九年级数学上学期期末模拟卷02（青岛版九年级第1章～第6章）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟试卷02 考试时间：120分钟 试题满分：120分 检测范围：九年级第1章-第6章 班级： 姓名： 学号： 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．关于二次函数  ，下列说法正确的是（  ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时， 随的增大而减小 2．如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 3．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 5．如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 7．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在中，于，于，且，已知，那么等于（   ） A． B． C．5 D． 9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 10．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合，点E为x轴上一点，连接，F为的中点，反比例函数的图象经过A，F两点，若平分，的面积为6，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 12．2025年河南省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 14．如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 15．如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.8*3+10*2+9+11*2 16．（本题8分）（1）解方程：； （2）计算：． 17．（本题8分）如图，在中，，点O是上一点． (1)尺规作图：作，使与都相切；（不写作法与证明，保留作图痕迹） (2)若与相切于点D，与的另一个交点为点E，连接，求证：． 18．（本题8分）在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 19．（本题10分）悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 20．（本题10分）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 21．（本题9分）年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 22．（本题11分）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 23．（本题11分）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟试卷02 考试时间：120分钟 试题满分：120分 检测范围：九年级第1章-第6章 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．关于二次函数  ，下列说法正确的是（  ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时， 随的增大而减小 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 根据二次函数顶点式性质逐项分析即可． 【规范解答】解：∵关于二次函数，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 2．如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据正弦函数解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长， 故脚尖与脚后跟的高度差为， 故选：C． 3．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【规范解答】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 4．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【思路引导】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【规范解答】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 5．如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数比例系数的几何意义． 作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值． 【规范解答】解：作轴于D，如图， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． 故选：C． 6．如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【思路引导】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【规范解答】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 【考点剖析】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 7．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的几何解法，将方程变形为两数乘积等于常数的形式，构造大正方形，使其面积等于四个矩形面积与中间小正方形的面积之和，据此分析各选项即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 故选：C． 8．如图所示，在中，于，于，且，已知，那么等于（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了解直角三角形，根据正切的定义可得，则，解直角三角形可得的长，则可得到的长，再解直角三角形即可求出的长． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【规范解答】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 10．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合，点E为x轴上一点，连接，F为的中点，反比例函数的图象经过A，F两点，若平分，的面积为6，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】如图，连接，，过点A作于N，过点F作于M．证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接，，过点A作于N，过点F作于M． ∴，又为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵A，F在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【考点剖析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【思路引导】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【规范解答】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 12．2025年河南省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可． 【规范解答】解：列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种， 所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 【答案】/0.5 【思路引导】先利用因式分解法解方程可得到，，得出四边形为矩形，则，根据勾股定理求出，则，由折叠得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【规范解答】解： 得，． ， ，， 连接， ，， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形， ，， ， ∴， 由翻折，使点落在上的点D处， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【考点剖析】本题考查了折叠的性质，解一元二次方程，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形，理解坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 14．如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．理解这个知识点后，可以构造出这个矩形，求出这个矩形的面积就可知的值，再根据图像所在象限即可求出k．过P点作轴于E，轴于F，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【规范解答】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图像的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 15．如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是 ． 【答案】 【思路引导】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，从而得到，再结合切线的性质得到，从而得到，解直角三角形即可求出；连接，然后结合平行线的性质得到，从而得到，即可求解． 【规范解答】解：∵是的直径，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等，证明是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.8*3+10*2+9+11*2 16．（本题8分）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的解法，特殊角的函数值的计算，掌握以上知识是解题的关键． （1）把方程化为，利用因式分解法解方程即可得到答案； （2）先计算特殊角的三角函数值，再合并即可得到答案． 【规范解答】解：（1） ， ，； （2）原式 ． 17．（本题8分）如图，在中，，点O是上一点． (1)尺规作图：作，使与都相切；（不写作法与证明，保留作图痕迹） (2)若与相切于点D，与的另一个交点为点E，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了用尺规作一个角的平分线和圆，切线的性质、圆周角定理、三角形相似的判定和性质，根据题意正确画出图形是解题的关键． （ 1）作出的角平分线，与边相交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即为所求； （ 2）根据题意，画出图形，根据切线的定义可得，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，进而得出，即可求证． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接． ∵与相切于点D， ∴，即， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 18．（本题8分）在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是； 故答案为：． （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种， ∴混合后的溶液变红色的概率为． 19．（本题10分）悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【思路引导】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键． （1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式； （2）结合（1），当时，求出x的值即可得解． （3）依据题意，由桥长70米，每两根悬吊钢缆间的距离是 (米)，再结合（1），当时求出y的值即可； 【规范解答】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 20．（本题10分）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【思路引导】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【规范解答】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 21．（本题9分）年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低元 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出方程求解是解题的关键． （1）本题需计算月平均增长率，属于增长率问题，可用一元二次方程求解； （2）本题需建立利润方程，考虑降价后的售价、销量及利润关系，求解降价金额并选择符合题意的解． 【规范解答】（1）解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． （2）解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 22．（本题11分）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)存在，或 【思路引导】本题考查了二次函数的综合应用． （1）利用抛物线经过的点以及对称轴的信息，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点P的坐标，进而表示出与的长度，得到关于点P横坐标的函数表达式，根据二次函数的性质求出最大值； （3）分点Q在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点Q的坐标． 【规范解答】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为：， ∴， 解得 ∴直线表达式为：， 设， 则由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为4，此时． （3）解：①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时使得， ∵， ∴ ∵， 同上可求直线得解析式为， 联立，解得：或， ∴； ②当Q点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则点E与点Q重合， ∴， 综上所述：或． 23．（本题11分）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【思路引导】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得，． 即的半径为． 【考点剖析】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $