专题09 期末真题百练通关（压轴36题）（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题09 期末真题百练通关（压轴36题） （期末专项训练） 题型1 幻方 题型7 定义新运算 题型2 进位制转换 题型8 一元一次方程含参运算 题型3 数轴动点问题 题型9 二元一次方程组含参运算 题型4 利用整体思想解题 题型10 应用题方案问题 题型5 整式规律性问题 题型11 线段求解相关压轴题 题型6 程序框图 题型12 角度求解相关压轴题 题型一 幻方（共3小题） 1．（24-25七上·江苏泰州泰兴·期末）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末）如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 3．（24-25七上·浙江温州南浦实验中学·期末）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 题型二 进位制转换（共3小题） 4．（24-25七上·福建龙岩新罗·期末）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 5．（24-25七上·重庆渝中·期末）【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 6．（24-25七上·黑龙江齐齐哈尔四县联考·期末）综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 题型三 数轴动点问题（共3小题） 7．（24-25七上·吉林长春外国语·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 8．（24-25七上·安徽淮北·期末）如图1，已知点，，在数轴上，点在点的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点表示的数为，若点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则数轴上点对应的数是_____；若点到点，的距离相等，则点对应的数是_________． (2)点表示的数为，设点表示的数为，若动点沿数轴正方向移动了个单位长度到达点，试求的值． (3)如图2，若数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点（点的对应点）落在点的右侧，且，两点之间的距离为，则点表示的数是多少? 9．（24-25七上·河北廊坊香河期末）如图，数轴上从左至右有A，B，C，D四个点，分别表示有理数a，b，c，d，点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数，． (1)______， ______，______； (2)数轴上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点D运动，设运动时间为t（）秒．当点P运动到点C时，点Q从点D出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点D和点B之间往返运动，当点P运动到点D时，点Q的运动停止． ①求t为何值时，点P与点Q第一次相遇； ②求点Q一共运动了多少个单位长度，并求点Q停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③在点Q第一次到达点B前，请直接写出点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长． 题型四 利用整体思想解题（共3小题） 10．（24-25七上·云南玉溪红塔区八中·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 11．（24-25七上·广西贵港·期末）【阅读材料】在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中知道，整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】（1）若，求代数式的值； （2）已知当时，，求当时，代数式的值； 【拓展延伸】（3）若，求代数式的值． 12．（24-25七上·山东济宁金乡·期末）【阅读材料】我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并 ； （2）已知，求的值； 【拓广探索】 （3）已知，，求代数式的值． 题型五 整式规律性问题（共3小题） 13．（24-25七上·安徽合肥包河·期末）观察下列等式：，，，……，，根据此规律可知的值（用含m的代数式表示）为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七上·云南红河弥勒一中·期末）按一定规律排列的一列数依次为：，5，，17，，…，按此规律排列下去，第n个数（n为正整数）是（  ） A． B． C． D． 15．（24-25七上·山西运城夏县部分学校·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，如此下去，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型六 程序框图（共3小题） 16．（24-25七上·山东烟台招远·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，则最后输出的结果是 ． 17．（24-25七上·贵州黔南州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，按此程序进行计算，则第2025次得到的结果为 ． 18．（24-25七上·湖南邵阳大祥区·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，第2024次输出的结果为 ． 题型七 定义新运算（共3小题） 19．（24-25七上·宁夏银川灵武·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 20．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是 ． 21．（24-25七上·安徽巢湖·期末）现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为 ． 题型八 一元一次方程含参运算（共3小题） 22．(24-25七上·湖北襄阳七中·期末）若关于的方程的解是，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 23．（24-25七上·安徽合肥蜀山·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 24．（24-25七上·安徽芜湖无为·期末）关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 题型九 二元一次方程组含参运算（共3小题） 25．（24-25七上·安徽亳州谯城·期末）已知关于x，y的方程组且，则k的值为 ． 26．（24-25七上·安徽马鞍山七中·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 27．（24-25七上·重庆字水中学·期末）如果关于，的二元一次方程的解，满足，那么的值是 ． 题型十 应用题方案问题（共3小题） 28．（24-25七上·湖北武汉江汉区·期末）为进一步推进“书香校园”建设，某校图书馆计划增订国学类图书100本，科学类图书本．现有甲乙两家书店参与竞标，两家书店的竞标方案如表： 甲书店 乙书店 报价：国学类15元/本，科学类8元/本 报价：国学类15元/本，科学类8元/本 优惠方案：一律打七折 优惠方案：买两本国学类图书，赠送一本科学类图书，总价在此基础上再优惠200元 (1)用含的代数式表示：到甲书店购买的费用是_____；到乙书店购买的费用是_____； (2)已知该校图书馆原有藏书2740本，该校有学生1500名，该校想要图书总量与学生数比达到． ①需要采购科学类图书______． ②学校计划拨出2000元经费采购这批图书，这批经费够吗？若够，应在哪家书店采购？若不够，请说明理由． 29．（24-25七上·四川乐山夹江·期末）“非遗酸菜”诞生在四川夹江县新场镇土门铺社区，是全国唯一一个泡菜类（酸菜）“非物质文化遗产”．假设一家经销公司一次性收购了23t酸菜，经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若经过精加工并包装，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4t或精加工并包装．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案： ①全部进行粗加工并包装； ②尽可能多地精加工并包装，余下的直接销售； ③部分精加工并包装，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请根据以上信息，回答下列各小问： (1)若选择方案①，求该公司所得的利润． (2)请你探究一下，为公司做决策，选择第几种方案能使公司最大利润化，并说明理由． 30．（24-25七上·河北张家口怀安·期末）为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 题型十一 相关求解相关压轴题（共3小题） 31．（24-25七上·江西宜春高安·期末）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 32．（24-25七上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 33．（24-25七上·湖北武汉青山·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 题型十二 角度求解相关压轴题（共3小题） 34．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 35．（24-25七上·安徽淮北五校联考·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． (1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由； (2)若平分，且为的“割补线”，求的大小； (3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数． 36．已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 1．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“+”号表示数的加法，则的值是（　　） A．1 B．0 C．2025 D．-2024 2．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 3．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（ ） ①若，则； ②若，，则或； ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是17 A．1 B．2 C．3 D．4 4．甲、乙两人在两条生产线上加工产品．在生产线，甲第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件，乙第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件；在生产线，甲每天加工件产品，乙每天加工件产品．在一天内，甲和乙只能选择在中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同），且在一条产品线连续工作少于天时不可改变产品线． ①甲在产品线连续工作天能加工产品 件； ②一件产品、一件产品组成一套产品，则天最多能加工 套产品． 5．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 6．已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为 ． 7．枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 8．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 期末真题百练通关（压轴36题） （期末专项训练） 题型1 幻方 题型7 定义新运算 题型2 进位制转换 题型8 一元一次方程含参运算 题型3 数轴动点问题 题型9 二元一次方程组含参运算 题型4 利用整体思想解题 题型10 应用题方案问题 题型5 整式规律性问题 题型11 线段求解相关压轴题 题型6 程序框图 题型12 角度求解相关压轴题 题型一 幻方（共3小题） 1．（24-25七上·江苏泰州泰兴·期末）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，当， ， ∴②， ∴每一行的和， ∵， ∴，， ∵， ∴③， ∴， ∴，， ∴每一行的和为：， ∴，①， 如图， ∴A不符合题意； 如图，当时，则②， ∴②， ∵， ∴， ∵②， ∴②， ∴每一行的和为：， ∴，， ∴①， ③， 如图， ∴C不符合题意； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴每一行的和为：， ∴， ①， ③， ， ②， 如图， ∴D不符合题意； 如图，当时，则每一行的和为：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴给定的值不能补全图3． 故选：B 2．（24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末）如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图． 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8， 又因为， 所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为， 所以，，， 所以，，． 所以当时，，此时； 当时，，此时． 综上可知的值为或． 故选A． 3．（24-25七上·浙江温州南浦实验中学·期末）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 题型二 进位制转换（共3小题） 4．（24-25七上·福建龙岩新罗·期末）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【答案】(1)， (2)见解析，， (3)84，见解析 3EW． 【详解】（1）解： ． （2）①二进制如下： ∵……1； ……0； ……0； ……1； ……1； ……0； ……1； ∴从下往上读取余数，得到； ②八进制如下： ∵……1； ……3； ……1； ∴从下往上读取余数，得到． （3）解：解法1（分步计算）： ∵， ， ∴， 5．（24-25七上·重庆渝中·期末）【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 【答案】(1)103； (2)①；② (3)表格见解析； 【来源】重庆市渝中区2024-2025学年七年级上学期1月期末考试数学试卷 【详解】（1）解： ； ∵， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：① ∴； ②， ∴． （3）解：即0个0相加，结果为0； 即0个1相加，结果为0； 即1个0相加，结果为0； 即1个1相加，结果为1； 填表： 乘数 乘数 积 0 0 0 1 ∴． 6．（24-25七上·黑龙江齐齐哈尔四县联考·期末）综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 【答案】(1)，六； (2)，； (3)； (4)，． 【详解】（1）解：六进制的基数为，逢六进一， 故答案为：，六； （2）解：运用除取余法，如下图所示， 十进制对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为： ， 故答案为：，； （3）解：将十二进制转化为十进制数为： ， 故答案为：； （4）解：先将转化为十进制数为： ， 运用除取余法，如下图所示， 将所得的十进制数转化为七进制数为：． 故答案为：，． 题型三 数轴动点问题（共3小题） 7．（24-25七上·吉林长春外国语·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【来源】吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 8．（24-25七上·安徽淮北·期末）如图1，已知点，，在数轴上，点在点的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点表示的数为，若点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则数轴上点对应的数是_____；若点到点，的距离相等，则点对应的数是_________． (2)点表示的数为，设点表示的数为，若动点沿数轴正方向移动了个单位长度到达点，试求的值． (3)如图2，若数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点（点的对应点）落在点的右侧，且，两点之间的距离为，则点表示的数是多少? 【答案】(1)； (2)4 (3)或 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到原点的距离是． ∵点到原点的距离是点到原点的距离的倍， ∴点到原点的距离是， 又∵点在点左侧， ∴数轴上点对应的数是． ∵点到点，的距离相等， ∴点对应的数是． 故答案为：3， 1； （2）解：由题意可知，点沿数轴向右移动了个单位长度，则， ． （3）解：当点在点的左侧时， 因为，两点之间的距离为， 所以点表示的数是，此时点表示的数是， 当点在点的右侧时， 因为，两点之间的距离为， 所以点表示的数是，此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或． 9．（24-25七上·河北廊坊香河期末）如图，数轴上从左至右有A，B，C，D四个点，分别表示有理数a，b，c，d，点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数，． (1)______， ______，______； (2)数轴上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点D运动，设运动时间为t（）秒．当点P运动到点C时，点Q从点D出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点D和点B之间往返运动，当点P运动到点D时，点Q的运动停止． ①求t为何值时，点P与点Q第一次相遇； ②求点Q一共运动了多少个单位长度，并求点Q停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③在点Q第一次到达点B前，请直接写出点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长． 【答案】(1)10，28，14 (2)①当，点P与点Q第一次相遇②144，4③秒 【详解】（1）解：∵点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①点到达点所用时间为（秒）， ∴； 故当时，点P与点Q第一次相遇； ②点从点到达点所用时间为（秒）， ∴点一共运动了个单位长度， ， ∴当点停止运动时，离点有24个单位长度， ∴点表示的数为； ③点第一次到达点所用的时间为：（秒） 当点与点相遇前距离15个单位长度时：（秒）； 当点与点相遇后距离15个单位长度时：（秒）； ∴点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长为（秒）． 题型四 利用整体思想解题（共3小题） 10．（24-25七上·云南玉溪红塔区八中·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【详解】解：（1）∵． （2）∵， ． （3）∵，，， ∴， ∴     ． 11．（24-25七上·广西贵港·期末）【阅读材料】在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中知道，整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】（1）若，求代数式的值； （2）已知当时，，求当时，代数式的值； 【拓展延伸】（3）若，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13 【来源】广西贵港市2024-2025学年七年级上学期期末检测数学试卷 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． （1）用整体代入法求解即可； （2）根据当时，得，把代入后用整体代入法求解； （3）把原式变形为用整体代入法求解即可； 【详解】解：（1）， （2）当时，， ， 当时， （3），， ． 12．（24-25七上·山东济宁金乡·期末）【阅读材料】我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并 ； （2）已知，求的值； 【拓广探索】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）2009；（3）10 【来源】山东省济宁市金乡县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了整式的化简求值，关键是注意整体思想以及去括号时的符号变化． （1）利用整理思想，把看成一个整体进行合并即可； （2）把变为，然后把代入计算即可； （3）将式子化简为，再整体代入． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴； （3） ， ，， 原式． 题型五 整式规律性问题（共3小题） 13．（24-25七上·安徽合肥包河·期末）观察下列等式：，，，……，，根据此规律可知的值（用含m的代数式表示）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 由可知数列每3项重复一次， 周期为3， 余0，对应周期中的第3项， ， 故选：D． 14．（24-25七上·云南红河弥勒一中·期末）按一定规律排列的一列数依次为：，5，，17，，…，按此规律排列下去，第n个数（n为正整数）是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据数值的变化规律可得： 第一个数： 第二个数： 第三个数： ∴第n个数为：． 故选：B． 15．（24-25七上·山西运城夏县部分学校·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，如此下去，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察可知，第个单项式的系数为，指数为， 第个单项式是 ， 第个单项式为． 故选：D． 题型六 程序框图（共3小题） 16．（24-25七上·山东烟台招远·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，则最后输出的结果是 ． 【答案】14 【详解】解：设开始输入的值为， 代入，得到，返回继续运算， ，返回继续运算， ，输出结果， 即最后输出的结果为， 故答案为：． 17．（24-25七上·贵州黔南州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，按此程序进行计算，则第2025次得到的结果为 ． 【答案】 【来源】贵州省黔南布依族苗族自治州2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的计算，根据计算结果找到规律是解题的关键． 分别计算前八次的结果，找到规律即可得到答案． 【详解】解：第一次得到的结果为； 第二次得到的结果为； 第三次得到的结果为； 第四次得到的结果为； 第五次得到的结果为； 第六次得到的结果为； 第七次得到的结果为； 第八次得到的结果为 ，从第三次开始，每三次输出的结果为一个循环，依次为， ， 第2025次得到的结果为， 故答案为： ． 18．（24-25七上·湖南邵阳大祥区·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，第2024次输出的结果为 ． 【答案】3 【来源】湖南省邵阳市大祥区2024-2025学年七年级上学期数学期末检测卷 【分析】本题主要考查程序框图和算法，属于基础题．根据已知和程序框图，依次写出输出的结果，寻找规律，从而确定结果． 【详解】解：由程序框图知：若开始输入的x值为12， 第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为… 不难推知以后六次一循环， ∵， ∴第2024输出的结果为3 故答案为：3 题型七 定义新运算（共3小题） 19．（24-25七上·宁夏银川灵武·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 20．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是 ． 【答案】9或/或9 【详解】解：∵ ∴①当时，则有，解得，； ②当时，，解得， 综上所述，b的值是9或-9， 故答案为：9或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义，会解一元一次方程． 21．（24-25七上·安徽巢湖·期末）现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为 ． 【答案】4 【来源】安徽省巢湖市2024-2025学年七年级数学上学期期末试卷 【分析】本题考查了新定义，以及解一元一次方程，理解题目中运算规则是解题的关键． 理解运算法则，进行分类讨论，逐个解出x的值，即可作答． 【详解】解：当，则， ； 当，则， ， 但，这与矛盾， 所以此种情况舍去． 即：若，则有理数的值为4， 故答案为：4． 题型八 一元一次方程含参运算（共3小题） 22．(24-25七上·湖北襄阳七中·期末）若关于的方程的解是，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得：； 故选：A． 23．（24-25七上·安徽合肥蜀山·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省合肥市蜀山区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入已知方程，列出关于k的新方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x的方程得： ， ， ， 故选：C． 24．（24-25七上·安徽芜湖无为·期末）关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省芜湖市无为市2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出． 先将与分别化为与，再根据关于的方程与的解相同列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵关于的方程与的解相同， ∴， 解得， 故选：A． 题型九 二元一次方程组含参运算（共3小题） 25．（24-25七上·安徽亳州谯城·期末）已知关于x，y的方程组且，则k的值为 ． 【答案】 【来源】安徽省亳州市谯城区2024-2025学年七年级上学期数学期末试题 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故答案为：． 26．（24-25七上·安徽马鞍山七中·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 【答案】或或 【来源】安徽省马鞍山市第七中学2024—2025学年上学期期末考试七年级数学测试 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 27．（24-25七上·重庆字水中学·期末）如果关于，的二元一次方程的解，满足，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解： 得：， ∵关于，的二元一次方程的解，满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十 应用题方案问题（共3小题） 28．（24-25七上·湖北武汉江汉区·期末）为进一步推进“书香校园”建设，某校图书馆计划增订国学类图书100本，科学类图书本．现有甲乙两家书店参与竞标，两家书店的竞标方案如表： 甲书店 乙书店 报价：国学类15元/本，科学类8元/本 报价：国学类15元/本，科学类8元/本 优惠方案：一律打七折 优惠方案：买两本国学类图书，赠送一本科学类图书，总价在此基础上再优惠200元 (1)用含的代数式表示：到甲书店购买的费用是_____；到乙书店购买的费用是_____； (2)已知该校图书馆原有藏书2740本，该校有学生1500名，该校想要图书总量与学生数比达到． ①需要采购科学类图书______． ②学校计划拨出2000元经费采购这批图书，这批经费够吗？若够，应在哪家书店采购？若不够，请说明理由． 【答案】(1)元，元； (2)①，②经费够，应在甲书店采购． 【详解】（1）解：购买甲书店图书的费用为：元； 购买乙书店图书的费用为：元； （2）解：∵该校图书馆原有藏书2740本，该校有学生1500名，该校想要图书总量与学生数比达到． ∴ 解得 还需要科学类图书本； 在甲书店采购需要的费用为：（元）， 在乙书店采购需要的费用为：（元）（元）， 答：经费够，应在甲书店采购． 29．（24-25七上·四川乐山夹江·期末）“非遗酸菜”诞生在四川夹江县新场镇土门铺社区，是全国唯一一个泡菜类（酸菜）“非物质文化遗产”．假设一家经销公司一次性收购了23t酸菜，经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若经过精加工并包装，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4t或精加工并包装．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案： ①全部进行粗加工并包装； ②尽可能多地精加工并包装，余下的直接销售； ③部分精加工并包装，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请根据以上信息，回答下列各小问： (1)若选择方案①，求该公司所得的利润． (2)请你探究一下，为公司做决策，选择第几种方案能使公司最大利润化，并说明理由． 【答案】(1)57500元 (2)第③种，见解析 【详解】（1）解：（元）． 若选择方案①，求该公司所得的利润为元． （2）当选择方案②时，由题意得，进行天精加工并包装，余下的直接销售． 则精加工并包装的数量为，直接销售的数量为． 此时的利润为：（元）． 当选择方案③时，设进行精加工并包装天，进行粗加工并包装天． 则 解得 此时的利润为：（元）． 由（1）知，当选择方案①时，利润为元． ， 选择第③种方案能使公司最大利润化． 30．（24-25七上·河北张家口怀安·期末）为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 【答案】(1)每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元 (2)①到甲商场购买装备所花的费用为：元，到乙商场购买装备所花的费用为：元；②在甲商场购买的足球更多 【来源】河北省张家口市怀安县2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据买一套队服和一个足球共需花费180元，列出方程，解方程即可； （2）①根据题意分别列出代数式即可； ②根据总费用分别列出方程，然后解方程，求出m的值，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据题意得： ， 解得， ∴， 答：每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元； （2）解：①到甲商场购买装备所花的费用为： 元， 到乙商场购买装备所花的费用为： 元； ②当时，解得：； 当时，解得：； 因为购买足球的数量为整数，所以最大可取， 因为， 所以在甲商场购买的足球更多． 题型十一 相关求解相关压轴题（共3小题） 31．（24-25七上·江西宜春高安·期末）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 【答案】(1)是 (2)①或3或；②、秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒 【详解】（1）解：如图，为的中点， 所以 所以是的“倍分点”， 故答案：是； （2）①由题意得： 当时，此时， 解得 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s时，点P是线段AB的“倍分点”. ②当与相遇时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s或s或s或s，点P是线段AQ的“倍分点”. 32．（24-25七上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【详解】解：（1）①， 故答案为：，． ②设， ， ， 是线段中点， ， ， ， ． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒）， ∴， 故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即， 解得； 当为中点，，即， 解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即， 解得． 综上，的值为1或4． 33．（24-25七上·湖北武汉青山·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3 (2)①秒或秒；② 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 题型十二 角度求解相关压轴题（共3小题） 34．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1)40， (2)①秒或25，理由见解析；② 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则， ∵的度数是，射线是射线的伴随线， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， 则的度数是． 故答案为：； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或25时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 35．（24-25七上·安徽淮北五校联考·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． (1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由； (2)若平分，且为的“割补线”，求的大小； (3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【来源】安徽省淮北市五校联考2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了新定义，涉及角度的和差计算，角平分线的定义，解一元一次方程，熟练掌握知识点，正确理解新定义是解题的关键． （1）由于，那么，基即可证明； （2）由平分，得到，因为为的“割补线”，则，即可求解； （3）设，则，由于为的“割补线”，那么或，则或，①当时，由于为的“割补线”，那么或，当时，得到，当时，得到，②当时，则，那么当时，得到，当时，得到，分别解方程即可． 【详解】（1）解：是的“割补线”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是的“割补线”； （2）解：∵平分， ∴， ∴ ∵为的“割补线” ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为的平分线， ∴设， ∴， ∵为的“割补线”， ∴或， ∴或， ①当时， ∵为的“割补线”， ∴或， 当时， ， 解得：， 此时（不符合题意，舍）； 当时， ， 解得：， ∴； ②当时， 则， ∵为的“割补线”， ∴或， 当时， ， 解得：（不符合题意，舍）； 当时， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 36．已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的大小不会变化，理由见详解． 【详解】（1）解： ， ； （2） 射线分别为的平分线， （3） 的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 1．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“+”号表示数的加法，则的值是（　　） A．1 B．0 C．2025 D．-2024 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据给定的新运算，运用规则进行变形，通过代入特殊数值简化计算，逐步推导得出结果 【详解】解：∵ 对任意有理数 ，有 和 ， 令 ， 则 ， 即 ， 又 ∵ ， ∴ ①， 计算： 令 ， 则 ， 即 ， ∵ ， ∴ ②， ②式代入①式得： ∴， ∴ ． 故选：A． 2．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 3．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（ ） ①若，则； ②若，，则或； ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是17 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，正确通过数轴判断绝对值符号里式子的正负是解题的关键． 利用数轴可得，再根据每项的关键信息，逐一判断各项对错即可解答． 【详解】解：①若，则有两种情况，或， 当时，， 所以，故①错误； ②若，，则，， 由数轴可得， 所以，， 或，故②正确； ③由题意知，，，， ， ，且， ，，为一负二正或两负一正， 即或 当时， ， 当时， ， 故③错误； 由数轴可得， 为一个五位自然数， ， ， ， 当，，，时，取最大值为，故④错误， 故选：A 4．甲、乙两人在两条生产线上加工产品．在生产线，甲第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件，乙第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件；在生产线，甲每天加工件产品，乙每天加工件产品．在一天内，甲和乙只能选择在中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同），且在一条产品线连续工作少于天时不可改变产品线． ①甲在产品线连续工作天能加工产品 件； ②一件产品、一件产品组成一套产品，则天最多能加工 套产品． 【答案】 【分析】（）根据题意列出算式计算即可； （）根据题意列出算式解答即可； 本题考查了有理数加法和混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：①由题意可得，甲在生产线连续工作天最多能加工产品个 故答案为：； ②∵一个产品、一个产品组成一套产品， ∴天两种产品要同时生产出的数量最多， ∵甲在生产线连续工作天最多能加工产品个，甲在生产线连续工作天最多能加工产品个；乙在生产线连续工作天最多能加工产品个，乙在生产线连续工作天最多能加工产品个， ∴每天甲、乙轮流生产可使产品的数量相同，为个，最后两天甲生产产品件，乙生产产品件， ∴天最多能加工套， 故答案为：． 5．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 设丙出发与乙相遇，求出乙的速度为；当丙与甲相遇时，①若甲在乙前面，可求得丙速度为，故，②若乙在甲前面，求出丙的速度为，故，分别解方程可得答案． 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得， 综上所述，丙出发或与乙相遇， 故答案为：或． 6．已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为 ． 【答案】23 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据、、、为四个不相同的正整数，且满足，可以求得、、、对应的数字，然后即可得到的最小值． 【详解】解：、、、为四个不相同的正整数，且满足， ， ， ，，，是1，，2，中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 不妨设，，，， 解得，，，， ，，，是4，2，5，1中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 当，，，时，取得最小值，此时的值为23， 故答案为：23． 7．枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 【答案】(1)小时 (2) (3)方案一 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题，其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和算式是解题的关键． （1）根据“方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米”列方程求解即可； （2）根据“每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车” 列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案的总费用，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时，则用飞机空运到甲地的时间为小时， 由题意得： ， 解得：， 从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时； （2）解：设这批枇杷共有吨， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：； （3）解：方案一： （元）， 方案二： （元）， ， 应选方案一， 答：应选用方案一使得总费用较少． 8．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $