19.3.1 二次根式的加法与减法 (课件) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的加法与减法，通过复习最简二次根式条件，引导学生化简两组根式发现被开方数相同，搭建从旧知到同类二次根式新知的学习支架，为加减运算奠定基础。 其亮点在于结合实际问题（如木板截正方形、圆环宽度计算）培养数学眼光，通过推理求参数、括号运算训练数学思维，以“一化、二找、三合”法则规范表达。采用问题链与类比教学，学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借助分层例题和丰富练习提高教学效率。

第十九章 二次根式 八下数学 RJ 第1课时 19.3 二次根式的加法与减法 1.能准确判断二次根式能否合并,并掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法. 2.了解二次根式的加、减运算法则. 3.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算. 学习目标 问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式? （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后你发现了什么？ (1) (2) 化简后被开方数相同 课堂导入 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并. 如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并. 新知探究 知识点1 可以合并的二次根式 例1 下列各组二次根式中，能合并的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 D 2 2 2 新知探究 知识点1 可以合并的二次根式 例2 已知12与最简二次根式可以合并，则a=____. 解：∵. ∴ a+1 = 3，得a=2. 2 新知探究 知识点1 可以合并的二次根式 跟踪训练 若最简根式与可以合并，求的值. 分析：利用被开方数相同，根指数相同，列关于待定字母的方程组求解. 解：由题意得 解得 = = . 新知探究 知识点1 可以合并的二次根式 思考1 和可以直接相加吗？ 不能，和的被开方数不同，无法直接相加. 思考2 如何计算？能否类比整式运算？ +=3 2 =(3+2) =5. (化成最简二次根式) (利用分配律合并) 新知探究 知识点2 二次根式的加减 合并的方法： 合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如 (a≥0). 可看作二次根式的“系数” 新知探究 知识点2 二次根式的加减 例3 计算： 解：(1) = = ； (2) = 3+5 = 8； (3) = 4 = 14. (1);(2); (3). 　　 新知探究 知识点2 二次根式的加减 例4 计算： 解：(1) 2(- = . (1)(-)； (2) . 有括号，先去括号 (2) = = . 新知探究 知识点2 二次根式的加减 1.二次根式的加减法法则: 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 2.加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式化成最简二次根式； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)合——把被开方数相同的二次根式合并. “一化、二找、三合” 新知探究 知识点2 二次根式的加减 例5 有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？ 分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 7.5dm 5dm 8dm2 18dm2 新知探究 知识点2 二次根式的加减 解：大正方形木板的边长为 dm. 因为<5，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为() dm， 而 = 2+3 = (2+3) = 5. 由 可知 <7.5， 即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长， 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板. 7.5dm 5dm 8dm2 18dm2 新知探究 知识点2 二次根式的加减 跟踪训练 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板. (1)求剩余木板的面积； 解：(1)方法一：两个正方形的面积分别为18 dm2和32 dm2. 这两个正方形的边长分别为 dm和 dm， ∴剩余木板的面积为=6 (dm2). 方法二：由题意知，长方形木板的长和宽分别为 dm和 dm， ∴剩余木板的面积为-18-32=6 (dm2). 新知探究 知识点2 二次根式的加减 跟踪训练 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板. (2)如果木工想从剩余的木板中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木板，最多能截出几块这样的木板？ 解：(2)= . ∵4<3<4.5，1< <1.5， ∴从剩余的木板中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木板，最多能截出2块这样的木板. 新知探究 知识点2 二次根式的加减 辨析 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 新知探究 知识点2 二次根式的加减 1. 下列计算是否正确？为什么？ (1) ;(2) ;(3) . 解: (1)不正确.理由： = 2 + 3 = 5， = ，5 ≠ . (2)不正确.理由：= ， ，. (3)正确. = (3-1)= . 随堂练习 2. 计算： (1) ； (2) ； 解： (1) = = . (2) = = = . 随堂练习 2. 计算： (3) ； (4) . 解： (3) = = . (4) () - () = . 随堂练习 3.计算： (1)　； (2) . 解：(1) = . (2) = = . 随堂练习 4. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3. 求圆环的宽度d（π取3.14）. d 解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r， 则 d = R – r. 因为 R = ≈ =， r = ≈ = ， 所以 d = R - r ≈ = . 答：圆环的宽度d约为. 随堂练习 5.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=， 求(2*3)(27*32)的值. 解：∵ a*b = ∴ (2*3)－(27*32) = +(+3) =+3 = -11. 随堂练习 二次根式的加法与减法 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并 一化：将非最简二次根式化成最简二次根式 二找：找出被开方数相同的二次根式 三合：将被开方数相同的二次根式合并 可以合并的 二次根式 二次根式的加减 课堂小结 $