第六章对概率的进一步认识单元练习2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

第六章对概率的进一步认识 一、单选题 1．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（　　） A．150 B．100 C．50 D．200 2．某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（　　） A．380粒 B．400粒 C．420粒 D．500粒 3．圆周率π是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（　　） A． B． C． D． 4．某厂生产的2000件产品中，有不合格产品m件，今分10次各抽取50件产品进行检测，平均有不合格产品1件，对的叙述正确的是 （ ） A． B． C．的值应在40左右 D．无法确定 5．2024年“甲骨文杯”安阳马拉松赛于4月21日开赛，共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑项目．现从这三个项目中随机选择两项进行推广，则选到欢乐跑项目的概率是（    ） A． B． C． D． 6．小明5分钟内共投篮60次，共进球15个，则小明进球的频率是（     ） A．0.25 B．60 C．0.26 D．15 7．某校食堂每天中午为学生提供A、两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（　） A． B． C． D． 8．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是，，．从每组牌中各随机摸出一张，这为一次试验．小明做了次试验后发现和为的情况出现了次，据此估计牌面数字的和是的概率是 （精确到）． 10．为防疫情，社区采取以一楼道为单位组织进行核酸检测．小明，小红所住楼道共30人，为加快检测进度，每10人一组，随机分成三组，小明和小红分到同一组检测的概率是 ． 11．有两枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，同时投掷两枚骰子，它们点数之和大于5的概率是 ． 12．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为 ． 13．经过某十字路口的汽车，可能直行，可能向左转，可能向右转，如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有2辆车向左转的概率为 ． 三、解答题 14．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有白球________个： (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，可以怎样调整白球或黑球的个数？请给出合理的方案. 15．某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数如表： 每盒中混入的节能灯数 0 1 2 3 4 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件为：该盒中没有混入的节能灯，求事件的概率． 16．某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图． 请根据图中信息，解决下列问题： （1）两个班共有女生多少人？ （2）将频数分布直方图补充完整； （3）求扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数； （4）身高在的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率． 17．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 18．如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字，，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． (1)转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； (2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 19．某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可． 【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右， ∴捕捞到草鱼的概率约为0.5， 设有草鱼x条，根据题意得： ＝0.5， 解得：x＝150， 故选：A． 【点睛】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量． 2．D 【分析】用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得． 【详解】解：估计这袋黄豆约有25÷＝500（粒）， 故选：D． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 3．A 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果， ． 故选：A． 4．C 【详解】试题分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，利用频率公式求出题中各问情况的频率．大量试验下，频率近似等于概率． 2000÷50=40 则的值应在40左右 故选C. 考点：根据频率估计概率 点评：此类问题知识点独立，在中考中不太常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大. 5．B 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，通过列举找出共有的选择数量，然后再选出选到欢乐跑项目的数量，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：从这三个项目中随机选择两项进行推广，则有①全程马拉松、半程马拉松；②全程马拉松，欢乐跑项目；③半程马拉松，欢乐跑项目一共3种选择， 其中选到欢乐跑项目有2种选项， 故选到欢乐跑项目的概率是： 故选：B． 6．A 【详解】解：∵小东5分钟内共投篮60次，共进球15个， ∴小东进球的频率是： 故选：A. 7．A 【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】根据题意画图如下： 所有等可能的情况有4种，其中甲乙两人选择同款套餐的有2种， 则甲乙两人选择同款套餐的概率为：； 故选：A． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．A 【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率 【详解】列表如下： 红 红 红 绿 绿 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，绿） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴， 故选：A. 9． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式等知识点，掌握概率的计算方法及相关知识是解题的关键． 根据题意结合概率的计算方法进行解答即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 10． 【分析】画树状图，共有9个等可能的结果数，其中小明和小红被分到同一组的结果数为3个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有9个等可能的结果数，其中小明和小红被分到同一组的结果数为3个， ∴小明和小红被分到同一组的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11． 【分析】用列表法列举出所有的可能性，根据概率公式即可得出所有符合“点数之和大于5”的概率． 【详解】解：由题意得：同时投掷两枚骰子，两次点数之和所有可能的结果如下： 共36种结果，符合“点数之和大于5”的共26种， ∴点数之和不大于5的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比，熟悉概率公式是解题的关键． 12． 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率． 【详解】解：由题意可知： 当个位数字为3时，则十位数字为2，百位数字为1；此时有1种情况； 当个位数字为4时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，所以有种情况； 当个位数字为5时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，所以有种情况； 当个位数字为6时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，当十位数字为5时，百位数字可以为1、2、3和4，所以有种情况； 由此可知：个位数字为7时，有种情况；个位数字为8时，有种情况；个位数字为9时，有种情况； ∴三位递增数共有个，其中被5整除的三位递增数个位数字一定为5，由上可知共有个， ∴随机抽取的三位递增数不被5整除的概率为； 故答案为． 13． 【分析】运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．. 【详解】解：如图：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，    所以概率为：． 故答案为． 【点睛】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 14．(1)0.6 (2)20 (3)再添加10个相同的白球（答案不唯一） 【分析】（1）观察表格即可得到答案； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数，再求出白球的个数即可； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数约为个， 则估计袋子中有白球个， 故答案为：20； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，即再添加10个相同的白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，掌握这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 15．（1）1；（2） 【分析】（1）根据图表，直接用混入的的节能灯的个数除以50，求平均数即可； （2）已知没有混入的节能灯的盒数为14,14除以50即为事件A的概率． 【详解】解：（1）， 答：平均每盒混入的节能灯的个数为1； （2）已知没有混入的节能灯的盒数为14， 则， 答：事件的概率为． 【点睛】本题考查平均数以及概率的求解，属于基础题，掌握平均数以及概率的求解方法是解决本题的关键． 16．（1）50；（2）详见解析；（3）；（4） 【分析】（1）根据D的人数除以所占的百分比即可的总人数; （2）根据C的百分比乘以总人数，可得C的人数，再根据总人数减去A、B、C、D、F，便可计算的E的人数，分别在直方图上表示即可. （3）根据直方图上E的人数比总人数即可求得的E百分比，再计算出圆心角即可. （4）画树状图统计总数和来自同一班级的情况，再计算概率即可. 【详解】解：（1）总人数为人， 答：两个班共有女生50人； （2）C部分对应的人数为人，部分所对应的人数为； 频数分布直方图补充如下： （3）扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为； （4）画树状图： 共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种， 所以这两人来自同一班级的概率是． 【点睛】本题是一道数据统计的综合性题目，难度不大，这类题目，往往容易得分，应当熟练的掌握. 17．这个游戏对甲乙双方公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，分别求出甲获胜与乙获胜的概率，比较大小即可．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：这个游戏对甲乙双方公平，理由如下： 标有数字1的扇形的圆心角为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角均为；标有数字3，5的扇形的圆心角均为， 指针指向奇数的有：，指针指向偶数的有：， 甲获胜乙获胜， 这个游戏对甲、乙双方公平． 18．(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及记录的两数字之和为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种， ∴转盘甲指针指向负数的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 8 4 5 4 13 7 1 6 15 由表可得共有9种等可能的结果，其中记录的两个数字之和为正数的结果有6种， ∴． 19．(1)， (2)    【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $