19.2.1 二次根式的乘法与除法 (课件)2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的乘法法则及逆用，通过第一、第二宇宙速度的实际情境导入，从二次根式概念自然过渡到运算，以问题链引导学生发现规律，搭建从具体到抽象的认知支架。 其特色在于以真实情境激发兴趣，通过计算实例探究规律培养数学思维，法则证明强化逻辑推理，例题与跟踪训练结合逆用提升数学语言表达能力。既帮助学生理解知识本源，又为教师提供结构清晰的教学方案，提升教学效率。

第十九章 二次根式 八下数学 RJ 第1课时 19.2 二次根式的乘法与除法 1.了解二次根式的乘法法则. 2.能运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算. 学习目标 情境1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1. 第一宇宙速度v1可以表示为. 课堂导入 情境2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= v1，请结合情景1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2 . 第二宇宙速度v2可以表示为. 思考 若已知地球半径R≈6 400 km及重力加速度g≈10 m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？ 课堂导入 类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的运算. 根据算术平方根的意义. 当a取某个非负实数时，也是一个实数，我们从这类实数的运算出发学习二次根式的运算. 课堂导入 (1)  (2)  (3)  探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 2×3=6 =6 4×5=20 =20 6×7=42 =42 新知探究 知识点1 二次根式的乘法法则 一般地，二次根式的乘法法则是 · = (a≥0，b≥0). 二次根式相乘，________相乘，________不变. 根指数 被开方数 注意： ①≥0，b≥0是此法则成立的前提条件.在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数. ②本节法则中的a，b既可以是一个数，也可以是其他代数式. 你会证明吗？ 新知探究 知识点1 二次根式的乘法法则 思考 求证：· = (a≥0，b≥0) . 证明：根据积的乘方法则，有(·)2=()2·()2=ab， ∴·就是ab的算术平方根. 又∵表示ab的算术平方根， ∴· = (a≥0，b≥0) . 新知探究 知识点1 二次根式的乘法法则 例1 计算：. 解：(1)× ==. (2)× == = 3. (3)× = = = . 新知探究 知识点1 二次根式的乘法法则 二次根式的乘法法则的推广 ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即 ∙ ⋯∙ = (a≥0,b≥0,c≥0, ⋯ , n≥0) ②乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适用. 类比单项式乘以单项式，可得 a·c=ac(b≥0,d≥0). 新知探究 知识点1 二次根式的乘法法则 跟踪训练 计算： ()；×；④××. 解：① ； ②×(-2)=-2 =-2 =-2×3=-6； ③×2=×2 =-6； ④×× = =. 结果中有开得尽平方的因数，一定要开平方 新知探究 知识点1 二次根式的乘法法则 把· = (a≥0，b≥0)反过来，就得到 =· (a≥0，b≥0). 积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 注意：各个因数或因式必须非负，如 = × = = √ 新知探究 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 逆用二次根式乘法法则化简的步骤 ①将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时， 先把化成的形式. ②利用∙ 将能开得尽平方的因数或因式开到根号外，如. 拓展： = (a0，b0，c0). 新知探究 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 例2 化简： (1) ； (2) . 解：(1)  = 4 × 9 = 36. (2)  =· . 像4，a2，b2这样开的尽平方的因数或因式，把它们开平方后移到根号外. 新知探究 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 跟踪训练 化简： ①；②；③；④. 解：① = =× =10. ②==×=2×9=18. ③ = =× =5×3=15. ④ = =·=2a. 新知探究 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 解：(1)  . (2)  . (3) . 例3 计算： (1) ；(2) ； (3) . 新知探究 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 1. 计算： . 解：(1) . (2) = 6. (3) . (4) = 2. 随堂练习 2. 化简： . 解：(1) = 7×9 = 63. (2) . (3). 随堂练习 3. 一个长方形的长和宽分别是和，求这个长方形的面积. 解： . 答：这个长方形的面积为. 随堂练习 4.已知 =a ， =b，试用a，b表示. 解:∵×===×=10. 又∵=a，=b. ∴ab=10. ∴ =ab. 随堂练习 二次根式 二次根式的乘法 乘法法则：二次根式相乘,被开方数相乘，根指数不变 · = (a0，b0). 二次根式乘法法则的逆用 =· (a0，b0). 课堂小结 21 $