专题01 三角形（期末复习知识清单，5知识&9题型&3易错&3方法清单）八年级数学上学期新教材苏科版

专题01 三角形（5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】三角形中的线段和角 1.三角形的有关概念 · 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 · 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如边BC可表示为a或BC。 · 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，三角形有三个顶点，用大写字母表示，如顶点A、B、C。 2.三角形的分类 · 按角分类： · 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形叫做锐角三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角（即90°）的三角形叫做直角三角形，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两边叫做直角边。直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（即大于90°且小于180°）的三角形叫做钝角三角形。 · 按边分类： · 不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 · 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形。 3.三角形中的重要线段 · 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。 · 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形。 · 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 4.三角形的三边关系 · 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。 · 三角形三边关系推论：三角形任意两边之差小于第三边。 · 作用：判断三条线段能否组成三角形，只需判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可；已知三角形两边长，可确定第三边长的取值范围（两边之差＜第三边＜两边之和）。 【清单02】全等三角形 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2.全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。书写全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中A和D、B和E、C和F是对应顶点。 3.全等三角形的性质 · 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。 · 对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。 · 对应边上的中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等。 · 对应边上的高相等：全等三角形对应边上的高长度相等。 · 对应角的平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度相等。 · 周长相等：全等三角形的周长相等。 · 面积相等：全等三角形的面积相等。 【清单03】全等三角形的判定 1.判定定理 · “边边边”（SSS）判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 · “边角边”（SAS）判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 · 注意：这里的角必须是两边的夹角，若为两边和其中一边的对角对应相等，则两个三角形不一定全等（SSA不能判定全等）。 · “角边角”（ASA）判定定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 · “角角边”（AAS）判定定理：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 · “斜边、直角边”（HL）判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 · 注意：HL定理只适用于直角三角形，不适用于一般三角形。 2.判定思路 · 已知两边对应相等：①找夹角（SAS）；②找第三边（SSS）；③若为直角三角形，可考虑斜边和直角边（HL）。 · 已知两角对应相等：①找夹边（ASA）；②找其中一角的对边（AAS）。 · 已知一边一角对应相等：①若为边和其夹角，找另一边（SAS）；②若为边和其对角，找另一角（AAS或ASA）。 3.全等三角形判定的注意事项 · 判定两个三角形全等，必须有三组元素（边或角）对应相等，且其中至少有一组是边。 · 利用“SAS”时，角必须是已知两边的夹角，不能是其中一边的对角。 · “HL”定理是直角三角形特有的判定方法，对于一般三角形不适用。 · 在书写证明过程时，要注意对应顶点、对应边、对应角的正确表述，确保逻辑清晰。 【清单04】线段垂直平分线与角平分线 1.线段垂直平分线 · 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 · 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 · 几何语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB。 · 性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 · 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形外部。 2.角平分线 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 · 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 · 几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。 · 性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 · 几何语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）。 · 三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三条边的距离相等。三角形的内心一定在三角形的内部。 3.尺规作图（相关） · 作线段的垂直平分线： 1. 分别以线段AB的两个端点A、B为圆心，以大于AB一半的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； 2. 作直线CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线。 · 作角的平分线： 1. 以角的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，交角的两边于A、B两点； 2. 分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径作弧，两弧在角的内部交于点P； 3. 作射线OP，射线OP即为这个角的平分线。 【清单05】等腰三角形 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 2.等腰三角形的性质 · 等边对等角：等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。 · 几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。 · 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 · 几何语言：在△ABC中， · ∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD； · ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC； · ∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴AD平分∠BAC，BD=CD。 · 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 · 两腰上的中线相等：等腰三角形两腰上的中线长度相等。 · 两腰上的高相等：等腰三角形两腰上的高长度相等。 · 两底角的平分线相等：等腰三角形两底角的平分线长度相等。 3.等腰三角形的判定定理 · 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 · 几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。 · 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 4.等边三角形 · 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 · 性质： · 等边三角形的三条边都相等。 · 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 · 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边的垂直平分线（或三条角平分线）所在的直线。 · 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，且“三线合一”性质在每条边上都成立。 · 判定： · 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 · 三个角都相等的三角形是等边三角形：∵在△ABC中，∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形。 · 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），∴△ABC是等边三角形。 5.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 · 几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB。 【题型一】等腰三角形度数与长度 【例1】等腰三角形的两边长是2和5，周长为（   ） A．9 B．12 C．10 D．9或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长； 综上所述：等腰三角形的周长为12． 故选：B． 【变式1-1】已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（） A． B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质；本题考查等腰三角形的性质，需分情况讨论：当为底边时，；当为腰且高在三角形内部时，；当为腰且高在三角形外部时，． 【详解】解：设边上的高为，为垂足，则． ①当为底边（）时： ，， ， 又， 为等腰直角三角形，， 同理， ． ②当为腰且，高在三角形内部时： 在中，， 取的中点，连接， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ， ， 又，， 设，则，解得， ． ③当为腰且，高在三角形外部时： 在中，， 同理可得， ，且， ， 设，则，解得， ． 综上，的度数为或或， 故选：D． 【变式1-2】等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用．分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数． 【详解】解：有两种情况； （1）如图，当是锐角三角形时，于， 则， 已知， ， ， ； （2）如图，当是钝角三角形时，于， 则， 已知， ， ， ， ， 故答案为：或． 【题型二】证明的依据 【例2】如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 先利用作图痕迹可判断，平分，加上为公共边，然后利用全等三角形的判定方法求解． 【详解】解：由作图痕迹得，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2-1】下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定．根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ， 射线平分． 故选：B． 【变式2-2】如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是 ． 【答案】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质．先判断是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴是的垂直平分线， ∵点N在上， ∴（线段垂直平分线的性质）， 故答案为：线段垂直平分线的性质． 【题型三】最值问题 【例3】如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】BB 【分析】本题考查了轴对称的应用，最短路径，理解轴对称的性质是解题的关键．连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值，据此回答即可． 【详解】解：连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值， 在等边中，于点D， ， ， ， E是边的中点， ， ， ． 故选：B． 【变式3-1】如图，在中，，，，点是直角边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，随点位置的改变，线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度角直角三角形的性质及旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键；取的中点F，连接，由题意易得，由旋转的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：取的中点F，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 要求线段的最小值，即求线段的最小值， ∴当时，线段有最小值， ∵，， ∴； 故选B． 【变式3-2】如图，在中，，点E为边上的定点，，，，，点P，F分别为线段上的动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，得，则，所以，由垂线段最短可知，当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， 当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为， ， ， ， 故答案为： 【题型四】全等三角形的性质与判定 【例4】如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了四块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法，在打碎的四块中可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第①②③块，仅保留了原三角形的一部分边，不符合全等三角形的判定方法； 第④块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以可以拿这块去． 故选：D． 【变式4-1】如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质； （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可解决问题； 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）解：由（1）可知， ， ． 【题型五】垂直平分线的定理与逆定理 【例5】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意结合线段垂直平分线的性质可得，，，，先由的周长为，求出，再由的周长为，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意结合线段垂直平分线的性质可得：，，，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故答案为：22． 【变式5-2】如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 【题型六】角平分线的定理与逆定理 【例6】如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质，掌握角平分线性质是解题的关键． 由平分，且，根据角平分线的性质，可得． 【详解】解：在中，平分，且， ． 故选：C． 【变式6-1】如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质；作于点，由平分交于点，于点，得，根据，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， 是的角平分线， 平分交于点， 于点，于点， ， ∵，， 解得： 故答案为：． 【变式6-2】如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据全等三角形性质得出，再根据角平分线的判定进行证明； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分； （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 【题型七】等腰三角形的定理与逆定理 【例7】如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点M， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和都是等腰三角形，故①正确； 的周长，故②正确； 和不一定相等，故不一定等于，故③错误； ，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：C． 【变式7-1】如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键．延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质易得，然后可求出，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】如图，在中，，，点D，E在上，且，过点D作交的延长线于点F，连接 (1)若，求证：为等腰三角形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)50 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形性质得，根据得，再由三角形外角性质得，，由此得，证明是等腰直角三角形得，由此得，进而得，据此即可得出结论； （2）根据在（1）的条件下得，，，由此得，由此可依据“SAS”判定和全等得，进而得 【详解】（1）证明：在中，，， 是等腰直角三角形， ， 点D，E在上，且， ， 是的外角，是的外角， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：在（1）的条件下，， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 【题型八】斜中定律 【例8】如图，是四边形的对角线，，点为的中点，连接、、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，进而可求出的度数． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ∵， ， 故选C． 【变式8-1】如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 【变式8-2】已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【题型九】尺规作图 【例9】如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了作三角形的中线和高线，以及三角形的面积计算，清楚三角形的中线可以等分面积是解题的关键．（1）根据三角形的中线和高线的概念作出图形即可；（2）先求出的面积，然后根据是的中线，可以等分面积，即可获解． 【详解】（1）解：如图，高和中线即为所求； （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为． 【变式9-1】如图，在中，，是上一点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中的角平分线交于，过点作于，连接．若，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了作角平分线，角的平分线的性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，作出的平分线； （2）根据角平分线的性质可得，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解： 如图， （2）证明：如图， ∵平分，，于， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【变式9-2】（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，根据轴对称的性质可得路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 【题型一】三角形的三边关系理解不透彻 【例1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，6， C．4，4，8 D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大的数即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A．较小的两数之和为，等于第三边5，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； B．较小的两数之和为，小于第三边，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； C．较小的两数之和为，等于第三边8，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； D．较小的两数之和为，大于第三边，满足三角形三边关系，能构成三角形； 故选：D． 【变式1-1】现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边之差小于第三边． 首先设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得，再解即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系可得： ， 即：， 只有选项B符合要求， 故选：B． 【变式1-2】若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【题型二】三角形的高、中线、角平分线的性质混淆 【例2】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：A． 【变式2-1】如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 【变式2-2】如图，分别是的中线和高，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连接的线段是解题的关键． 利用，求出，再根据是的中线，得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：3 【题型三】利用三角形全等判定定理的条件不充分 【例3】下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 【变式3-1】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用证明三角形全等，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用求解． 【详解】解：如图， 聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分， 、及它们所夹的边都可用， 他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形， 那么聪聪画图的依据是， 故选：A． 【变式3-2】如图，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以为 （写出一个即可）． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记三角形的判定定理是解决问题的关键． 根据题意，可知，，添加，由即可证明；添加，由即可证明；添加，由即可证明；从而得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， 添加时， 在和中， ， ； 添加时， 在和中， ， ； 添加时， 在和中， ， ； 故答案为：或或（答案不唯一）． 【题型一】无刻度尺作图 方法技巧 无刻度尺作图依赖图形本身的几何性质（如全等、中点、平行、对称等），通过作辅助线构造特殊图形（如全等三角形、中位线、角平分线等），实现“以形量形”，无需测量具体长度。 1. 所有作图步骤需基于已学几何性质，不可凭直观“目测”； 2. 辅助线用虚线表示，保留作图痕迹（如交点、中点标记）； 3. 复杂作图可分解为基础作图（如作中点），分步完成。 【例1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的两个端点均在格点上． (1)请在图1中找一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形； (2)请在图2中找一个格点D，使得是以为底的等腰三角形，这个三角形的面积为 ； (3)在图2中仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，2.5 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据等腰三角形的定义画出图形； （2）构造等腰直角三角形即可，利用等腰直角三角形的性质求出三角形面积； （3）取格点，作直线即可． 【详解】（1）解：如图1中，△即为所求； （2）解：如图2中，△即为所求，△是等腰直角三角形，，， △的面积． 故答案为：2.5； （3）解：如图2中，直线即为所求． 【变式1—1】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两个画图任务（每个画图任务的画线不得超过三条）． (1)如图1，先画的中线，再画射线，交于点，使； (2)如图2，是上的格点，先画射线，交于点，使，再在上画点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，轴对称图形的性质，解决本题的关键是读懂题意，注意画线条数． （1）先根据勾股定理求解边的长度，再由中点即可确定点D的位置，连接即可得中线，取格点F，使且，构造等腰直角三角形，则，则中线，射线即为所求； （2）构造全等，则可得，找到点A关于的对称点，连接，交于点N，连接，则可得． 【详解】（1）解：由勾股定理可得， 在上确定点D，且， 连接，则中线即为所求， 取格点F，连接，，记与的交点为点E， 由勾股定理可得， 且， 满足，即为等腰直角三角形， ∴则， ∴， 则中线，射线即为所求，如图， （2）解：取格点，如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 则可得， 找点A关于的对称点，连接， 交于点N，连接， 由对称的性质可得， 又， ∴， 则点F与点N即为所求，如图， 【变式1—2】如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图（1）中，在上作点E，使，作的重心O； (2)在图（2）中，点D为格点，请在右边作格点F，使得，在上取一点M，使平分四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定，三角形的面积． （1）作出的中点E即可，再作出的中点G，连接和交于点O，则点O就是的重心； （2）作，，则即为所作，计算得出四边形的面积，即可得到，利用三角形面积公式求得，据此作出点M即可． 【详解】（1）解：如图，点E和点O即为所作； （2）解：和点M即为所作； ∵，， ∴四边形的面积， ∴，即， ∴． 【题型二】全等与等腰三角形的动点求t 方法技巧 一、动态几何问题的核心分析步骤 1. 运动要素提取 · 明确动点起始位置、运动方向、速度（v），用含t的代数式表示运动路程（s=vt） · 确定t的取值范围：根据线段长度、图形边界计算临界时间点，划分运动阶段 2. 几何关系转化 · 用t表示关键线段长度：设动点运动时间为t秒，将图形中所有动态线段用含t的表达式表示（如AP=2t，CQ=5-t等） · 标注静态线段长度：固定不变的线段直接标注已知长度，形成"动态+静态"的线段关系网 二、全等三角形存在性问题的解题策略 1. 分类讨论的三大依据 · 对应顶点顺序：根据题目中"△ABC≌△DEF"的顶点对应关系，分情况讨论（如△ABP≌△CDQ与△ABP≌△QDC需分开讨论） · 边的对应关系：当对应顶点不确定时，按"SSS"判定定理分三种情况列方程： ① AB=CD，BP=DQ，AP=CQ ② AB=DQ，BP=CQ，AP=CD ③ AB=CQ，BP=CD，AP=DQ · 运动阶段划分：当动点在不同线段上运动时，线段表达式发生变化，需按临界时间分段讨论 2. 方程建立与求解规范 · 列出等量关系：根据全等三角形对应边相等，建立含t的方程（如：当AP=CQ时，2t=10-3t） · 求解验证：解出t值后需验证： ① t是否在当前运动阶段的取值范围内 ② 求出的线段长度是否为正数 ③ 对应角是否满足全等判定条件（如SAS需验证夹角相等） 三、等腰三角形存在性问题的分类突破 1. "两圆一线"分类法 · 作圆法：以已知线段为腰时，分别以两端点为圆心，线段长为半径作圆，圆与动点轨迹的交点即为满足条件的位置 · 中垂线法：以已知线段为底边时，作线段的垂直平分线，与动点轨迹的交点即为顶点位置 2. 代数化计算流程 · 设元表示三边长：设动点运动时间为t，用含t的代数式表示等腰三角形的三条边（如：在△ABC中，AB=2t，BC=5-t，AC=√[(3-t)²+4]） · 分类列方程： ① AB=AC：(2t)²=(3-t)²+4² ② AB=BC：2t=5-t ③ AC=BC：√[(3-t)²+4²]=5-t · 解后三验证： ① 三边能否构成三角形（任意两边之和大于第三边） ② t值是否在有效取值范围内 ③ 是否符合图形的几何特征（如钝角三角形中钝角对边最长） 【例2】如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①全等，理由见解析；②运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； (2)存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 【分析】本题主要考查点的运动，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据点的运动速度与点的运动速度相等，，又，由等边三角形的性质可得，由此可证和全等，； ②分类讨论：当时，是直角三角形；当时，是直角三角形；由含角的直角三角形的性质列式求解； （2）点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒，分类讨论：当时，（厘米），，当时，（厘米），，据此列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①和全等，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度相等，即6厘米/秒， ∴当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②当时，是直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等，即厘米/秒， ∴， ∴， ∴， 解得，； 当时，是直角三角形， 同理，，则， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； （2）解：存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 当时，（厘米），， ∴， 解得，（厘米/秒），即点的运动速度为厘米/秒，不符合题意，舍去； 当时，（厘米），， ∴，， 解得，，（厘米/秒）； 综上所述，点的运动速度与点的运动速度不相等，和全等时，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 【变式2—1】综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【变式2—2】如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． (1)连接，当时，求t的值； (2)当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； (3)直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)t的值为 (2)t的值为 (3)或 【分析】本题考查了几何动点问题，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得，分类讨论即可求解； （3）分类讨论，，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，即t的值为； （2）解：由题意得：为等边三角形； ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若，不成立， 若，不成立， 即当是等腿三角形时，t的值为； （3）解：由（2）知， 当，， 当，如下图： ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； ∵， ∴不可能为直角， 综上所述：或． 【题型三】等腰三角形的新定义 方法技巧 一、新定义理解策略 1. 关键词提取法 对于以"有两边之和等于第三边两倍的三角形"等新定义形式，需锁定核心数量关系： · 设三角形三边为a,b,c，新定义条件可转化为a+b=2c（需分类讨论哪条边为"第三边"） · 结合三角形三边关系验证：两边之和大于第三边→2c + c > a+b=2c→c>0恒成立，但需验证a+c>b和b+c>a 2. 图形转化技巧 将文字定义转化为符号语言： 若新定义"智慧等腰三角形"为"顶角等于底角两倍的等腰三角形"，则设底角为α，顶角为2α，建立方程： α+α+2α=180°→α=45°，顶角90°，即此类三角形必为等腰直角三角形 二、性质探究方法 1. 分类讨论思想 已知新定义等腰三角形"两边满足m²-n²=mn"（m>n>0）： · 情况1：腰长为m，底边长为n 则需满足2m>n（恒成立），m-n<n→m<2n · 情况2：腰长为n，底边长为m 需满足2n>m，结合m²-n²=mn→m=(1+√5)n/2≈1.618n<2n，两种情况均成立 2. 特殊值验证法 对"黄金等腰三角形"（腰与底之比为黄金比(√5-1)/2≈0.618）： 取腰长=2，底边长=2×0.618≈1.236，验证： 2+2>1.236，2+1.236>2，符合三角形定义； 顶角余弦值=/(2×2×2)≈0.809，顶角≈36°，印证黄金三角形性质 三、判定应用技巧 1. 方程思想建模 判定"3倍角等腰三角形"：设一个角为x，另两角为3x或x： · 若x+3x+3x=180°→x=180/7≈25.7° · 若x+x+3x=180°→x=36°，3x=108° · 排除3x+3x+x=180°（与第一种重复），共两种类型 2. 反证法排除干扰 证明"不存在既是直角三角形又是新定义'等边对3角'三角形"（等边所对角是另两角3倍）： 假设直角边为a,b，斜边c，若a=b则直角为90°，另两角45°，90°≠3×45°；若a≠b，设c对90°，则90°=3x→x=30°，第三角60°，三边比1:√3:2，不满足等腰条件，得证 四、综合题解题策略 1. 动态几何分析 在平面直角坐标系中，已知A(0,0),B(4,0)，求C点使△ABC为"等积等腰三角形"（面积等于腰长平方）： 设腰长为AB=4，则面积=16，高h=8，但AB=4，h最大为∞（C在y轴）； 设腰长为AC=BC，设C(2,y)，则AC²=4+y²，面积=2|y|，得4+y²=2|y|→y²-2|y|+4=0，判别式<0，无解，故仅AB为腰时成立 2. 构造辅助线法 新定义"折叠等腰三角形"：将矩形ABCD沿EF折叠使B与D重合，若AB=3,AD=5，判定△DEF形状： 设DE=BE=x，AE=5-x，3²+(5-x)²=x²→x=3.4，DF=BF=√=3.4，故DE=DF，△DEF为等腰三角形 【例3】【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【变式3—1】（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，． ①若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； ②若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，．求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，求证： 【答案】（1）①3；②是；（2）（3）①见解析；②见解析 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）①先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． ②作，交的延长线于点，作于点，根据新定义，推出，证明，得到，进而得到． 【详解】解：（1）①∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，与是偏等积三角形，此时； 故当时，与是偏等积三角形； 故答案为：3； ②∵点是上一点，且， 又∵， ∴， 即：为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴不全等， ∴与是偏等积三角形； 故答案为：是； （2）如图2，过C作交的延长线于E，    与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长为偶数， ； （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3，    ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． ②作，交的延长线于点，作于点， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3—2】我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线． (1)如图1，分别为的高线和角平分线，若为的倍角高线． ①根据定义可得 ， （填写图中某个角）； ②若，求证：为等腰三角形． (2)如图2，在钝角中，为钝角，，若分别为的高线和角平分线，倍角高线交直线于点E，若，，求线段的长． (3)在中，若，倍角高线交直线于点E，当为等腰三角形，且时，求线段的长． 【答案】(1)①，；②见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）①根据“三角形的倍角高线”的概念可得出，再根据角平分线的定义可得出，从而得出；②欲证明为等腰三角形，只需推出即可； （2）过点E作交的延长线于点G，易得，从而可证，．设，则，再根据勾股定理可求出，．由题意，可求出x的值，进而可求的长； （3）分类讨论：情况一：当时，情况二：当时和情况三：当时，根据倍角高线的定义，勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①∵为的倍角高线． ∴． ∵分别为的角平分线， ∴， ∴，即． 故答案为：，； ②∵， ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：如图，过点E作交的延长线于点G， 由（1）同理易得． ∵，为的高线， ∴， ∴． ∵，即， ∴． 设，则， ∴，． ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分类情况讨论，情况一：当时， ∵为三角形的倍角高线， ∴作，如图， ∴可得， ∴． ∵，，， ∴； 情况二：当时， 作，过C作的垂线交的延长线于点F，如图， ∵为的倍角高线， ∴， ∴， ∴． 则可设， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 情况三：当时， 作，于点F，如图， ∵为的倍角高线， ∴， ∴， ∴可设． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上可知，线段的长为或或． 【点睛】本题考查角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识．注意题中辅助线的作法是解题的难点．另外解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解． 学科网（北京）股份有限公1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（5知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】三角形中的线段和角 1.三角形的有关概念 · 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 · 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如边BC可表示为a或BC。 · 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，三角形有三个顶点，用大写字母表示，如顶点A、B、C。 2.三角形的分类 · 按角分类： · 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形叫做锐角三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角（即90°）的三角形叫做直角三角形，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两边叫做直角边。直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（即大于90°且小于180°）的三角形叫做钝角三角形。 · 按边分类： · 不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 · 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形。 3.三角形中的重要线段 · 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。 · 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形。 · 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 4.三角形的三边关系 · 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。 · 三角形三边关系推论：三角形任意两边之差小于第三边。 · 作用：判断三条线段能否组成三角形，只需判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可；已知三角形两边长，可确定第三边长的取值范围（两边之差＜第三边＜两边之和）。 【清单02】全等三角形 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2.全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。书写全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中A和D、B和E、C和F是对应顶点。 3.全等三角形的性质 · 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。 · 对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。 · 对应边上的中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等。 · 对应边上的高相等：全等三角形对应边上的高长度相等。 · 对应角的平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度相等。 · 周长相等：全等三角形的周长相等。 · 面积相等：全等三角形的面积相等。 【清单03】全等三角形的判定 1.判定定理 · “边边边”（SSS）判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 · “边角边”（SAS）判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 · 注意：这里的角必须是两边的夹角，若为两边和其中一边的对角对应相等，则两个三角形不一定全等（SSA不能判定全等）。 · “角边角”（ASA）判定定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 · “角角边”（AAS）判定定理：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 · “斜边、直角边”（HL）判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 · 注意：HL定理只适用于直角三角形，不适用于一般三角形。 2.判定思路 · 已知两边对应相等：①找夹角（SAS）；②找第三边（SSS）；③若为直角三角形，可考虑斜边和直角边（HL）。 · 已知两角对应相等：①找夹边（ASA）；②找其中一角的对边（AAS）。 · 已知一边一角对应相等：①若为边和其夹角，找另一边（SAS）；②若为边和其对角，找另一角（AAS或ASA）。 3.全等三角形判定的注意事项 · 判定两个三角形全等，必须有三组元素（边或角）对应相等，且其中至少有一组是边。 · 利用“SAS”时，角必须是已知两边的夹角，不能是其中一边的对角。 · “HL”定理是直角三角形特有的判定方法，对于一般三角形不适用。 · 在书写证明过程时，要注意对应顶点、对应边、对应角的正确表述，确保逻辑清晰。 【清单04】线段垂直平分线与角平分线 1.线段垂直平分线 · 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 · 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 · 几何语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB。 · 性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 · 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形外部。 2.角平分线 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 · 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 · 几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。 · 性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 · 几何语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）。 · 三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三条边的距离相等。三角形的内心一定在三角形的内部。 3.尺规作图（相关） · 作线段的垂直平分线： 1. 分别以线段AB的两个端点A、B为圆心，以大于AB一半的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； 2. 作直线CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线。 · 作角的平分线： 1. 以角的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，交角的两边于A、B两点； 2. 分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径作弧，两弧在角的内部交于点P； 3. 作射线OP，射线OP即为这个角的平分线。 【清单05】等腰三角形 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 2.等腰三角形的性质 · 等边对等角：等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。 · 几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。 · 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 · 几何语言：在△ABC中， · ∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD； · ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC； · ∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴AD平分∠BAC，BD=CD。 · 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 · 两腰上的中线相等：等腰三角形两腰上的中线长度相等。 · 两腰上的高相等：等腰三角形两腰上的高长度相等。 · 两底角的平分线相等：等腰三角形两底角的平分线长度相等。 3.等腰三角形的判定定理 · 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 · 几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。 · 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 4.等边三角形 · 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 · 性质： · 等边三角形的三条边都相等。 · 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 · 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边的垂直平分线（或三条角平分线）所在的直线。 · 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，且“三线合一”性质在每条边上都成立。 · 判定： · 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 · 三个角都相等的三角形是等边三角形：∵在△ABC中，∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形。 · 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），∴△ABC是等边三角形。 5.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 · 几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB。 【题型一】等腰三角形度数与长度 【例1】等腰三角形的两边长是2和5，周长为（   ） A．9 B．12 C．10 D．9或12 【变式1-1】已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（） A． B．或或 C．或 D．或或 【变式1-2】等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 【题型二】证明的依据 【例2】如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【变式2-2】如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是 ． 【题型三】最值问题 【例3】如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【变式3-1】如图，在中，，，，点是直角边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，随点位置的改变，线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3-2】如图，在中，，点E为边上的定点，，，，，点P，F分别为线段上的动点，则的最小值是 ． 【题型四】全等三角形的性质与判定 【例4】如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了四块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 【变式4-1】如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为 ． 【变式4-2】如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型五】垂直平分线的定理与逆定理 【例5】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 【变式5-2】如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【题型六】角平分线的定理与逆定理 【例6】如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【变式6-2】如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 【题型七】等腰三角形的定理与逆定理 【例7】如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-1】如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为 ． 【变式7-2】如图，在中，，，点D，E在上，且，过点D作交的延长线于点F，连接 (1)若，求证：为等腰三角形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【题型八】斜中定律 【例8】如图，是四边形的对角线，，点为的中点，连接、、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【变式8-2】已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型九】尺规作图 【例9】如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【变式9-1】如图，在中，，是上一点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中的角平分线交于，过点作于，连接．若，求证：． 【变式9-2】（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【题型一】三角形的三边关系理解不透彻 【例1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，6， C．4，4，8 D．，， 【变式1-1】现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 【题型二】三角形的高、中线、角平分线的性质混淆 【例2】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【变式2-1】如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，分别是的中线和高，，则的长是 ． 【题型三】利用三角形全等判定定理的条件不充分 【例3】下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以为 （写出一个即可）． 【题型一】无刻度尺作图 方法技巧 无刻度尺作图依赖图形本身的几何性质（如全等、中点、平行、对称等），通过作辅助线构造特殊图形（如全等三角形、中位线、角平分线等），实现“以形量形”，无需测量具体长度。 1. 所有作图步骤需基于已学几何性质，不可凭直观“目测”； 2. 辅助线用虚线表示，保留作图痕迹（如交点、中点标记）； 3. 复杂作图可分解为基础作图（如作中点），分步完成。 【例1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的两个端点均在格点上． (1)请在图1中找一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形； (2)请在图2中找一个格点D，使得是以为底的等腰三角形，这个三角形的面积为 ； (3)在图2中仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 【变式1—1】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两个画图任务（每个画图任务的画线不得超过三条）． (1)如图1，先画的中线，再画射线，交于点，使； (2)如图2，是上的格点，先画射线，交于点，使，再在上画点，连接，使． 【变式1—2】如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图（1）中，在上作点E，使，作的重心O； (2)在图（2）中，点D为格点，请在右边作格点F，使得，在上取一点M，使平分四边形的面积． 【题型二】全等与等腰三角形的动点求t 方法技巧 一、动态几何问题的核心分析步骤 1. 运动要素提取 · 明确动点起始位置、运动方向、速度（v），用含t的代数式表示运动路程（s=vt） · 确定t的取值范围：根据线段长度、图形边界计算临界时间点，划分运动阶段 2. 几何关系转化 · 用t表示关键线段长度：设动点运动时间为t秒，将图形中所有动态线段用含t的表达式表示（如AP=2t，CQ=5-t等） · 标注静态线段长度：固定不变的线段直接标注已知长度，形成"动态+静态"的线段关系网 二、全等三角形存在性问题的解题策略 1. 分类讨论的三大依据 · 对应顶点顺序：根据题目中"△ABC≌△DEF"的顶点对应关系，分情况讨论（如△ABP≌△CDQ与△ABP≌△QDC需分开讨论） · 边的对应关系：当对应顶点不确定时，按"SSS"判定定理分三种情况列方程： ① AB=CD，BP=DQ，AP=CQ ② AB=DQ，BP=CQ，AP=CD ③ AB=CQ，BP=CD，AP=DQ · 运动阶段划分：当动点在不同线段上运动时，线段表达式发生变化，需按临界时间分段讨论 2. 方程建立与求解规范 · 列出等量关系：根据全等三角形对应边相等，建立含t的方程（如：当AP=CQ时，2t=10-3t） · 求解验证：解出t值后需验证： ① t是否在当前运动阶段的取值范围内 ② 求出的线段长度是否为正数 ③ 对应角是否满足全等判定条件（如SAS需验证夹角相等） 三、等腰三角形存在性问题的分类突破 1. "两圆一线"分类法 · 作圆法：以已知线段为腰时，分别以两端点为圆心，线段长为半径作圆，圆与动点轨迹的交点即为满足条件的位置 · 中垂线法：以已知线段为底边时，作线段的垂直平分线，与动点轨迹的交点即为顶点位置 2. 代数化计算流程 · 设元表示三边长：设动点运动时间为t，用含t的代数式表示等腰三角形的三条边（如：在△ABC中，AB=2t，BC=5-t，AC=√[(3-t)²+4]） · 分类列方程： ① AB=AC：(2t)²=(3-t)²+4² ② AB=BC：2t=5-t ③ AC=BC：√[(3-t)²+4²]=5-t · 解后三验证： ① 三边能否构成三角形（任意两边之和大于第三边） ② t值是否在有效取值范围内 ③ 是否符合图形的几何特征（如钝角三角形中钝角对边最长） 【例2】如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 【变式2—1】综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【变式2—2】如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． (1)连接，当时，求t的值； (2)当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； (3)直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 【题型三】等腰三角形的新定义 方法技巧 一、新定义理解策略 1. 关键词提取法 对于以"有两边之和等于第三边两倍的三角形"等新定义形式，需锁定核心数量关系： · 设三角形三边为a,b,c，新定义条件可转化为a+b=2c（需分类讨论哪条边为"第三边"） · 结合三角形三边关系验证：两边之和大于第三边→2c + c > a+b=2c→c>0恒成立，但需验证a+c>b和b+c>a 2. 图形转化技巧 将文字定义转化为符号语言： 若新定义"智慧等腰三角形"为"顶角等于底角两倍的等腰三角形"，则设底角为α，顶角为2α，建立方程： α+α+2α=180°→α=45°，顶角90°，即此类三角形必为等腰直角三角形 二、性质探究方法 1. 分类讨论思想 已知新定义等腰三角形"两边满足m²-n²=mn"（m>n>0）： · 情况1：腰长为m，底边长为n 则需满足2m>n（恒成立），m-n<n→m<2n · 情况2：腰长为n，底边长为m 需满足2n>m，结合m²-n²=mn→m=(1+√5)n/2≈1.618n<2n，两种情况均成立 2. 特殊值验证法 对"黄金等腰三角形"（腰与底之比为黄金比(√5-1)/2≈0.618）： 取腰长=2，底边长=2×0.618≈1.236，验证： 2+2>1.236，2+1.236>2，符合三角形定义； 顶角余弦值=/(2×2×2)≈0.809，顶角≈36°，印证黄金三角形性质 三、判定应用技巧 1. 方程思想建模 判定"3倍角等腰三角形"：设一个角为x，另两角为3x或x： · 若x+3x+3x=180°→x=180/7≈25.7° · 若x+x+3x=180°→x=36°，3x=108° · 排除3x+3x+x=180°（与第一种重复），共两种类型 2. 反证法排除干扰 证明"不存在既是直角三角形又是新定义'等边对3角'三角形"（等边所对角是另两角3倍）： 假设直角边为a,b，斜边c，若a=b则直角为90°，另两角45°，90°≠3×45°；若a≠b，设c对90°，则90°=3x→x=30°，第三角60°，三边比1:√3:2，不满足等腰条件，得证 四、综合题解题策略 1. 动态几何分析 在平面直角坐标系中，已知A(0,0),B(4,0)，求C点使△ABC为"等积等腰三角形"（面积等于腰长平方）： 设腰长为AB=4，则面积=16，高h=8，但AB=4，h最大为∞（C在y轴）； 设腰长为AC=BC，设C(2,y)，则AC²=4+y²，面积=2|y|，得4+y²=2|y|→y²-2|y|+4=0，判别式<0，无解，故仅AB为腰时成立 2. 构造辅助线法 新定义"折叠等腰三角形"：将矩形ABCD沿EF折叠使B与D重合，若AB=3,AD=5，判定△DEF形状： 设DE=BE=x，AE=5-x，3²+(5-x)²=x²→x=3.4，DF=BF=√=3.4，故DE=DF，△DEF为等腰三角形 【例3】【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【变式3—1】（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，． ①若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； ②若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，．求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，求证： 【变式3—2】我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线． (1)如图1，分别为的高线和角平分线，若为的倍角高线． ①根据定义可得 ， （填写图中某个角）； ②若，求证：为等腰三角形． (2)如图2，在钝角中，为钝角，，若分别为的高线和角平分线，倍角高线交直线于点E，若，，求线段的长． (3)在中，若，倍角高线交直线于点E，当为等腰三角形，且时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $