九年级数学上学期期末模拟卷01（青岛版九年级第1章～第6章）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟试卷01 考试时间：120分钟 试题满分：120分 检测范围：九年级第1章-第6章 班级： 姓名： 学号： 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 3．将函数的图像，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的图像相应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 4．古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A． B． C． D． 5．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从中任意摸出1个球后不放回，小刚再从中任意摸出一个球，则两人摸出的球都为红球的概率为（  ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，，是的对角线上两点，，连接、并延长分别交、于点，点，连接，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论错误是（　　） A． B． C．当时，的值随值的增大而减小 D．若方程没有实数根，则 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 12．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ． 13．关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则 ． 15．如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.8*3+10*2+9+11*2 16．（本题8分） （2） （1）计算： （2）解方程： 17．（本题8分）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 18．（本题8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 19．（本题10分）如图，反比例函数图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____； (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值． 20．（本题10分）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 21．（本题9分）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求直线的长． 22．（本题11分）如图，在正方形中，对角线与相交于点，是边上的一个动点，连接，交于点． (1)如图1，当时，求的值． (2)如图2，当平分时，过点作，垂足为，连接．求证：四边形是菱形． (3)如图3，当是的中点时，过点作，垂足为，求的值． 23．（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟试卷01 考试时间：120分钟 试题满分：120分 检测范围：九年级第1章-第6章 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 2．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【规范解答】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 3．将函数的图像，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的图像相应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解决问题的关键．根据二次函数图像平移时解析式的确定方法“左加右减，上加下减”解答即可． 【规范解答】解：∵原函数为 ， 先向右平移3个单位： ， 再向上平移2个单位： ， ∴所得函数表达式为 ， 故选：C． 4．古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹竿的长为x尺，则由题意得，门宽为尺，门高为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【规范解答】解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． ∴可列方程为：． 故选：B． 5．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了反比例函数性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，假设点B的坐标，先表示出点C的坐标，再利用几何性质表示出点A的坐标，利用反比例函数定义求解即可． 【规范解答】解：过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，如图： 设 是等腰直角三角形 轴 ，点C的纵坐标为 四边形是矩形 ，， 点G的横坐标为 点A是反比例函数的图象上一点 解得或（舍去） ． 故选：A． 6．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从中任意摸出1个球后不放回，小刚再从中任意摸出一个球，则两人摸出的球都为红球的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法求概率的步骤是解题的关键． 通过列表法列出小明和小刚摸球的所有可能结果，再找出两人都摸出红球的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【规范解答】解：设个红球分别为红、红、红，蓝球为蓝．列表如下： 小明小刚 红 红 红 蓝 红 - （红，红） （红，红） （红，蓝） 红 （红，红） - （红，红） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） - （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） - 共有种等可能的结果，其中两人摸出的球都为红球的结果有种． 所以两人都摸出红球的概率． 故选：D． 7．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键． 首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：连接，如图所示， 是直径， ，即， 为的中线， 是等腰三角形， ， ， ， 半径为2， ， 故选：B． 8．如图，，是的对角线上两点，，连接、并延长分别交、于点，点，连接，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用平行四边形的性质得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质得到，，等高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，代入计算结论可求． 【规范解答】解：∵， ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，，． 设， ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积之比为． 故选：D． 9．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中图形旋转的坐标计算，核心是利用旋转性质、等腰三角形判定及直角三角形三角函数求解对应点坐标．通过旋转性质转化条件，利用等腰三角形简化计算，再借助直角三角形三角函数求线段长度，最终确定坐标．旋转后，，由， 得(等角对等边) ，过点作轴的垂线，垂足为，构造，利用求得，同理可得，，所以(的纵坐标)，(到y轴的距离，即横坐标的绝对值)，即可解答． 【规范解答】由旋转可知，，， 过点作轴的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：C． 10．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论错误是（　　） A． B． C．当时，的值随值的增大而减小 D．若方程没有实数根，则 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等．解题的关键在于二次函数知识的熟练掌握与灵活运用． 根据抛物线的对称轴为，且抛物线的开口向下，据此即可判断C选项；根据抛物线与轴的交点，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得出当时，，据此即可判断B选项；根据抛物线的顶点坐标，结合抛物线的开口方向，得出抛物线的最大值是，根据一元二次方程的根，可以看作是二次函数于直线的交点横坐标，据此即可判断D选项；根据抛物线的对称轴得出，推得，据此即可判断A选项错误． 【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为，且抛物线的开口向下， ∴当时，的值随值的增大而减小， ∴选项C说法正确； ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，且抛物线的对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴选项B说法正确； ∵抛物线的顶点为，且抛物线的开口向下， 故的最大值是， 当时，抛物线与直线没有交点， 即方程没有实数根， ∴选项D说法正确， ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴选项A说法错误． 故选：A． 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【规范解答】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】解：设“立春”用A表示，“立夏”用B表示，“秋分”用C表示，“大寒”用D表示，画树状图如下： 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是=． 13．关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴ 故答案为：． 15．如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【规范解答】解：过点M作于H，作于F ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 如图，    由上知：，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.8*3+10*2+9+11*2 16．（本题8分）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）1；（2） 【思路引导】（1）先将特殊角的三角函数值代入，再进行实数运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了特殊值三角函数的运算，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练记忆特殊角的三角函数值是解决此题的关键． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2）因式分解，得 或 解得． 17．（本题8分）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 18．（本题8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】(1)，2 (2) 【思路引导】本题考查了求频率，求概率． （1）根据表格作答即可； （2）列出树状图求概率即可． 【规范解答】（1）解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，由此估出红球有2个． 故答案为：，2； （2）解：将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种， 则P（1个白球，1个红球）； 所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为． 19．（本题10分）如图，反比例函数图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____； (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值． 【答案】(1)三， (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象和性质得出即可； （2）求出B、C的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数图象的一支位于第一象限， ∴该函数图象的另一支在第三象限，且， ∴k的取值范围是； 故答案为：三，； （2）解：设点A的坐标为， ∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称， ∴，，点B的坐标是，点C的坐标是， ∴，． ∵的面积为6， ∴． ∴． ∴． ∵点A在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴． 解得． 20．（本题10分）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【思路引导】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． 【规范解答】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 21．（本题9分）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求直线的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形内角和、等腰三角形、勾股定理的应用等知识，熟练运用相关定理进行推理和计算是解题的关键． (1)连接，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得，，再由即可得到结论； (2)由可得，再由求得，从而求出，再通过勾股定理解答即可． 【规范解答】（1）证明：连接， 为车轮的直径，与车轮相切于点， ，， ， ， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，, 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 22．（本题11分）如图，在正方形中，对角线与相交于点，是边上的一个动点，连接，交于点． (1)如图1，当时，求的值． (2)如图2，当平分时，过点作，垂足为，连接．求证：四边形是菱形． (3)如图3，当是的中点时，过点作，垂足为，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，理解正方形的性质是关键． （1）由四边形是正方形，得到，，再证明，最后由相似三角形的性质求解即可； （2）由平分得到，再证得，从而得出四边形是平行四边形，再证得，最后得到结论． （3）由及是的中点得出，从而可得，再证得，最后由相似三角形的性质可得结论． 【规范解答】（1）解：在正方形中，，， ， ． （2）证明：四边形是正方形， ，． 平分，，， ，，， ， ， ． ，， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （3）由（1）得， ， 是的中点，， ， ． ， ， ， ， ，即， ． 23．（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【思路引导】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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