符合题意； ∵西太平洋不满足有序实数对要求， ∴不能确定位置， 故C不符合题意； ∵在电台的西北方向不满足方位，距离的要求， ∴不能确定位置， 故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了位置的确定方法，熟练掌握有序实数对和方位、距离法确定点的位置是解题的关键． 2. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 边长相等的两个等边三角形全等 B. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 C. 周长相等的两个三角形全等 D. 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意； B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意； C、周长相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意； D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键． 3. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示．先根据题意解出不等式组的解集，再逐一对应每个选项中的不等式组的解集选出正确答案即可． 【详解】解：，解得， ，解得， ∴不等式组的解集为， A项：数轴上表示的不等式组解集为，符合题意，故A正确； B项：数轴上表示的不等式组解集为，由于不等式组的解集未包含等号，不符合题意，故B错误； C项：数轴上表示的不等式组解集为，由于不等式组的解集未包含等号，不符合题意，故C错误； D项：数轴上表示的不等式组解集为，由于不等式组的解集未包含等号，不符合题意，故D错误， 故选：A． 4. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 【答案】D 【解析】 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 5. 如图，中，垂直平分，垂足为，，的周长为13，那么的周长为（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， 又的周长， ∴的周长， 故选：D． 6. 若点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查象限内点的坐标符号特征，由点A在第二象限，得，，进而得，，故点B在第一象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限， 故选：A． 7. 如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可； 【详解】解：当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个； 当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个； 当时； 作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个； ∴满足条件的点总共有个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键． 8. 若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：∵不等式组为 ， ∴解集为， ∵整数解共有4个， ∴整数解为3，4，5，6， ∴m的取值范围是， 故选：D． 9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2=a2+b2， 阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c）， 较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a， 则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c）， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，过点A作，使，过点B作，点C坐标为，在x轴负半轴上取点D使，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，解含的直角三角形及勾股定理的应用．过点C作轴交y轴于点E，设与y轴的交点为F，过点B作轴交y轴于点G，根据已知条件及三角形内角和定理求出的度数，利用解含的直角三角形得出的长度，进而求得点F的坐标，随即得出的长度，同理求得的长度，进而得到点C的坐标，利用勾股定理求出的长度，继而得到的长度，从而获取点D坐标，最后再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，过点C作轴交y轴于点E，设与y轴的交点为F， ∵，，， 在中，， ∴点F的坐标为， ∴， 又∵， ∴在中，， 又∵点C坐标为， ∴， ∴， 在中，， ∴点C坐标为， 过点B作轴交y轴于点G， 在中，，， ∴， ∴点B坐标为 ∴， ∴，即点D坐标为， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知点到轴、轴的距离相等，则点的坐标______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案． 【详解】解：∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴2-2a=4+a或2-2a+4+a=0， 解得：a1=-，a2=6， 故当a=-时，2-2a=，4+a=， 则P（，）； 故当a=6时，2-2a=-10，4+a=10， 则P（-10，10）． 综上所述：P点坐标为（，）或P（-10，10）． 故答案为：（，）或P（-10，10）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数． 13. 如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 _____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作于点E，由勾股定理得，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， 即点D到的距离为3， 故答案为：3． 14. 如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格线交点，则的为______度． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据勾股定理可以得出是等腰直角三角形，利用平行线性质得到，从而可证，得到，利用求出结果即可． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线利用网格线的特征是解答本题的关键． 15. 如图钢架中，∠A=度，焊上等长的钢条...来加固钢架，若，这样的钢条至多需要6根，那么的取值范围是____. 【答案】. 【解析】 【分析】由于焊上的钢条长度相等，并且A P1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数小于90度，即可求出x的取值范围． 【详解】∵∠A=x度， ∴，， 又 ∴，， 又 ∴，， 同理可得：，， 又最多需要6根钢条 ∴ 解得： 故答案为 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质：等边对等角. 16. 如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质及勾股定理的应用，利用轴对称的性质，分别过点A和点B作关于x，y轴的对称点，，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P，此时点，Q，P，四点共线，从而得出四边形的周长最小值为，然后求出点，的坐标，再利用勾股定理求得和的长度即可． 【详解】解：如图，过点A作关于y轴的对称点，过点B作关于x轴的对称点，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P， ∴当点，Q，P，四点共线时，则，即， ∵点A为，点B为， ∴点为，点， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（第17－21题每题8分，第22－23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解下列不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式（组），掌握不等式的性质是解题关键． （1）直接移项求解； （2）分别解两个不等式，再取解集的公共部分． 【小问1详解】 解：， 移项，得 ， 即 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：； 解不等式②得 ； 故不等式组的解集为 ． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示． （1）只用直尺作出的边上的高线（保留利用格点的作图痕迹）； （2）的面积为______； （3）边上的高长为______． 【答案】（1） 解：如图，即为边上的高线； （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了画三角形的高、三角形面积求法、勾股定理，正确得出与垂直的直线是解题关键． （1）取格点D，连接，交于点，根据证明，得，由得，所以可得，即，所以为边上的高； （2）直接利用的面积公式求解即可； （3）利用（2）中所求，结合三角形面积求法得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 故答案为：8； 【小问3详解】 解：由勾股定理得， ∵, ∴． 故答案为：． 19. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由得出，再利用“”证明即可； （2）由得出，，再由等腰三角形等边对等角得出，进而证得，最后利用三角形内角和定理得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20. 小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ （1）小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； （2）看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来． 【答案】（1） 解：由题意知，在中，由勾股定理得，（米）， ∵在移动的过程中，为定值，米， ∴（米）， ∴在中，由勾股定理得，（米）， ∴（米）， 即点B将向外移动0.8米． （2） 解：当时，，， ∴，即， 设米，由勾股定理得， ， 解得：，（舍去）， 当米时，即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． （1）根据题意利用勾股定理得出的长度，再根据已知长度得出的长度，紧接着继续利用勾股定理得出的长度，进而求得点B将向外移动的距离； （2）根据全等三角形的性质得到，，进而得出，设米，根据勾股定理列出方程求解x的值，此时当米时，梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． （1）问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ （2）现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 【答案】（1）小筐每筐75元，大筐每筐100元。 （2）购买方案有两种：①小筐12筐，大筐4筐，费用1300元；②小筐11筐，大筐5筐，费用1325元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确找出各小问中的数量关系是解答本题的关键． （1）设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据“何老师买了1筐小筐和2筐大筐杨梅共花费275元；郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅，两位老师共花费450元”列出二元一次方程组，求解即可； （2）设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据“小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍”列不等式组求解，再确定购买方案． 【小问1详解】 解：设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据题意得， ， 解得， 答：所以小筐每筐75元，大筐每筐100元； 【小问2详解】 解：设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据题意得， ， 解得， ∵是正整数， ∴或12， 当时，； 当时，； 购买方案①：小筐12筐，大筐4筐，费用（元）； 方案②：小筐11筐，大筐5筐，费用（元）． 22. 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵在与中， ， ∴； （2） 证明：由（1）知， ∴，， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质等知识．证明三角形全等是解题的关键． （1）根据可知，再根据E是的中点，可证明； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下由，得到，再证明，得为的平分线，由勾股定理求的长，根据角平分线性质定理即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点E作于N，如图所示： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为的平分线， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即点E到的距离为． 23. 如图，已知中，是高， F是中点，连接和， （1）求证：是等腰三角形． （2）若，试判断的形状，并说明理由． （3）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见试题解析； （2）是等腰直角三角形，理由见试题解析； （3）1 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形． （1）由直角三角形斜边上直线的性质可得：；故为等腰三角形； （2）由和为等腰三角形和，求出的度数即可； （3）设，则，用（2）类似的方法求出，作出边上的高，求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵是高，F是中点， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形；理由： ∵， ∴， ∵， ∴，同理，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【小问3详解】 解：作于G，设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴2， ∵， ∴， ∴， ∴面积1． 24. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下： （1）如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接．当B，P，，四点在同一直线上时，点P是的“费马点”． 证明过程如下： 由旋转可知 则， ∵______， ∴为等边三角形， ∴______， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （2）如图3，已知锐角，分别以，为边向外作正和正，连接，相交于P点，交于点M，交于点N．求的度数． （经过一定的证明我们可知所得点P也是的“费马点”．） （3）图4所示是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接头P分别向顶点A，B，C布设三根滴灌水管，现测得，，，求滴灌水管总长度的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）滴灌水管总长度的最小值为米 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用． （1）将绕A点逆时针旋转得到，其中点P的对应点为，点C的对应点为，根据旋转的性质，旋转角，且对应边相等，即； （2）利用等边三角形的性质得出，，，进而得到，利用“”证明，设，利用三角形内角和定理得出结果； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D，利用旋转构造出特殊三角形，通过勾股定理求出三个距离之和的最小值． 【小问1详解】 证明：由旋转可知， 则，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， 由三角形内角和定理可得，， 即． 【小问3详解】 解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即滴灌水管总长度的最小值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $