专题03 空间向量的应用-用空间向量研究直线、平面的位置关系（六大考点精讲）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3 空间向量的应用-用空间向量研究直线、平面的位置关系 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、平面的法向量 2 知识点2、判断直线、平面的位置关系 2 知识点3、平面与平面的位置关系 3 三、探究重点难点 3 重难点题型1 线线平行 3 重难点题型2 线面平行 6 重难点题型3 面面平行 13 重难点题型4 线线垂直 20 重难点题型5 线面垂直 24 重难点题型6 面面垂直 35 四、突破热点题型 44 知识点1 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①、法向量一定是非零向量； ②、一个平面的所有法向量都互相平行； ③、向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． 知识点2 判定直线、平面间的位置关系 ①、直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②、直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． 知识点3平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 重难点题型1 线线平行 例1.（24-25高一下·江西·期末）已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题、线面平行的性质 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质、线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据面面相交的性质，结合（1）的结论证明即可. 【详解】（1）如图，连结，在正方体中， ∵，又，， ∴ 平面． 又在正方体中，连接, ∵，, ∴平面， 又平面，∴． 同理可得. 又，∴平面． ∴; （2）由题意可得，又由（1）知， 所以直线和必相交，不妨设， 则， 又平面， 所以平面， 同理平面． 因为平面平面， 所以， 所以、、三条直线交于一点． 1.（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】（1）由线面平行的判定得平面，再由线面平行的性质即可证； （2）在平面内作于H，利用线面垂直的判定及性质定理即可证； （3）若是的中点，连接，过作于，连接，根据线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有是二面角的平面角，进而求其余弦值. 【详解】（1）由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线，所以. （2）在平面内作于H， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，平面，则 又平面，平面，则， 又且都在平面内，故平面， 又平面，则. （3）若是的中点，连接， 由（2）知，，， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接， 显然，平面，因此平面， 而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得，， 则，，， 所以二面角的余弦值是. 重难点题型2 线面平行 例2.（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理求证； （2）以A为坐标原点建系，求出两个平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可； （3）利用可求. 【详解】（1）因，，，则， 又，四点共面，则， 因平面，平面，则平面. （2）如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为 则，令，则， 易知为平面PAD的一个法向量， 则， 所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为； （3）， 因Q为线段PC的中点， 则. 例3.（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）取的中点，利用线面平行、面面平行的判定推理得证. （2）取的中点，的中点，利用几何法求出异面直线的夹角余弦. 【详解】（1）在三棱台中，设的中点为，连接，由为的中点， 得，又平面，平面，则平面， 由为梯形的中位线，得，又平面，平面， 则平面，而，平面，平面， 因此平面平面，又平面，所以平面.      （2）取的中点，的中点，连接、、、、， 由，是中点，得四边形是平行四边形， 则，又是中点，是中点，则， 即就是异面直线与夹角， 又底面，与都是等腰直角三角形，， 则，， ，因此， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 1.（2025·云南昭通·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面，，，，点在上是靠近的三等分点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）利用相似证明出线线平行，再得到线面平行； （2）直接利用空间向量法建系求解出二面角的余弦值，再求正弦值即可． 【详解】（1）如图，连接交于点，连接，    因为，所以， 所以． 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）解：因为，，所以． 又因为平面，所以，． 以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 所以，，，，，，    所以，． 设平面的一个法向量为， 则解得所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则解得所以， 设二面角的平面角为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 2.（2025·湖南长沙·三模）如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. (1)求证：平面GED； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，得出，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解即可． 【详解】（1）证明：取DE的中点M，连接OM，GM， 在△BDE中，，. 又因为G为CF的中点，所以，， 所以，. 所以四边形为平行四边形，所以， 又面，面， 所以平面. （2）因为平面ABED，所以，， 又因为，所以四边形ABED为菱形，所以， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CE , 于是，，， ，， 设平面BCE的一个法向量为， 则即 不妨令，则，，取. 又为平面ACE的一个法向量， 设二面角A－CE－B平面角的大小为θ，显然θ为锐角， 于是， 故二面角A－CE－B的余弦值为. 重难点题型3 面面平行 例4.（2025·安徽·模拟预测）如图1，E，F，G，H分别是正方形各边中点，将分别沿折起，使得所在平面与底面均垂直（如图2），连接．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、求二面角、面面角的向量求法 【分析】（1）A，B，C，D在平面上的投影分别为的中点，先证，再由线面平行的判定证明平面，平面，最后由面面平行的判定证明结论； （2）法一：构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，向量法求面面角的余弦值，进而求其正切值；法二：取的中点，根据面面角定义得到所求角是的二倍并求得，再应用二倍角正切公式求正切值； 【详解】（1）如图1，A，B，C，D在平面上的投影分别为的中点， 因为是全等的等腰直角三角形，所以， 又所在平面与底面均垂直， 所以与底面均垂直，从而， 故四边形均为平行四边形（矩形），因此， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又相交且都在平面内， 所以平面平面；    （2）法一：如图2建立空间直角坐标系，不妨设， 则， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 从而，取，则， 设平面的法向量为，则， 从而，取，则， 从而，故， 所以，，即平面与平面所成二面角的正切值为．                         法二：如图3，取的中点，易知，， 由都在平面内，则平面，记， 由对称性可知，所求角是的二倍，根据题意，不妨设， 则，所以，因此. 例5（2025·四川德阳·三模）如图，四边形是矩形，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若平面与棱交于点，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线线平行、面面角的向量求法 【分析】（1）根据得到平面，同理由得到平面，从而得到面面平行； （2）两两垂直，建立空间直角坐标系，设，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到方程，求出的坐标，求出平面和平面的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，根据同角三角函数关系得到面面角的正弦值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 因为四边形是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面ABE； （2）平面，平面， 所以，故两两垂直， 故以A为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ，，. 由（1）平面平面ABE，由面面平行的性质可得， 设， 则， 由得， 解得，即的坐标为， 设平面的法向量， ，， 则， 令，则，故， 设平面的法向量， ，， 则， 令，则，故， 所以， 故平面与平面所成角的正弦值为. 1.（2024·甘肃白银·一模）如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点. (1)若为线段的中点，证明：平面平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系利用线面角的向量求法得出直线与平面所成角的正弦值的表达式，解方程计算即可得出结果. 【详解】（1）证明：是正方形，. 平面平面平面. 平面平面，平面平面，平面平面. 由题意得为的中点，， 四边形为平行四边形， 平面平面平面 平面平面 （2）分别取的中点，连接.易证. 平面平面，平面平面 平面. 设为2个单位长度，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则.设， 得. 设平面的法向量为， 则, 取，得，则. 由直线与平面所成角的正弦值为 ， 解得.所以又因为, 所以, 故. 2.（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆台表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论； （2）由三棱锥体积可得的面积，进而可得圆台的侧面积． 【详解】（1）∵在梯形中，，，∴， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 在中，. 故圆台的侧面积. 重难点题型4 线线垂直 例6.（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先证，推得在同一直线上，在中，由余弦定理求得，进而可证，利用线线垂直可得平面，进而可证结论； （2）利用余弦定理求得，可证得，结合，得到平面，建系后，求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得． 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，点O为AC中点． 所以，且，故在同一条直线上， 在中，由余弦定理，可得， 又，，故得， 解得，又，，故是等边三角形，则， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）由（1）可得，， ，， 在中，由余弦定理可得， 又，，，， 因，则， 又，且，平面，所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）已得，故可知平面， 即是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的正弦值为． 1.（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在三棱台中，平面平面，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，进一步得到，作出辅助线易得，可证明平面，再根据线面垂直的定义即可证得； （2）取中点，易知直线两两垂直，建立空间直角坐标系，设，再分别求出直线的方向向量与平面法向量，由线面角的夹角公式结合基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）在三棱台中，取AC的中点O，连接BO，，， 由，得， 由平面平面，平面平面， 平面，得平面， 而平面，则， 又，，则四边形是菱形，故， 而，，平面，因此平面， 又平面，所以． （2）取中点，则， 由平面平面，平面平面，平面， 则平面，直线两两垂直， 以点O原点，直线OB，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， ，， ， 设平面的法向量，则， 令，得， 设直线与平面所成的角为， ， 当且仅当时等号成立． 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 重难点题型5 线面垂直 例7.（2024·河南·模拟预测）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1） 连接， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 又因为，， 所以，所以， 点为线段中点，所以， 在中，，， 所以， 则， 又，平面，平面， 所以平面. （2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示， 则， 则， ， 设面的法向量为，面的法向量为， 则，取，则 取，则. 设二面角大小为， 则， 所以二面角的正弦值为. 【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，， ，， ，，．        设是平面的法向量， 则，即，可取． 设是平面的法向量， 则，即，可取．       所以． 因此二面角的正弦值为．         例8.如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果． 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 1.如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求点面距离、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得；由面面垂直和线面垂直的性质可证得，结合可证得结论； （2）延长交于一点，根据可求得，利用体积桥可构造方程求得结果； （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【详解】（1）连接，    在三棱台中，； ，四边形为等腰梯形且， 设，则. 由余弦定理得：， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 是以为直角顶点的等腰直角三角形，， ，平面，平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，   ，，， ； 平面，即平面， 即为三棱锥中，点到平面的距离， 由（1）中所设：，， 为等边三角形，， ，； ，， ， 设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离， ，，解得：. 即点到平面的距离为. （3）平面，平面，平面平面， 平面平面 取中点，在正中，，平面， 又平面，平面平面． 作，平面平面，则平面， 作，连接，则即在平面上的射影，   平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，即二面角的平面角. 设， 在中，作，   ，，又平面，平面， ，解得：， 由（2）知：，， ，， ，， ，， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得：， ， 存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 2.（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）首先证明平面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明底面； （2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论. 【详解】（1）在中，， 所以． 在中，， 由余弦定理有：， 所以，，所以， 所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，则， 所以，， 因为，、平面， 所以面． （2）因为平面，以点A为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则， 设为面的法向量，则有， 取，则， 所以，平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为 ， 由题意可得， 可得，因为，所以． 因此，存在点使得与平面所成角的余弦值为，且． 重难点题型6 面面垂直 例9.（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱中，与的距离为，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）取棱中点D，连接，因为，所以 因为三棱柱，所以， 所以，所以 因为，所以，； 因为，，所以，所以， 同理， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 取中点O，连接，取中点P，连接，则， 由（1）知平面，所以平面 因为平面，平面， 所以，， 因为，则 以O为坐标原点，，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 可设点，， ，，， 设面的法向量为，得， 取，则，，所以 设直线与平面所成角为， 则 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. 例10.（24-25高三上·贵州·月考）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． (1)当与重合时，证明：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，证明，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）如图，取中点，连接， 因为侧面为菱形，， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）连接，因为为等边三角形，则， 所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 令三棱柱的棱长为2，所以， 故， ， 又，所以， 设，， 则， 即； 又， 设平面的法向量为， 则则，取，则， 故平面的法向量可为， 又，设直线与平面所成角为， 由题可得，即， 整理得：，解得， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为． 1.（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直、求二面角、空间垂直的转化 【分析】（1）先由题意中的面面垂直得到平面，从而得到，再由题意中给出的棱长信息得到，进而得到平面即可求证. （2）延长交于点S，得，且平面平面，过作的垂面即可找到二面角的平面角，进而通过求即可求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又平面，， 所以平面，又平面， 所以， 过C作交于点G，则由题意， 所以，， 所以，即，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）过A作交于点E， 由（1）可得平面平面，又平面平面， 所以平面，点A到平面PBC的距离为， 所以， 又由（1）平面可得， 所以，所以， 延长交于点S，则平面平面， 又由为等腰梯形，且以及，可得 ，分别为的中点， 连接，则，且， 又由平面，可得，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以，过D作，交于点，连接， 则由得平面，所以为二面角的的平面角， 又在和中，， 所以，故， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 2.（2024·山西·二模）如图，四棱锥中，二面角的大小为，，，是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）由题意可得，平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）过作的垂线交延长线于点H，连接AH，根据面面垂直的性质可得，设，在中由余弦定理得，利用勾股定理的逆定理可得，建立如图空间直角坐标系，结合空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由，得，则， 所以，即. 由二面角的大小为，知平面平面，即平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）过作的垂线，交延长线于点H，连接AH， 由平面平面，平面平面，平面， ，所以平面，则为在底面内的射影， 所以为直线与底面所成的角，即. 由，知且为钝角三角形， 设，得，， 在中，，在中，， 由余弦定理得，有， 所以，过作，则底面， 所以两两垂直，建立如图空间直角坐标系， ， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，则， 所以，则， 故所求二面角的余弦值为. 1．（2025·北京大兴·三模）如图，矩形，平面平面，，平面ADF与棱BE交于点． 2 (1)求证：； (2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、线面角的向量求法、线面平行的性质 【分析】（1）由和证明平面平面，进而证明；l （2）以为原点，分别以所在直线为x轴，轴，轴建立空间直角坐标系，,求出平面ADF的一个法向量为，进而求出直线CF与平面ADF夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为，平面,平面, 所以平面, 又，平面,平面, 所以平面, 又，且平面 所以平面平面, 又因为平面CDF，所以平面 因为平面ADF，平面平面 所以，即 （2）因为平面平面ABCD 所以．又, 如图，以为原点，分别以所在直线为x轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面ADF的一个法向量为，则，即 不妨令，则，所以 所以直线CF与平面ADF夹角的正弦值. 2．（2025·四川巴中·三模）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是的中点， (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）设与相交于，连结，求证，再根据线面平行的判断定理，证明线面平行即可. （2）建立适当空间直角坐标系，根据向量方法求出空间中平面与平面的夹角的余弦值，根据同角三角函数的关系，求出角的正切值. 【详解】（1） 设与相交于，连结， 是的中点，是的中点， ，平面，平面， 平面. （2） 如图所示，建立空间直角坐标系，为轴，为轴，为轴， 则，，， 则向量，， 设平面的法向量为，则，即， 令得平面的一个法向量， 可以设平面的一个法向量为， 所以， 所以， 所以， 所以平面与平面所成角的正切值为. 3．（2024·全国·模拟预测）如图1，在矩形中，，将三角形沿着线段向上折起，使得点到达点的位置，且平面平面，将正方形沿着向上折起，使得点分别到达点的位置，且平面平面，构成如图2所示的多面体，点为线段的中点，点在线段上，且满足． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行、线面垂直证明线线平行、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）取的中点，连接，先证明，再证明出，利用面面平行的判定定理证明平面平面； （2）由得到平面的距离为到平面的距离的，连接，则，再计算出即可求解． 【详解】（1）取的中点，连接， 由于，故为的中点， 又点为线段的中点， ， ，且为的中点， ，，因此四边形为平行四边形， ，， ，且点为线段的中点， ， 又平面平面，且平面平面，平面， 平面， 在矩形中，，所以四边形为矩形，则， 所以， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， ， 平面且，，平面且， 平面平面． （2）因为，所以到平面的距离为到平面的距离的， 连接，则， 由（1）知， 因为平面，平面， 所以平面， 连接， 又平面， 故， 因此． 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图①，在梯形中，为线段的中点，将沿折起至，如图②． (1)若，证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）设，则，连接,交于点，连接,利用余弦定理求得，同理求得，再由勾股定理逆定理即可证得； （2）取的中点，连接,证明为二面角的平面角，由余弦定理求得，过点作直线的垂线段,交于点 ，证明平面,利用条件写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间夹角的坐标公式求解即得. 【详解】（1） 设,因则, 因为线段的中点，则,如图②，连接,交于点，连接, 易得菱形,则,因，则,且， 在中，由余弦定理，,则, 在中，由余弦定理，, 由,可得. （2） 由题意，与均为边长是2的正三角形，取的中点，连接, 则,即为二面角的平面角，等于， 在中，由余弦定理，，即， 过点作直线的垂线段,交于点，因， 平面,故平面,又平面，故, 因,平面，故平面. 分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 因,则，. 则, 则, 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为, 则，故可取， 则， 设平面与平面夹角为， 则. 5．（2025·浙江绍兴·二模）在四面体中，， (1)证明：． (2)求四面体体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）取中点，由题意可证得，，再由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理即可得出. （2）设，表示出，设到平面的距离为，由此表示出四面体体积，再由导数求出最大值. 【详解】（1）取中点，连接，因为，所以， 因为，所以，平面， 所以平面，平面，所以. （2）设，所以， 设四面体的高为，即到平面的距离为， 所以， 所以四面体体积为： ， 令， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以. 所以. 所以，所以四面体体积的最大值为. 6．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）解法一：延长交于点，则为平面与平面的夹角，然后利用直角三角形知识求解，再结合利用诱导公式求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法及同角三角函数关系求出正弦值. 【详解】（1）在上底面的投影为的重心． 平面，平面，， ，， 是等边三角形，是的中点，故， ，平面，平面，平面， 又因为平面，. （2）解法一：延长交于点，如图所示， 由（1）知平面，故为平面与平面的夹角， ，， 设棱长为1，则，为重心，，，， 平面与平面的夹角的正弦值为. 解法二：设，有，，，可求得， 由，，可得， 又由平面，以为坐标原点， ，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为， 有，取，，，可得， 又由平面的一个法向量为，有，，， 有， 故平面与平面的夹角的正弦值为． 7．（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 空间向量的应用-用空间向量研究直线、平面的位置关系 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、平面的法向量 2 知识点2、判断直线、平面的位置关系 2 知识点3、平面与平面的位置关系 3 三、探究重点难点 3 重难点题型1 线线平行 3 重难点题型2 线面平行 5 重难点题型3 面面平行 7 重难点题型4 线线垂直 9 重难点题型5 线面垂直 10 重难点题型6 面面垂直 12 四、突破热点题型 14 知识点1 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①、法向量一定是非零向量； ②、一个平面的所有法向量都互相平行； ③、向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． 知识点2 判定直线、平面间的位置关系 ①、直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②、直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． 知识点3平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 重难点题型1 线线平行 例1.（24-25高一下·江西·期末）已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 1.（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值. 重难点题型2 线面平行 例2.（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 例3.（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 1.（2025·云南昭通·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面，，，，点在上是靠近的三等分点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 2.（2025·湖南长沙·三模）如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. (1)求证：平面GED； (2)若，求二面角的余弦值. 重难点题型3 面面平行 例4.（2025·安徽·模拟预测）如图1，E，F，G，H分别是正方形各边中点，将分别沿折起，使得所在平面与底面均垂直（如图2），连接．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的正切值．. 例5（2025·四川德阳·三模）如图，四边形是矩形，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若平面与棱交于点，求平面与平面所成角的正弦值. 1.（2024·甘肃白银·一模）如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点. (1)若为线段的中点，证明：平面平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求. 2.（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 重难点题型4 线线垂直 例6.（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 1.（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在三棱台中，平面平面，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 重难点题型5 线面垂直 例7.（2024·河南·模拟预测）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 例8.如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 1.如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 2.（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 重难点题型6 面面垂直 例9.（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱中，与的距离为，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值． 例10.（24-25高三上·贵州·月考）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． (1)当与重合时，证明：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1.（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 2.（2024·山西·二模）如图，四棱锥中，二面角的大小为，，，是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 1．（2025·北京大兴·三模）如图，矩形，平面平面，，平面ADF与棱BE交于点． 2 (1)求证：； (2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值． 2．（2025·四川巴中·三模）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是的中点， (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 3．（2024·全国·模拟预测）如图1，在矩形中，，将三角形沿着线段向上折起，使得点到达点的位置，且平面平面，将正方形沿着向上折起，使得点分别到达点的位置，且平面平面，构成如图2所示的多面体，点为线段的中点，点在线段上，且满足． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图①，在梯形中，为线段的中点，将沿折起至，如图②． (1)若，证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的正弦值． 5．（2025·浙江绍兴·二模）在四面体中，， (1)证明：． (2)求四面体体积的最大值． 6．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 7．（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$