第八单元 垂线与平行线（13种类型65道）期末专项训练-2025-2026学年四年级上册数学（苏教版）

第八单元 垂线与平行线 （13种类型65道） 目录 题型一：线段、直线、射线的认识及特征 1 题型二：数图形（线段、直线、射线） 3 题型三：角的概念及表示方式 5 题型四：数图形（数角） 7 题型五：角的度量 10 题型六：平角、周角的认识及特征 12 题型七：用量角器画角 15 题型八：用三角尺画角 17 题型九：角度的计算 19 题型十：垂直的特征和性质 21 题型十一：画垂线 23 题型十二：平行的特征和性质 26 题型十三：画平行线 28 题型一：线段、直线、射线的认识及特征 1．笑笑在一张纸上任意画了6条直线，她画出的这6条直线最多能有( )个交点。 2．下图中有( )条线段，( )条射线。 3．下面图中有 ( )条线段。 4．请在直线下面画△，在射线下面画○，在线段下面画□。      （    ）     （    ）     （    ）         （    ）      （    ）     （    ） 5．经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画( )条直线，经过5个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 题型二：数图形（线段、直线、射线） 6．下图中共有( )条线段。 7．下图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 8．( )条线段。 9．下图中有( )条线段。 10．如图所示，两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，四条直线两两相交最多有6个交点……那么28条直线两两相交最多有 个交点。 题型三：角的概念及表示方式 11．一个角是50°用放大2倍的放大镜来观察是（    ）。 A．50° B．100° C．不能确定 12．一张圆片剪去一刀后有（    ）个角。 A．0 B．1 C．2 13．如下图，，是( )。 14．射线有( )个端点，( )有两个端点，直线有( )个端点，角是从一点引出两条( )线所组成的图形。 15．角的大小与所画的边的长短( )，与( )有关。 题型四：数图形（数角） 16．数一数。 图中一共有( )个角。 17．图中，一共含有（    ）个角。 A．4 B．10 C．8 D．11 18．如图，有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 19．在中，一共有（    ）个角。 A．6 B．10 C．3 20．下面的图形中分别有多少个角？ ( )个  ( )个    ( )个 题型五：角的度量 21．小马虎用量角器测量一个角时，错把外圈刻度当成内圈刻度来读，度数为70°，正确的度数应该是( )°。 22．下面左图中，∠1是( )°；右图中，直线a与直线b互相( )，图中共有( )个直角，已知∠2是64°，∠3是( )°。 23．下面图①中，量角器测量的∠1＝( )°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝( )°。 24． (1)图中共有( )个角。 (2)图中最大角的度数是最小角的( )倍。 25．如图，小云用量角器量三角形一个角的度数，她量的角是( )度。 题型六：平角、周角的认识及特征 26．将一张圆形纸片连续对折两次，折成的角是( )角；钟面上2时整时，分针与时针构成的较小角是( )°。 27．10时整，钟面上时针和分针组成的角是( )角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是( )角。 28．如图：则∠1＝( )°﹐∠3＝( )°。 29．写出下面角的度数。 ( )°                     ( )°                 ( )° 30．将长方形的一角折叠起来（如图），∠1＝( )°。 题型七：用量角器画角 31．根据所给射线画出相应度数的角。 75°       120° 32．画出下列各角。 （1）130°            （2）55° 33．以A为顶点，射线为一边，用量角器画。 34．用量角器画出下面各角。 45°            100°             150° 35．如图的量角器上，以点O为顶点画一个75°的角。 题型八：用三角尺画角 36．画出一个比平角小30°的角，再利用三角尺将这个角分成一个直角和一个锐角，并标出锐角的度数。 37．数学课上，老师要求画出下面各角，小明只用一副三角尺就巧妙地完成了任务。你能画出来吗？试一试。 30°   75°   120° 38．用一副三角尺画一个135°的角。（以点A为顶点） A． 39．用一副三角尺，分别画出15°、105°和120°的角。 40．用一副三角尺画出15°、150°的角，简要说出你的操作步骤。 题型九：角度的计算 41．在如图所示的三角形中，已知∠1＋∠2＝100°，∠1＋∠3＝125°，求∠1的度数。 42．如下图，∠1＝∠3。( ) 说理： 。 43．如下图，已知∠1＋∠2＝130°，∠4＝105°，∠1、∠2、∠3各多少度？ 44．如图，已知，求的度数。 45．如图，将两个长方形叠放在一起，已知∠3＝63°，求∠1和∠2的度数。 题型十：垂直的特征和性质 46．下图中，与线段DE互相平行的是线段( )，与线段DC互相垂直的有线段( )和线段( )。 47．下面的5个字母：F、M、A、L、Y中，有互相平行线段的字母是( )，有互相垂直线段的字母是( )。 48．如图，从张丽家出发有3条小路通往公路，它们的长度分别是158米、207米和112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 49．一条直的公路上有三条小路通往养鸡场，它们的长度分别是l45米、224米、102米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 50．从小明家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是258米、309米、188米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 题型十一：画垂线 51．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”是唐代诗人李颀的名句，描写的是将军到河边饮马的场景。如果将军在A点的位置，请你画出将军到小河边最短的路线。 52．请画出小方家到小青家最近的路，请画出小青家到公路最近的路，请画出通过小超家与公路平行的路。 53．A、B两个工厂都要修一条与公路连接的小路，应该怎样修才能使小路最短？请你画出来。 54．请你帮助王叔叔从B点到小路设计一条最短的路，并在图中画出来。 55．某小区要从自来水主管道上接一根支管引水到A处，怎样才能最节省材料？ 题型十二：平行的特征和性质 56．下面有四条直线a、b、c、d，其中( )和( )互相垂直，( )和( )互相平行。 57．两条平行线间的距离是5厘米，如果在这组平行线之间画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米。 58．下图中，直线a和直线b( )（填“互相平行”或“相交”），∠2＝( )°。 59．在同一平面内，如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线互相( )；如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相( )。 60．如图梯形中有a、b、c、d、e，5条线段，线段( )和线段( )互相垂直；线段( )和线段( )互相平行。 题型十三：画平行线 61．按要求画图： （1）画出射线AB、线段AC、直线BC。 （2）过点A画出直线BC的平行线。 （3）过点A画出直线BC的垂线。 62．过A点作直线CD的垂线和平行线。 63．经过点A画已知直线的平行线和垂线。 64．（1）以A为顶点，已知射线为一条边，画一个120°的角。 （2）过点P作一条直线与已知射线平行。 65．请经过点A画出直线的垂线，再经过点B画出直线的平行线。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 垂线与平行线 （13种类型65道） 目录 题型一：线段、直线、射线的认识及特征 1 题型二：数图形（线段、直线、射线） 3 题型三：角的概念及表示方式 5 题型四：数图形（数角） 7 题型五：角的度量 10 题型六：平角、周角的认识及特征 12 题型七：用量角器画角 15 题型八：用三角尺画角 17 题型九：角度的计算 19 题型十：垂直的特征和性质 21 题型十一：画垂线 23 题型十二：平行的特征和性质 26 题型十三：画平行线 28 题型一：线段、直线、射线的认识及特征 1．笑笑在一张纸上任意画了6条直线，她画出的这6条直线最多能有( )个交点。 【答案】15 【分析】直线相交符合一个规律：将直线数量n减去1得n－1，再依次加上n－2、n－3……直到1，就是最多的交点数。例如：4条直线相交，4－1＝3，3＋2＋1＝6，最多会有6个交点。 【详解】笑笑画了6条直线，6－1＝5，因此5＋4＋3＋2＋1＝15。 因此最多会有15个交点。 2．下图中有( )条线段，( )条射线。 【答案】 1 4 【分析】线段：直线上任意两点之间的一段叫做线段；射线：把线段的一端无限延长，得到一条射线；据此解答。 【详解】根据分析：观察发现两点之间的一段为线段，那么图中有1条线段；从1个点左右延伸有2条射线，图中有2个点，也就是有射线：2×2＝4（条），有4条射线。 3．下面图中有 ( )条线段。 【答案】12 【分析】线段的定义：线段是指两端都有端点，不可延伸，线段是不可以是弯曲的。据此数出图中线段的条数即可。 【详解】将图中端点按照下图添加端点标识，根据线段定义可知，其中的线段有AB、BC、AC、AD、AG、AF、CD、DE、DG、EF、EG、FG，共12条。 所以图中有12条线段。 4．请在直线下面画△，在射线下面画○，在线段下面画□。      （    ）     （    ）     （    ）         （    ）      （    ）     （    ） 【答案】   【分析】直线：能够向两端无限延伸的线。射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点。线段：直线上两点和中间的部分叫做线段，这两个点叫线段的端点。 【详解】直线、射线、线段都是直直的，所以第一、第三、第六都不符合，第二个是线段有两个端点中间是直直的；第四个是直线两端无限延伸而且是直直的；第五个是射线只有一个端点而且是直直的。 