23.2 中心对称&23.3 课题学习图案设计 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 宁夏专版）

23.2中心对称 23.2.1中心对称 知识梳理 ①概念：把一个图形绕着某一点旋转 ,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这个点 或 ,这个点叫做 (简称中心).这两 个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. ②性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心所 ·中心对称的两个图形是 图形 ③画一个图形关于某个点的中心对称图形的步骤：(1)确定关键点；(2)确定对称点；(3)连 线成图、 当堂练习 1.如图，将叶片图案旋转180°后，得到的图形是 辽 叶片图案 B 2.如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是 A.BO=B'O B.∠ACB=∠C'A'B C.△ABC≌△A'B'C D.点C在CO的延长线上 (第2题图) (第3题图) 3.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2AB,与 △OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称.如 此下去，则△B2oA21B21的顶点A21的坐标是 4.在如图所示的方格中作出四边形关于点O的中心对称图形. ·24· 23.2.2中心对称图形 知识梳理 ①把一个图形绕着某一点旋转 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形 ,那 么这个图形叫做 ,这个点就是它的 ②如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形的整体就是中心对称图形；反 过来，如果将一个中心对称图形沿过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个 图形中心对称 ③中心对称图形的对称中心平分对称点的连线，所以经过对称中心的任意一条直线将此 图形的面积两等分 当堂练习 1.下面四个交通标志中，是中心对称图形的是 A B 2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是 B 3.观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 (1) (2) (3) (4) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.在“线段、平行四边形、圆、等边三角形”中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 5.如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC,过点A作AF∥BE, 交DE的延长线于点F.试问：∠B与∠F相等吗？为什么？ ·25· 23.2.3关于原点对称的点的坐标 知识梳理 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为 当堂练习 1.在平面直角坐标系中，已知点A(一4,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为( A.(-4,-3) B.(4,3) C.(4,-3) D.(-4,3) 2.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心 对称的图形.若点A的坐标是(1,3)，则点M和点N的坐标分别是 A.M(1,-3),N(-1,-3) B.M(-1,-3),N(-1,3) C.M(-1,-3),N(1,-3) D.M(-1,3),N(1,-3) 3.将点P(一2,3)向右平移3个单位长度得到点P,点P2与点P1关于原点对称，则点P2 的坐标是 A.(-5,-3) B.(1,-3) C.(-1,-3) D.(5,-3) 4.若点(a,1)与（一2，b)关于原点对称，则a的值为 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,4),B(0,3), C(2,1). (1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A,B,C1,并写出点C1的坐标； (2)画出将A1B1C绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1. 654-3-21-1O 1213456 ·26· 23.3课题学习 图案设计 当堂练习 1.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至 少为 ( A.30° B.90 C.120° D.180° (第1题图) (第2题图) 2.如图，△A'B'C是由△ABC经过平移得到的，△A'BC'还可以看作是△ABC经过怎样 的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次 轴对称.其中，所有正确结论的序号是 ( ) A.①④ B.②③ C.②④ D.③④ 3.如图，由图案(1)到图案(2)再到图案(3)的变化过程中，不可能用到的图形变换是( ) (1 (3) A.轴对称 B.旋转 C.中心对称 D.平移 4.下图所设计的图案中，既可以利用轴对称变换又可以利用旋转变换得到的是 B 5.左边的图案是由右边五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是 ② ③ ④ ⑤ A.①⑤ B.②④ C.③⑤ D.②⑤ ·27…“21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 0 一pg②二次项系数不为0△≥0 当堂练习 1.B2.B3.434.-15.解：(1)由题意，得△>0，即(-6)2-4(2a十5)>0，解得 a<2:(2)由根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x=2a十5.：x十x-x1x2≤30，∴.(x +x,)2-3x≤30,36-3(2a+5)≤30，a≥-号.：a为整数，且a<2,…a的值 为-1,0,1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 当堂练习 1.B2.103.a(1十m)24.解：设应邀请x个球队参加比赛，根据题意，得号x(x 1)=28.整理，得x2-x一56=0.解得x1=8,x2=一7（不符合题意，舍去）.答：应邀请8 个球队参加比赛，5.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3).根据题 意，得[10(x十3)十x](10x十x十3)=1300.整理，得x2+3x-10=0.解得x1=-5(不 符合题意，舍去)，x2=2.∴.10(x十3)十x=10×(2十3)十2=52.答：这个两位数为52. 第2课时平均变化率与销售问题 当堂练习 1.C2.251003.解：设该超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x.根据题 意，得150(1十x)2=216.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该超 市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%.4.解：(1)设年销售量y与销售单 价x的函数关系式为y=kx十b(k≠0).将(35,550)，(40,500)分别代入y=kx+b,得 356士b二550解得二。10·故年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x 40k十b=500, b=900. 十900：(2)设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为(x一30)万元，销售数 量为（一10x十900）台.根据题意，得(x一30)（一10x十900）=8000.整理，得x2一120x 十3500=0.解得z=50,x2=70.此设备的销售单价不得高于60万元，∴x=50. 答：该设备的销售单价应是50万元. 第3课时几何图形问题 当堂练习 1,B2.(50+2x)(30十2x)=18003.解：设AB的长为xm,则BC的长为59-2x+ 1=(60-2x)m.根据题意，得x(60-2x)=400.整理，得x2-30x十200=0.解得x1= 10,x2=20.当x=10时，60-2x=40>36,不符合题意，舍去.当x=20时，60-2x=20 <36,符合题意.AD的长为20m.4.解：设横彩条的宽为2xcm,则竖彩条的宽为 3xcm.根据题意，得(20-2x)(30-3x)=(1-19%)×20×30.整理，得x2-20x十19= 0.解得x1=1,x2=19.当x=19时，2x=38>20,不符合题意，舍去.∴.x=1.答：横彩条 的宽为2cm,竖彩条的宽为3cm. 第二十二章 二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 知识梳理 y=ax2十bx十cx二次项系数一次项系数常数项 当堂练习 1.C2.C3.S=-2r+13x0<r<264y=x-14x+480<x<6 5.解：1)S=一立元+20，是二次函数：(2)S=w,是二次函数：(3)y=2,是二次函 数；(4)C=2πr,不是二次函数. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 知识梳理 ①上低下高小②<0>00>0 当堂练习 1.A2.-903.a>b>d>c4.85.解：(1)将P(1,m)代入y=2x-1,得m=2 ×1-1=1,.点P的坐标为(1,1).将P(1,1)代入y=ax2,得1=a×12,解得a=1.故 a=1,m=1;(2)二次函数的解析式为y=x2,当x>0时，y随x的增大而增大；(3)顶点 坐标为(0,0)，对称轴为y轴. 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 知识梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k 第43页（共48页） 当堂练习 1.D2.C3.B4.解：(1)y=-6x2+4;(2)在对称轴的右侧，即当x>0时，y随x的 增大而减小：(3)当x=0时，y有最大值，是4， 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 知识梳理 ①抛物线x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h左|h 当堂练习 1.A2.D3.下 x三 4.y2>y1>y35.-326.解：列表如下： 2 3 y … 描点、连线如图 y=(x1)2(1)当-2≤x≤-1时，y的取值范围是4≤y 42四21.6 ≤9：(2)当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 知识梳理 ①x=h(h,k)②形状位置h,k 当堂练习 1.A2.C3.A4.B5.D 22.1.4二次函数y=ax2+b.x+c的图象和性质 第1课时二次函数y=a.x2十bx十c的图象和性质 知识梳理 x=一2 b Aac-b （2a4a 当堂练习 1.C2.D3.74.y=2(x+2)2-3 x=-2(-2,-3)5.y=2x2+16.4 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识梳理 ②顶点 当堂练习 1A2.D3.y=-4x+2)+4或y=-4x-16x-12)4y=-10(-号）十4 (或y=一10r十10x+受)5解：设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)(x一3).把 C(0,-3)代入，得3a=-3,解得a=-1.故抛物线的函数解析式为y=-(x一1)(x 3),即y=一x2十4x一3=-（x一2)2十1，∴.顶点坐标为(2,1)，.可先将抛物线向左平 移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，此时抛物线的函数解析式为y=一x,其 顶点(0,0)落在直线y=一x上.（答案不唯一） 22.2二次函数与一元二次方程 知识梳理 ②无 两 当堂练习 1.B2.D3.4或-8或-24.(1)x1=-1,x2=2(2)x-1或x≥25.解：(1) :y=x2-4x十3a十2=(x-2)2十3a-2,其性质有：①开口向上；②有最小值3a-2; ③对称轴为直线x=2:(答案不唯一)(2)令x2-4x十3a十2=2x-1,整理为x2-6x 十3a十3=0..△=(-6)2-4×1×(3a十3)=24-12a>0,解得a<2.把x=4代入y =2x-1,得y=2×4-1=7.:二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1 的图象有两个交点，.当x=4时，二次函数的函数值大于或等于一次函数的函数值， 即16-16十3a+2≥1，解得a≥号.故a的取值范围为号≤a<2. 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积问题 当堂练习 1.C2.S=-x2十10x5253.338m24.解：根据题意，得y=20x(90-x),即y 第44页（共48页） =-20x2+1800x=-20(x-45)2+40500.:-20<0,∴.此抛物线的开口向下.：对 称轴为直线x=45,∴.当x=45时，y有最大值，y最大=40500.答：当底面的宽x为 45cm时，抽屉的体积最大，最大值为40500cm3. 第2课时二次函数与商品利润问题 当堂练习 1C2.1213解：1y=(-5(10-09×5)=-10x+210z-80:(2)令y= -10x2+210x-800=240,解得x1=8,x2=13.·-10<0,.抛物线的开口向下.y ≥240，当天销售单价所在的范围为8≤<13：(3)：号<80%“x<9,6≤< 9.由(1)，得y=-10x2十210x-800=-10(x-10.5)2+302.5.,-10<0,.此抛物 线的开口向下.：对称轴为直线x=10.5,∴.当6≤x≤9时，y随着x的增大而增大， .当x=9时，y取得最大值，此时y=-10×(9-10.5)2+302.5=280.答：每件文具的 售价为9元时，当天获得的利润最大，最大利润为280元. 第3课时抛物线形实际问题 当堂练习 1.B2.B354485y=-号(x十6)十46解：1)由题意，得点B的坐标为 0,0,点C的坐标为(3，号）把点B0,0,C(3,号)代入y=一言r+c+c,得 4=c, 1一 口×3十3十解得：该抛物线的函数解析式为y石牛2z十 6 “y=-石x+2+4=一后(x-6)+10,…拱顶D到地面0A的距离为10m:(2)由 题意，得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0).当x=2或x=10时，y= 车能安全通过；（③）由函数图象可知，当y=8时，两 1 小.当y=8时，6x+2x十4=8，整理，得x2-12x+24=0,解得=6+2√3，x= 6-2√3.∴.两排灯的水平距离最小是6十2√3-(6-2√3)=4√3(m). 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 知识梳理 ①旋转旋转中心旋转角②(1)相等(2)旋转角(3)全等 当堂练习 1.A2.B3.C4.70°5.2√5 第2课时旋转作图 当堂练习 1.C2.A3.(5,2)4.解：(1)如图，△ABC和线段AB1,BA即为所求； (2)易得四边形ABAB是菱形，SAB=子X6X4=12. 23.2中心对称 23.2.1中心对称 知识梳理 ①180°对称中心对称对称中心②对称中心平分全等 当堂练习 1.D2.B3.(41w3)4.解：如图. 23.2.2中心对称图形 知识梳理 ①180°重合中心对称图形对称中心 第45页（共48页） 当堂练习 1,A2.C3.C4.等边三角形5.解：∠B与∠F相等.理由如下：：将△ABC以点 C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC,∴∠B=∠DEC.:AF∥BE,∠F= ∠DEC,.∠B=∠F. 23.2.3关于原点对称的点的坐标 知识梳理 (-x,-y) 当堂练习 1.C2.C3.C4. 1 5.解：(1)如图，△ABC1即为所求，其中点C1的坐标为 (-2,-1): (2)如图，△A2B2C即为所求. 2-O123456 -5 -6 23.3 课题学习 图案设计 当堂练习 1.C2.D3.D4.D5.D 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 ②任意两点 直径目两点间的部分半圆优弧劣弧④等圆等弧 当堂练习 1.B2.B3.10°4.535.22 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 ①轴直线②平分平分垂直平分 当堂练习 1.B2.A3.过圆心的直线圆心4.65.解：过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD 于点F,连接OD,0B,则AE=BE=AB=×4=2,DF=CF=2CD=合X4=2。 在Rt△OBE中，由勾股定理，得OE=√OB-BE=√（√5）2-22=1.同理可得OF= 1.AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠EPF=∠PEO=∠OFP=90°，∴.四边形OEPF 为矩形，∴.OE=PF=1.在Rt△OFP中，由勾股定理，得OP=√OF十PF=√I+1 =√2 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理 ①圆心②相等相等 当堂练习 1.B2.A3.67.5°4.①②③④5.证明：DE∥AB,CO⊥AB,∴DE⊥C0.D 是CO的中点，.DE垂直平分CO,.CE=OE.又OE=OC,.OE=OC=CE, △COE是等边三角形，∴.∠COE=60°.，CO⊥AB,∴.∠COB=90°，.∠EOB=90° ∠COE=90°-60°=30°，∴∠C0E=2∠EOB,.EC=2BE 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 ①圆上相交②一半③相等④直角直径 当堂练习 1.C2.A3.B4.D5.0°<∠P0C<110°6.4 第2课时圆内接四边形 知识梳理 圆内接多边形外接圆互补 当堂练习 1.C2.B3.B4.D5.1609 第46页（共48页） 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识梳理 ①d>rd=rd<x②不在同一条直线上外接圆外接圆的圆心外心③假 设命题的结论不成立所作假设不正确原命题成立 当堂练习 1.C2.B3.在△ABC中，最多有一个锐角4.点P在⊙O内或⊙O上5.解：易得 OA=√OD十AD=√6+6=6V2,OB=√OD+BD=√6+8=10，OC= √OD+CD=√62十(53)2=√1I.又：OA<r,OB=r,OC>r,∴.点A在⊙0内， 点B在⊙O上，点C在⊙O外. 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 知识梳理 ①相交割线相切切线切点相离②d<rd=rd>r 当堂练习 A2.D3.2cm或8cm4,3<≤4或r=号5，解：过点0作0DLAB于点D 1 :∠A=90,∠C=60°，∠B=30.B0=x,.0D=2x令2x=2,得x=4.当0< x<4时，AB所在的直线与⊙O相交；当x=4时，AB所在的直线与⊙O相切；当x>4 时，AB所在的直线与⊙O相离. 第2课时切线的判定与性质 知识梳理 ①垂直于这条半径②过切点的半径 当堂练习 1.A2.A3.49°4.44°5.证明：AB是⊙O的直径，.∠ACB=∠ACD=90°. :点F是DE的中点，.CF=EF=DF,.∠AEO=∠FEC=∠FCE.:OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC..OD⊥AB,.∠OAC+∠AEO=90°，.∠OCA+∠FCE=90°，即 ∠OCF=90°，即OC⊥FC.OC是⊙O的半径，∴.CF是⊙O的切线. 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 知识梳理 ①相等平分②内切圆角平分线的交点 当堂练习 1.D2.D3.A4.219°5.解：(1)PA,PB切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E, .PA=PB=6,ED=BD,CE=AC,,.△PCD的周长为PD十DE十PC+CE= 2PA=12:(2)连接OE,OA,OB.PA,PB切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E, .∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°，∴.∠AOB+∠P=180°，∴.∠AOB=180 -∠P=180°-50°=130°.易得∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,.∠COD=∠EOC +∠B0D=号（∠A0E+∠EOB)=∠A0B=合X130=65. 24.3正多边形和圆 知识梳理 ①相等相等②中心半径中心角边心距 当堂练习 1.D2.B3.解：(1)108°(2)△AMN是正三角形.理由如下：连接ON,NF.由题意 可得FN=ON=OF,∴.△FON是等边三角形，.∠NFA=60°，∴∠NMA=60°，同理 可得∠ANM=60°，∴.∠MAN=60°，∴.△AMN是正三角形；(3)连接OD,OC.正五 边形ABCDE内接于⊙0，∠COD=360°=72，易得AF⊥CD,.∠DOF=36, 5 ∴.∠DON=∠FON-∠D0F=60°-36°=24°.360°÷24°=15，.n的值是15. 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 知识梳理 02R ②πR2nπR 360 9多R 当堂练习 1.B2.B3.π4.解：(1)：∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∴.∠COA OA=OB, =∠BOD.在△OCA和△ODB中，∠COA=∠DOB,..△OCA≌△ODB(SAS), OC=OD, ∴.AC=BD:(2)由(1)知△OCA≌△ODB,∴.SAOCA=S△oDB,.S阴影=S前形onB一Sm形0cD =90-R-90C=年(R-P). 360 360 第47页（共48页） 第2课时圆锥的侧面积和全面积 知识梳理 ①扇形半径弧长侧面积底面圆的面积 当堂练习 1.C2.A3.A4.D5.216°6.102 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 当堂练习 1.D2.B3.C4.D5.蓝 25.1.2概率 当堂练习 1.c2.C3.A4.号5.-6号7. 1 25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 当堂练习 1.A2.C3. 1 6 4.解：(1)③(2)根据题意，列表如下： 小明 A B C D 小涵 A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 由表可以看出，可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，其中小明和小 涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产的结果有4种，即(A,A),(A,B),(B, A),(B,B),所以P(小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产)=着 = 第2课时用树状图法求概率 当堂练习 1.A2.C3.B4. 6 5.解：我会选择转盘A.理由如下：根据题意，可以画出如下 的树状图：转盘A 9 由树状图可以看出，所有可能出现的结果 转盘B348348348 共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中转盘A上的数字大于转盘B上的数字的 结果有5种，转盘A上的数字小于转盘B上的数字的结果有4种，所以P(选转盘A 赢)=号，P(选转盘B赢)=告.因为号>号，所以我会选择转盘A6,解：1) (2)将4部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为A,B,C,D.根 据题意，可以画出如下的树状图：人 R由树状图可以看出，所有 BCDACDABDABC 可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中《九章算术》和 《孙子算经》的结果有2种，所以P(恰好选中《九章算术》和《孙子算经》)=2=6 21 7.解：(1)4 (2)根据题意，可以画出如下的树状图：小西 小幸态&在杰 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，其 中小西和小安抽到不同题目的结果有12种，所以P(小西和小安两名同学抽到不同题 123 目)=16=41 25.3用频率估计概率 当堂练习 1.D2.123.8004.解：(17(2)根据题意，得号×10%=40%，解得m=23. 第48页（共48页）