【点睛】解决这题关键在于对直线、射线、线段概念的掌握。 5．经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画( )条直线，经过5个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 【答案】 6 10 【分析】经过2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画1＋2＝3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画1＋2＋3＝6条直线，经过5个点中的每两个点最多可以画1＋2＋3＋4＝10条直线，据此即可解答。 【详解】1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6（条） 1＋2＋3＋4 ＝3＋7 ＝10（条） 经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线，经过5个点中的每两个点最多可以画10条直线。 【点睛】本题主要考查学生对直线的认识，找出直线条数与点数的关系是解答本题的关键。 题型二：数图形（线段、直线、射线） 6．下图中共有( )条线段。 【答案】10 【分析】根据题图可知，图中基本线段有4条；由两条基本线段组成的线段有3条；由三条基本线段组成的线段有2条；由四条基本线段组成的线段有1条；合起来一共有10条。据此解答。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（条） 即，图中共有10条线段。 7．下图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 1 6 3 【分析】直线没有端点，可向两端无限延伸；射线有一个端点，可向一端无限延伸；线段有两个端点，不可延伸。据此解答。 【详解】直线是可以向两端无限延伸的，图中这样的直线只有1条； 图中有3个点，每个点可以向左右两个方向各形成1条射线，所以射线的数量为2×3＝6（条）； 线段是由两个端点确定的，以第一个点为左端点，有2条这样的线段；以第二个点为左端点，有1条这样的线段；一共有2＋1＝3（条）线段。 所以图中有1条直线，6条射线，3条线段。 8．( )条线段。 【答案】10 【分析】线段有两个端点，中间是直直的线，长度可测量，由此数出线段的数量即可。 【详解】 10条线段。 9．下图中有( )条线段。 【答案】3 【分析】线段是一条直直的线，有限长，有两个端点，可以测量。 如图：单条的线段有2条，由两条单条的线段组成的线段有1条，再用加法求出线段的总数量即可。 【详解】1＋2＝3（条） 所以下图中有3条线段。 10．如图所示，两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，四条直线两两相交最多有6个交点……那么28条直线两两相交最多有 个交点。 【答案】378 【分析】通过观察可知，两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有（1＋2）个交点，四条直线两两相交最多有（1＋2＋3）个交点，……以此类推，据此推算出28条直线两两相交最多有多少个交点。 【详解】1＝1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 1＋2＋3＋4＝10 … 1＋2＋3＋4＋…＋27 ＝（1＋27）×27÷2 ＝28×27÷2 ＝378（个） 28条直线两两相交最多有378个交点。 【点睛】找到直线的数量和交点数量之间的规律是解答本题的关键。 题型三：角的概念及表示方式 11．一个角是50°用放大2倍的放大镜来观察是（    ）。 A．50° B．100° C．不能确定 【答案】A 【分析】角的大小由角两边张口大小决定，将这个角用放大2倍的放大镜来观察，角两边的张口大小不变，所以角的大小不变。 【详解】一个角是50°用放大2倍的放大镜来观察是50°。 故答案为：A 12．一张圆片剪去一刀后有（    ）个角。 A．0 B．1 C．2 【答案】A 【分析】圆周是曲线，所以一张圆片剪去一刀后，只有一条直线，一个角要有两条边，所以构不成角，有0个角，据此解答。 【详解】一张圆片剪去一刀后有0个角。 故选：A 【点睛】本题考查角的概念，掌握概念是解题的关键。 13．如下图，，是( )。 【答案】45 【分析】根据题意，180°－90°就是∠1＋∠2的度数，又知∠1＝∠2，由此可求出答案。 【详解】（180°－90°）÷2 ＝90°÷2 ＝45° 【点睛】本题考查的是角的计算，理解题中各角的关系是解题的关键。 14．射线有( )个端点，( )有两个端点，直线有( )个端点，角是从一点引出两条( )线所组成的图形。 【答案】 1 线段 0 射 【详解】 直线是直的，没有端点，无限长，可以向两端无限延长。如图：。射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。如图：。线段是直的，有2个端点，有限长。如图：。从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，用符号∠表示。如图： 。 射线有（1）个端点，（线段）有两个端点，直线有（0）端点，角是从一点引出两条（射）线所组成的图形。 15．角的大小与所画的边的长短( )，与( )有关。 【答案】 无关 夹角的开口大小 【分析】根据角的定义：从一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；角的大小与边的长短无关，只与夹角的开口大小有关，依此得出结论。 【详解】由分析可知，角的大小与所画的边的长短无关，与夹角的开口大小有关： 【点睛】此题主要考查了角的定义。 题型四：数图形（数角） 16．数一数。 图中一共有( )个角。 【答案】6 【详解】根据题意，单个的小角有3个，由两个小角组成的角有2个，由三个小角组成的角有1个，共有3＋2＋1＝6（个）角。以此答题即可。 【分析】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 图中一共有6个角。 17．图中，一共含有（    ）个角。 A．4 B．10 C．8 D．11 【答案】B 【分析】单独的角有4个，由两个角组成的角3个，由三个角组成的角2个，由四个角组成的角1个，把这些角的个数相加就是一共有多少个角。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（个） 一共有10个角。 故答案为：B 18．如图，有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 2 4 3 【分析】给图中各角标上序号。如下图： 通过观察图可知：直角共有2个；锐角有∠1、∠2、∠5、∠6，共有4个；钝角有∠3、∠4、∠5与∠6合起来的角、共3个。 【详解】如图，有（2）个直角，（4）个锐角，（3）个钝角。 19．在中，一共有（    ）个角。 A．6 B．10 C．3 【答案】A 【分析】给出的图形中，有3个角，每两个相邻的角可以组成一个更大的角，三个角可以组成一个更大的角，数一数即可。 【详解】根据分析如图： 1、2、3是3个角，1和2，2和3可以组成2个角，123可以组成1个角，，所以一共有6个角。 故答案为：A 20．下面的图形中分别有多少个角？ ( )个  ( )个    ( )个 【答案】 6 15 21 【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。根据角的个数＝射线条数×（射线条数－1）÷2，算出图形中分别有多少个角，据此解答。 【详解】左边的图：4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（个） 中间的图：6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（个） 右边的图：7×（7－1）÷2 ＝7×6÷2 ＝42÷2 ＝21（个） 题型五：角的度量 21．小马虎用量角器测量一个角时，错把外圈刻度当成内圈刻度来读，度数为70°，正确的度数应该是( )°。 【答案】110 【分析】通过观察，量角器上外圈刻度和内圈刻度的和是180°，所以，用180°减70°，则得到正确的度数。据此解答。 【详解】180°－70°＝110° 所以，正确的度数应该是110°。 22．下面左图中，∠1是( )°；右图中，直线a与直线b互相( )，图中共有( )个直角，已知∠2是64°，∠3是( )°。 【答案】 85 垂直 4 116 【分析】通过量角器的读数，量角器的一端是145°，另一端是60°，用145°－60°可得出∠1的度数； 如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直； 利用平角＝180°，可求出∠3的度数，即180°－∠2。 【详解】145°－60°＝85° 180°－∠2＝180°－64°＝116° ∠1是85°，右图中，直线a与直线b互相垂直，图中共有4个直角，已知∠2是64°，∠3是116°。 23．下面图①中，量角器测量的∠1＝( )°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝( )°。 【答案】 80 75 【分析】根据图示，从量角器外圈（内圈）分别读出两个数，然后再进行相减，图中量角器测量的∠1＝120°－40°＝80°；一副三角尺度数是：90°、45°、30°、60°，图中用一副三角尺拼成的∠2＝30°＋45°＝75°；据此解答即可。 【详解】120°－40°＝80° 30°＋45°＝75° 下面图①中，量角器测量的∠1＝80°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝75°。 24． (1)图中共有( )个角。 (2)图中最大角的度数是最小角的( )倍。 【答案】(1)6 (2)6 【分析】（1）观察上图可知，单个的角有3个，由两个角组成的角有2个，由3个角组成的角有1个，所以共有3＋2＋1＝6（个）角； （2）图中最大角是平角，等于180°，最小角等于30°，180°除以30°即等于最大角的度数是最小角的倍数。 【详解】（1）根据分析可知，图中共有6个角。 （2）180°÷30°＝6 图中最大角的度数是最小角的6倍。 25．如图，小云用量角器量三角形一个角的度数，她量的角是( )度。 【答案】110 【分析】角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。如果角的起始边不是与0刻度线重合，角的度数为两条边所对的刻度之差。起始边对应的刻度是40度，终边对应的刻度是150度，用150度减40度即等于所量的角的度数。 【详解】150－40＝110（度） 小云用量角器量三角形一个角的度数，她量的角是110度。 题型六：平角、周角的认识及特征 26．将一张圆形纸片连续对折两次，折成的角是( )角；钟面上2时整时，分针与时针构成的较小角是( )°。 【答案】 直 60 【分析】圆形的中心点是一个周角，周角等于360°，连续对折两次，则平均分成4个角，用360°÷4即可求出折成的角是多少度，据此判断是什么角即可；根据对钟面的了解，平均分为12大格，每大格的夹角是30°，2时整时，时针指向2，分针指向12，相差两大格，用2×30°即可求出构成的较小角是多少度。 【详解】 如图： 360°÷4＝90° 30°×2＝60° 将一张圆形纸片连续对折两次，折成的角是直角；钟面上2时整时，分针与时针构成的较小角是60°。 27．10时整，钟面上时针和分针组成的角是( )角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是( )角。 【答案】 锐 平 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；10时整，时针指向10，分针指向12，相差2个大格，夹角为30°×2＝60°，大于0°小于90°的角是锐角；6时整，时针指向6，分针指向12，时针和分针相差6个大格，夹角为30°×6＝180°，180°的角是平角。 【详解】360°÷12＝30° 30°×2＝60° 30°×6＝180° 10时整，钟面上时针和分针组成的角是锐角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是平角。 28．如图：则∠1＝( )°﹐∠3＝( )°。 【答案】 45 135 【分析】直角为90°，平角为180°，观察图可以发现，∠1、45°和一个直角组成一个平角，用180°依次减去90°和45°，即可求出∠1，∠3和45°组成平角，用180°减去45°，即可求出∠3，据此解答即可。 【详解】∠1： 180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° ∠3： 180°－45°＝135° 所以∠1＝45°﹐∠3＝135°。 29．写出下面角的度数。 ( )°                     ( )°                 ( )° 【答案】 105 150 135 【分析】一副三角尺中有两个三角尺，一个是30°，60°，90°；另一个是45°，45°，90°，根据图的拼法计算角的度数。 第一个是45°和60°拼成的； 第二个是平角180°减30°； 第三个是正方形的直角90°与正方形对折后形成45°角拼成的角。 【详解】45°＋60°＝105° 180°－30°＝150° 90°＋45°＝135° 30．将长方形的一角折叠起来（如图），∠1＝( )°。 【答案】120 【分析】 如图所示，∠2＝30°，平角180°，∠1和∠2和30°的角构成一个平角，∠1＝180°－30°－∠2，据此解题。 【详解】180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 将长方形的一角折叠起来（如图），∠1＝120°。 题型七：用量角器画角 31．根据所给射线画出相应度数的角。 75°       120° 【答案】见详解 【分析】把量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器75°、120°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 【详解】根据分析： 32．画出下列各角。 （1）130°            （2）55° 【答案】（1）、（2）画法见详解 【分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器130°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出130°的角。同理画出55°的角。 【详解】如图： 33．以A为顶点，射线为一边，用量角器画。 【答案】见详解 【分析】使量角器的中心和射线的端点A重合，零刻度线和射线重合；在量角器120°角刻度线的地方点一个点；以射线的端点A为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可画成一个120°的角。 【详解】根据分析画角如下： 34．用量角器画出下面各角。 45°            100°             150° 【答案】见详解 【分析】利用量角器画角：画角的顶点和一条边；将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角；据此作图。 【详解】 35．如图的量角器上，以点O为顶点画一个75°的角。 【答案】见详解 【分析】根据用量角器画角的方法，先从点O引出一条射线作为角的一条边，再把量角器的中心点与点O重合，0°刻度线与这条射线重合，再从0°刻度起数到75°刻度处点上一点，连接点O与这一点作射线，标上角的符号和度数。据此画角。 【详解】根据分析画角如下： 题型八：用三角尺画角 36．画出一个比平角小30°的角，再利用三角尺将这个角分成一个直角和一个锐角，并标出锐角的度数。 【答案】见详解 【分析】一个平角是180°，因此用180°减去30°即为画的角的度数；画角时先画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器上找到对应度数的地方点一个点，以画出射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是要画的角；用直角三角尺的直角与画的角的顶点重合，一条直角边与这个角的一条边重合，沿着另一条直角边画线即可；一个直角是90°，把这个角分成一共90°的角和另一个角即可，然后用画的角的度数减去90°就是锐角的度数。 【详解】180°－30°＝150° 150°－90°＝60° 如图所示： 37．数学课上，老师要求画出下面各角，小明只用一副三角尺就巧妙地完成了任务。你能画出来吗？试一试。 30°   75°   120° 【答案】见详解 【分析】一副三角尺分为直角三角尺和等腰直角三角尺。直角三角尺的角的度数分别是30°、60°、90°，等腰直角三角尺的度数是45°、90°、45°，把它们进行组合可得到：90°－60°＝30°， 45°＋30°＝75°，30°＋90°＝120°，据此画出各角即可。 【详解】 38．用一副三角尺画一个135°的角。（以点A为顶点） A． 【答案】图见详解 【分析】一副三角尺的上面的角的度数分别是30°、60°、90°和90°、45°、45°。用45°和90°可以拼出135°的角。先可以沿着三角尺45°角的两条边画出一个角，然后用三角尺90°的角和45°角的一边重合， 沿着90°的角的另一边画线，最后标上度数即可。 【详解】具体画法如下所示： 39．用一副三角尺，分别画出15°、105°和120°的角。 【答案】见详解 【分析】因一副三角尺中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，把它们利用和差关系可得到的角有45°－30°＝15°，45°＋60°＝105°，90°＋30°＝120°，据此作图即可。 【详解】据分析作图如下： 45°－30°＝15° 45°＋60°＝105° 90°＋30°＝120°             （画法不唯一） 40．用一副三角尺画出15°、150°的角，简要说出你的操作步骤。 【答案】见详解 【分析】15°＝45°－30°，则用三角尺的45°角和30°角组合在一起，就能拼出15°角；150°＝90°＋60°，则用三角尺的90°角和60°角组合在一起，就能拼出150°角；据此作图即可。 【详解】作图如下： 用三角尺的90°角和60°角组合在一起             用三角尺的45°角和30°角组合在一起 题型九：角度的计算 41．在如图所示的三角形中，已知∠1＋∠2＝100°，∠1＋∠3＝125°，求∠1的度数。 【答案】45° 【分析】结合所学知识，三角形的内角和是180°，并且∠1＋∠2＝100°，∠1＋∠3＝125°，据此用180°－（∠1＋∠2）求出∠3的度数，再根据∠1＋∠3＝125°求出∠1的度数。 【详解】∠3＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－100°＝80° ∠1＋∠3＝125°，即∠1＋80°＝125°，∠1＝125°－80°＝45° 答：∠1的度数是45°。 42．如下图，∠1＝∠3。( ) 说理： 。 【答案】 √ 见详解 【分析】∠1与∠2组成平角是180°，∠3与∠2组成平角是180°，那么∠1与∠3都是180°减去∠2，结果相等，所以∠1＝∠3是正确的。 【详解】如图：∠1＝180°－∠2；∠3＝180°－∠2，所以∠1＝∠3是正确的。 即∠1＝∠3。（√） 说理：∠1＝∠3＝180°－∠2。 43．如下图，已知∠1＋∠2＝130°，∠4＝105°，∠1、∠2、∠3各多少度？ 【答案】∠3＝125°；∠2＝55°；∠1＝75° 【分析】由题意得，∠1、∠2、∠3和∠4组成了一个周角。∠1＋∠2＝130°，∠4＝105°，直接用360°减去∠1、∠2和∠4的度数即可算出∠3的度数。∠1和∠4组成了一个平角，直接用180°减去∠4的度数算出∠1的度数；∠1＋∠2＝130°，直接用130°减去∠1的度数即可算出∠2的度数。 【详解】∠3＝360°－130°－105°＝230°－105°＝125°。 ∠1＝180°－∠4＝180°－105°＝75° ∠2＝130°－∠1＝130°－75°＝55° 答：∠3＝125°，∠2＝55°，∠1＝75°。 44．如图，已知，求的度数。 【答案】∠2＝42°、∠3＝138°、∠4＝42°、∠5＝90° 【分析】观察发现∠1与∠2组成一个直角，所以∠1＋∠2＝90°，由此计算出∠2的度数；∠2与∠3组成一个平角，所以∠2＋∠3＝180°，由此计算出∠3的度数；∠3与∠4组成一个平角，所以∠3＋∠4＝180°，由此计算出∠3的度数；∠5是直角，所以∠5＝90°。 【详解】∠2＝90°－48°＝42° ∠3＝180°－42°＝138° ∠4＝180°－138°＝42° ∠5＝90° 45．如图，将两个长方形叠放在一起，已知∠3＝63°，求∠1和∠2的度数。 【答案】∠1＝63°；∠2＝27° 【分析】根据图中可知，∠2和∠3组成一个直角，直角等于90°，用90°减去∠3的度数，即可求得∠2的度数；∠1和∠2组成一个直角，用90°减去∠2的度数，即可求得∠1的度数。 【详解】∠2＝90°－∠3＝90°－63°＝27° ∠1＝90°－∠2＝90°－27°＝63° 答：∠1＝63°，∠2＝27°。 题型十：垂直的特征和性质 46．下图中，与线段DE互相平行的是线段( )，与线段DC互相垂直的有线段( )和线段( )。 【答案】 AB AD BC 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【详解】根据解析可知，与线段DE互相平行的是线段AB，与线段DC互相垂直的有线段AD和线段BC。 47．下面的5个字母：F、M、A、L、Y中，有互相平行线段的字母是( )，有互相垂直线段的字母是( )。 【答案】 F、M F、L 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。在同一个平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 【详解】F、M、A、L、Y中，有互相平行线段的字母是F、M，有互相垂直线段的字母是F、L。 【点睛】本题主要考查学生对垂直和平行定义及特征的掌握。 48．如图，从张丽家出发有3条小路通往公路，它们的长度分别是158米、207米和112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 【答案】112 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此可知，比较3条小路的长度大小，最短的那条小路与公路垂直。 【详解】112米＜158米＜207米 那么这条小路的长度是112米。 【点睛】本题考查垂直的特征，关键是明确垂线段最短。 49．一条直的公路上有三条小路通往养鸡场，它们的长度分别是l45米、224米、102米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 【答案】102 【分析】连接点到直线的线段中，垂线段最短，比较这三条小路的长短，最短的那条小路与公路是垂直的。 【详解】102＜145＜224 所以，102米长的小路与公路垂直。 一条直的公路上有三条小路通往养鸡场，它们的长度分别是l45米、224米、102米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是102米。 【点睛】此题主要考查垂线段最短的性质。 50．从小明家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是258米、309米、188米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 【答案】188 【分析】直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，与公路是垂直的小路最短，258米、309米、188米中，188米最少，那么与公路是垂直的这条小路的长度是188米。 【点睛】本题主要考查学生对垂线的特征和性质的掌握及灵活运用。 题型十一：画垂线 51．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”是唐代诗人李颀的名句，描写的是将军到河边饮马的场景。如果将军在A点的位置，请你画出将军到小河边最短的路线。 【答案】图见详解 【分析】根据点到直线的垂直线段最短，用三角尺画垂线的步骤是（1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合；（2）沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合； （3）从直角的顶点起，沿着另一条直角边画出的一条直线，就是已知直线的垂线（直角顶点是垂足）。即可解答。 【详解】画图如下： 52．请画出小方家到小青家最近的路，请画出小青家到公路最近的路，请画出通过小超家与公路平行的路。 【答案】见详解 【分析】连接两家之间的线段就是两家之间的最短距离；从小青家作到公路的垂直线段就是小青家到公路最近的路，过小超家作公路的平行线。 垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线。 平行线的画法： 首先让直角板的一条边和已知直线重合，让直角板的一条边和直尺的一条边完全重合，这是两个重合。 然后紧贴着直角板平移三角板。在平移的过程当中要注意三角板要和直角和直尺的边始终重合在一起。 当不断向上平移刚才和已知直线重合的那条边通过点小超家的时候，这就是要画的平行线，可以稍微的延长一点。 【详解】如图： 53．A、B两个工厂都要修一条与公路连接的小路，应该怎样修才能使小路最短？请你画出来。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，所以从A、B两个工厂作公路的垂线段，沿垂线段修小路长度最短。 【详解】如图所示： 54．请你帮助王叔叔从B点到小路设计一条最短的路，并在图中画出来。 【答案】图见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】 55．某小区要从自来水主管道上接一根支管引水到A处，怎样才能最节省材料？ 【答案】见详解 【分析】把主管道看成一条直线，点到直线最短的距离就是垂线，过点A作直线的垂线即可。 【详解】如图： 【点睛】作图时用直角三角板，先把直角三角板一条直角边与直线重合，再沿着直线移动三角板，直到点A出现在另一条直角边的边缘处为止，垂线画完后标上垂足。 题型十二：平行的特征和性质 56．下面有四条直线a、b、c、d，其中( )和( )互相垂直，( )和( )互相平行。 【答案】 a c b d 【分析】 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，a和c互相垂直；像这样不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线，b和d互相平行。 【详解】下面有四条直线a、b、c、d，其中a和c互相垂直，b和d互相平行。 57．两条平行线间的距离是5厘米，如果在这组平行线之间画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】25 【分析】根据题意可知，在这组平行线之间画的最大的正方形的边长为5厘米，正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【详解】5×5＝25（平方厘米） 所以这个正方形的面积是25平方厘米。 【点睛】本题考查了正方形面积的计算以及平行线的特点。 58．下图中，直线a和直线b( )（填“互相平行”或“相交”），∠2＝( )°。 【答案】 互相平行 75 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。因为直线a和直线b互相平行，所以∠1＝∠2，∠1和105°的角拼成了一个平角，用180°减去105°即是∠2度数。 【详解】180°－105°＝75° 下图中，直线a和直线b（互相平行）（填“互相平行”或“相交”），∠2＝（75）°。 【点睛】熟练掌握平行线的定义和角的分类知识是解题关键。 59．在同一平面内，如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线互相( )；如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相( )。 【答案】 平行 平行 【详解】在同一平面内，如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行；如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行。 60．如图梯形中有a、b、c、d、e，5条线段，线段( )和线段( )互相垂直；线段( )和线段( )互相平行。 【答案】 c e b d 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此解答即可。 【详解】如图梯形中有a、b、c、d、e，5条线段，线段c和线段e互相垂直；线段b和线段d互相平行。 【点睛】明确平行和垂直的性质，是解答此题的关键。 题型十三：画平行线 61．按要求画图： （1）画出射线AB、线段AC、直线BC。 （2）过点A画出直线BC的平行线。 （3）过点A画出直线BC的垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长，不可度量；直线无端点，无限长，不可度量，画图即可。 （2）过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3、平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。 这条直线就是已知直线的平行线。 （3）过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。 这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 62．过A点作直线CD的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】 63．经过点A画已知直线的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1） 把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可； （2） 把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可。 【详解】依据过直线外一点作直线的平行线和垂线的方法，作图如下： 64．（1）以A为顶点，已知射线为一条边，画一个120°的角。 （2）过点P作一条直线与已知射线平行。 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）把量角器的中心点与点A重合，量角器的零刻度线与这条射线重合，找到120°对应的位置，画出角的另一边。 （2）把直角三角尺一条直角边与这条射线重合，再把直尺紧靠三角尺的另一条直角边，使得点P在直角三角尺的另一条直角边上，固定三角尺，将直尺与三角尺的这条直角边靠紧，移动直尺，过点P沿着直尺画直线，即为所求平行线。 【详解】（1）（2）如图： 65．请经过点A画出直线的垂线，再经过点B画出直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】经过点A画出直线的垂线，经过点B画出直线的平行线如下图： 【点睛】熟练掌握用直尺和三角板作垂线和作平行线的方法是本题解答的关键。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $