第02讲 中心对称（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第02讲 中心对称 课程标准 学习目标 ①中心对称的定义及其性质 ②中心对称作图 1. 掌握中心对称的定义与性质，能够根据定义熟练的找出对称中心，能够根据性质熟练的解决相关题目。 2. 掌握中心对称作图的步骤，并能够熟练的进行中心对称作图。 知识点01 中心对称的定义 1. 中心对称的定义： 如图，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的 。 即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A' ，B与B' ，C与C' 都是对称点， 中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2. 中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够 ；即 。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 ，并且被对称中心 。 即：。 ③中心对称的两个图形对应边 。 3. 对称中心的确定： 连接任意两组 得到两条线段，这两条线段的 就是对称中心。 【即学即练1】 1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【即学即练2】 如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【即学即练3】 如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　） A．OC＝OC′ B．OA＝OA′ C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′ 4．如图，△ABC和△AB'C'成中心对称，A为对称中心．若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，则CC'的长为 　 　． 【即学即练5】 5．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AB，CD上的点，且BE＝DF，已知矩形ABCD的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 　 　． 知识点02 中心对称作图 1. 中心对称作图的基本步骤： 步骤：①确定图形的 与 。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 。 得到 。 ③按照原图形连接各对称点。 【即学即练1】 6．如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称． 题型01 成中心对称的判定 【典例1】下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列两个电子数字成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】下列英语单词中，可以近似看成中心对称图形的是（　　） A．SOS B．CEO C．MBA D．SARS 题型02 确定中心对称的对称中心 【典例1】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【变式1】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　） A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点 【变式2】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【变式3】如图，△ABE与△DCF成中心对称则对称中心是（　　） A．M点 B．P点 C．Q点 D．N点 题型03 中心对称的性质的熟悉 【典例1】如图，△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（　　） A．点A与点D是对应点 B．∠ACB＝∠DEF C．BO＝EO D．AB∥DE 【变式1】如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．AO＝A'O C．∠AOB＝∠A'OB' D．∠ACB＝∠C'A'B' 【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论成立的是 　 　（填序号）． ①点A与点A′是对应点； ②BO＝B'O； ③AB∥A′B′； ④∠ACB＝∠C′A′B′． 【变式3】如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠BOC＝∠B'A'C' C．AB＝A'B' D．OA＝OA' 题型04 利用中心对称的性质计算求值 【典例1】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　） A．4 B． C． D． 【变式2】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 　 　． 【变式3】如图，矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于点D成中心对称，已知AB＝3，BC＝4，则阴影部分的面积是 　 　． 【变式4】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称，AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是 　 　． 【变式5】如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，BD＝18，点P是AO上一动点，点Q是CO上一动点（点P、Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值为 　 　． 题型04 中心对称作图 【典例1】如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心O的位置． 【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A'B'C'． 【变式2】如图，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于点O的中心对称图形． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）． （1）作出△ABC关于点O对称的图形△A1B1C1； （2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2． 1．若线段AB与线段CD（与AB不在同一直线上）关于点O中心对称，则AB和CD的关系是（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．AB平行且等于CD D．不确定 2．如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是（　　） A．点P B．点C′ C．点Q D．点R 3．如图，△ABC与△DEF关于点O中心对称，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AB∥DE B．AD＝BE C．OB＝OE D．BC＝EF 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1） 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4．作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，其中点B对应点为B'，点C对应点为C'，则四边形CB'C'B的面积是（　　） A．128 B． C．64 D． 6．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（　　） A．3 B．4 C．7 D．11 7．已知AC是△ABC的最长边，将△ABC沿AC的中点旋转180°后得到△ADC，如果四边形ABCD是正方形，则下列对△ABC描述正确的是（　　） A．△ABC是锐角三角形 B．△ABC是直角三角形 C．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是等腰直角三角形 8．如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是（　　） A．4 B． C． D． 9．题目“如图，AB⊥BC，，P为线段AB上一动点，Q为点A关于点P的对称点．连接CQ．当△BCQ有一个内角为30°时，求AQ的长．”甲的答案为，乙的答案为，丙的答案为，则下列说法正确的是（　　） A．只有甲的答案对 B．甲、乙两人的答案合在一起才完整 C．甲、丙两人的答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整 10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 11．如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A1B1C1与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A1B1C1有 　 　个． 12．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝50°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形AB1C1D1（旋转角小于180°），连接AC，若∠CAD1＝100°，则菱形ABCD旋转的角度是 　 　度． 13．如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，则线段BC与DE的大小关系是 　 　． 14．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 　 　． 15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△AOD绕点D旋转180°得到△EFD，若菱形ABCD的面积为 　 　，AC＝2，则BE＝　 　． 16．如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA、GC上，且AF＝CE，求证：BF＝DE． 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）E是线段CD的 　 　，点A与点F关于点 　 　成中心对称； （2）若AB＝AD+BC，求证：△ABF是等腰三角形． 18．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长． 19．如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点，将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE． （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD． （1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由． （2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积． （3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 中心对称 课程标准 学习目标 ①中心对称的定义及其性质 ②中心对称作图 1. 掌握中心对称的定义与性质，能够根据定义熟练的找出对称中心，能够根据性质熟练的解决相关题目。 2. 掌握中心对称作图的步骤，并能够熟练的进行中心对称作图。 知识点01 中心对称的定义 1. 中心对称的定义： 如图，把一个图形绕着某个点旋转 180° ，如果它能够与另一个图形 完全重合 ，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，这个点叫做 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的 对称点 。 即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A' ，B与B' ，C与C' 都是对称点， 中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2. 中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即 。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被对称中心 平分 。 即：。 ③中心对称的两个图形对应边 平行或共线 。 3. 对称中心的确定： 连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。 【即学即练1】 1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可． 【解答】解：根据中心对称的概念，知（2）（3）（4）都是中心对称． 故选：C． 【即学即练2】 如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据中心对称的性质：“成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分．”，连接BE和CF，其交点即为对称中心． 【解答】解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M， 根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心． 故选C． 【即学即练3】 如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　） A．OC＝OC′ B．OA＝OA′ C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′ 【分析】根据中心对称的性质即可判断． 【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确； 成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确． 故选：D． 【即学即练4】 4．如图，△ABC和△AB'C'成中心对称，A为对称中心．若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，则CC'的长为 　 　． 【分析】根据中心对称图形的定义可得△ABC≌△AB′C′，进而可得AC＝AC′，然后利用特殊角的三角函数值可得AC的长，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC和△AB'C'成中心对称， ∴△ABC≌△AB′C′， ∴AC＝AC′， ∵∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝， ∴AC＝BC•tanB＝×＝1， ∴AC′＝1， ∴CC′＝2， 故答案为：2． 【即学即练5】 5．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AB，CD上的点，且BE＝DF，已知矩形ABCD的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】由全等三角形的判定得到△BOE≌△DOF，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算． 【解答】解：在矩形ABCD中，OB＝OD、AB∥DC， ∴∠EBO＝∠FDO， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴S阴影部分＝S△DOC＝S矩形ABCD＝×32＝8， 故答案为：8． 知识点02 中心对称作图 1. 中心对称作图的基本步骤： 步骤：①确定图形的 关键点 与 对称中心 。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 。 得到 对称点 。 ③按照原图形连接各对称点。 【即学即练1】 6．如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称． 【分析】延长AP到A′使A′P＝AP，同样作出点B′、C′、D′，从而得到四边形A'B'C'D'． 【解答】解：如图，四边形A'B'C'D'为所作． 题型01 成中心对称的判定 【典例1】下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称，轴对称，平移变换的性质对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是平移变换图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是旋转变换图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选：D． 【变式1】如图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可． 【解答】A、是轴对称图形，左边图形与右边图形不成中心对称，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，左边图形与右边图形不成中心对称，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，左边图形与右边图形不成中心对称，故此选项不合题意； D、左边图形与右边图形成中心对称，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】下列两个电子数字成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称的定义判断即可． 【解答】解：B、C、和D选项中的两个电子数字旋转180度后的图形不能和原图形完全重合，故不符合题意； 只有A选项中的两个电子数字成中心对称图形． 故选：A． 【变式3】下列英语单词中，可以近似看成中心对称图形的是（　　） A．SOS B．CEO C．MBA D．SARS 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 题型02 确定中心对称的对称中心 【典例1】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心； 【解答】解：如图，连接HC和DE交于O1， 故选：A． 【变式1】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　） A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点 【分析】根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段BE中点或线段FC中点，进而得出答案． 【解答】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段FC的中点． 故选：D． 【变式2】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【解答】解：如图对称中心是AB的中点， 故选：C． 【变式3】如图，△ABE与△DCF成中心对称则对称中心是（　　） A．M点 B．P点 C．Q点 D．N点 【分析】连接BC（或AD或EF），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【解答】解：连接BC，发现BC经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 题型03 中心对称的性质的熟悉 【典例1】如图，△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（　　） A．点A与点D是对应点 B．∠ACB＝∠DEF C．BO＝EO D．AB∥DE 【分析】根据成中心对称的图形的性质：“中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可作出正确判断． 【解答】解：观察图形可知： A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意； B、∠ACB＝∠DFE，原说法错误，故选项符合题意； C、BO＝EO，原说法正确，故选项不符合题意； D、∠ABO＝∠DEO，则AB∥DE，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．AO＝A'O C．∠AOB＝∠A'OB' D．∠ACB＝∠C'A'B' 【分析】根据中心对称的性质判断即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴点A与A′是一组对称点，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′， ∴A，B，C都不合题意． ∵∠ACB与∠C′A′B′不是对应角， ∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立． 故选：D． 【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论成立的是 　 　（填序号）． ①点A与点A′是对应点； ②BO＝B'O； ③AB∥A′B′； ④∠ACB＝∠C′A′B′． 【分析】利用中心对称的性质解决问题即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 【变式3】如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠BOC＝∠B'A'C' C．AB＝A'B' D．OA＝OA' 【分析】利用中心对称的性质解决问题即可． 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′， 故A，C，D正确， 故选：B． 题型04 利用中心对称的性质计算求值 【典例1】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】证明∠D＝90°，利用勾股定理求解． 【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ACB≌△DCE， ∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3， ∴AD＝4， ∴AE＝＝＝5． 故选：A． 【变式1】如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　） A．4 B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ，AO＝CO＝AC＝1，根据△PQC与△BOC关于点C中心对称，可得CQ＝CO＝1，∠Q＝90°，PQ＝BO＝＝，再根据勾股定理可得AP的长． 【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线， ∴AO＝CO＝1，BO⊥AC， ∵△PQC与△BOC关于点C中心对称， ∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝， ∴AQ＝AO+CO+CQ＝3， ∴AP＝＝＝2． 故选：D． 【变式2】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 　 　． 【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【解答】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3， ∴AB＝3， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12． 故答案为：12． 【变式3】如图，矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于点D成中心对称，已知AB＝3，BC＝4，则阴影部分的面积是 　 　． 【分析】根据成中心对称的两个图形之间的关系，可将阴影部分的面积转化为四边形ACA′C′的面积，进而便可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为四边形ABCD和四边形A′B′C′D是矩形， 所以S△ABC＝S△ADC，S△A′DC′＝S△A′B′C′， 所以S阴影＝S四边形ACA′C′． 又因为矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于点D成中心对称， 所以AD＝A′D，CD＝C′D， 又因为AA′⊥CC′， 所以四边形ACA′C′为菱形， 所以． 故答案为：24． 【变式4】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称，AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是 　 　． 【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA＝OC＝O'C＝1、OB⊥OC、O'B'⊥O'C、BC＝B′C，根据AB′＝5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2， ∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C， ∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3， ∵AB′＝5， ∴O'B'＝， ∴B'C＝， ∴BC＝B'C＝， 即菱形ABCD的边长是， 故答案为：． 【变式5】如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，BD＝18，点P是AO上一动点，点Q是CO上一动点（点P、Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值为 　 　． 【分析】先根据中心对称性质得到OB＝OD，再根据含30度角的直角三角形的性得到OA＝2OD＝BD＝18，过D作DK∥OA，且DK＝OA＝18，连接QK，BK，证得四边形DPQK是平行四边形，∠BDK＝∠AOD＝60°，QK＝DP，则DP+BQ＝QK+BQ≥BK，当B、Q、K共线时取等号，此时DP+BQ最小，最小值为BK的长．证明△BDK为等边三角形得到BK＝BD＝18即可求解． 【解答】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称， ∴OB＝OD， ∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°， ∴∠OAD＝30°，又BD＝18， ∴OA＝2OD＝BD＝18， ∵AP＝OQ， ∴PQ＝OP+OQ＝OP+AP＝OA＝18， ∴过D作DK∥PQ，且DK＝PQ＝18， 连接QK，BK，如图， 则四边形DPQK是平行四边形，∠BDK＝∠AOD＝60°， ∴QK＝DP， ∴DP+BQ＝QK+BQ≥BK，当B、Q、K共线时取等号，此时DP+BQ最小，最小值为BK的长． ∵∠BDK＝60°，DK＝BD＝18， ∴△BDK为等边三角形， ∴BK＝BD＝18，即DP+BQ的最小值为18， 故答案为：18． 题型04 中心对称作图 【典例1】如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心O的位置． 【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心O的位置． 【解答】解：①连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心O． ②连接BB′、CC′，两线段相交于O点，则O点即为对称中心． 【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A'B'C'． 【分析】根据中心对称的性质解决问题即可． 【解答】解：如图所示，BB'，CC'的交点即为O，△A'B'C'即为所求． 【变式2】如图，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于点O的中心对称图形． 【分析】根据网格结构找出四个顶点关于点O的对称点的位置，然后顺次连接即可． 【解答】解：如图所示． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）． （1）作出△ABC关于点O对称的图形△A1B1C1； （2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2． 【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点绕点O顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）如图所示，△A2B2C2即为所求． 1．若线段AB与线段CD（与AB不在同一直线上）关于点O中心对称，则AB和CD的关系是（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．AB平行且等于CD D．不确定 【分析】根据线段AB、CD关于点O成中心对称，再根据中心对称的性质得出对应边之间的关系即可． 【解答】解：∵线段AB、CD关于点O成中心对称， ∴线段AB、CD的关系是：平行且相等． 故选：C． 2．如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是（　　） A．点P B．点C′ C．点Q D．点R 【分析】根据旋转的性质，连接对应点AA′，BB′，CC′，交点即为旋转中心Q． 【解答】解：如图所示，连接AA′，BB′，CC′， 则AA′，BB′，CC′的交点为Q， ∴旋转中心是Q． 故选：C． 3．如图，△ABC与△DEF关于点O中心对称，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AB∥DE B．AD＝BE C．OB＝OE D．BC＝EF 【分析】利用中心对称的性质一一判断即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O中心对称， ∴AB∥DE，OB＝OE，BC＝EF， 但AD与BE不一定相等． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1） 【分析】根据点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，得出△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称． 【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称， 所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称， 故选：B． 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4．作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，其中点B对应点为B'，点C对应点为C'，则四边形CB'C'B的面积是（　　） A．128 B． C．64 D． 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AC＝2，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形CB'C'B是平行四边形，继而即可求解． 【解答】解：如图所示， △ABC中， ∵∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4． ∴∠ABC＝30°，AB＝2AC＝8， ∴， ∵作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，连接B′C，BC′， ∴AB＝AB'，AC＝AC'， ∴四边形CB'C'B是平行四边形， ∴四边形CB'C'B的面积为， 故选：D． 6．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（　　） A．3 B．4 C．7 D．11 【分析】根据对称求出OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，再根据三角形的三边关系得出AB的取值范围即可． 【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称， ∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3， ∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD， ∴5＜AB＜11， 故选：C． 7．已知AC是△ABC的最长边，将△ABC沿AC的中点旋转180°后得到△ADC，如果四边形ABCD是正方形，则下列对△ABC描述正确的是（　　） A．△ABC是锐角三角形 B．△ABC是直角三角形 C．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是等腰直角三角形 【分析】由正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，因此△ABC是等腰直角三角形 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：D． 8．如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是（　　） A．4 B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ，AO＝CO＝AC＝1，根据△PQC与△BOC关于点C中心对称，可得CQ＝CO＝1，∠Q＝90°，PQ＝BO＝＝，再根据勾股定理可得AP的长． 【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线， ∴AO＝CO＝AC＝1， ∴BO＝＝＝， ∵△PQC与△BOC关于点C中心对称， ∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝， ∴AQ＝AO+CO+CQ＝3， ∴AP＝＝＝2． 故选：D． 9．题目“如图，AB⊥BC，，P为线段AB上一动点，Q为点A关于点P的对称点．连接CQ．当△BCQ有一个内角为30°时，求AQ的长．”甲的答案为，乙的答案为，丙的答案为，则下列说法正确的是（　　） A．只有甲的答案对 B．甲、乙两人的答案合在一起才完整 C．甲、丙两人的答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整 【分析】分两种情形：当点Q在线段AB上时，当点Q′在AB的延长线上时，分别求解． 【解答】解：当点Q在线段AB上时， ∵∠CBQ＝90°，∠BCQ＝30°，BC＝， ∴BQ＝BC•tan30°＝×＝， ∴AQ＝AB﹣BQ＝﹣． 当点Q′在AB的延长线上时，同法可得AQ′＝+． 综上所述，AQ的长为﹣或+． 故选：B． 10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OC＝AC＝1，OB＝BD＝4，由中心对称的性质得到∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，求出AO′＝AC+O′C＝3，由勾股定理得到AB′＝＝5． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD， ∵AC＝2，BD＝8， ∴OC＝1，OB＝4， ∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C， ∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4， ∴AO′＝AC+O′C＝3， ∴AB′＝＝5． 故选：C． 11．如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A1B1C1与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A1B1C1有 　 　个． 【分析】依据中心对称的性质，即可得到与△ABC成中心对称的格点三角形A1B1C1． 【解答】解：如图所示： 故答案为：2． 12．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝50°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形AB1C1D1（旋转角小于180°），连接AC，若∠CAD1＝100°，则菱形ABCD旋转的角度是 　 　度． 【分析】连接AC1，根据菱形的性质∠CAC1的度数即可． 【解答】解：如图所示，连接AC1， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝50°， ∴∠CAD＝25°， 又旋转的性质，可得∠C1AD1＝∠CAD＝25°， ∴∠CAC1＝∠CAD1﹣∠C1AD1＝100°﹣25°＝75°， 即菱形ABCD旋转的角度是75°． 故答案为：75． 13．如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，则线段BC与DE的大小关系是 　 　． 【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解可得可得BC＝DE． 【解答】解：∵△ABC与△DEA关于点A成中心对称， ∴BC＝DE． 故答案为：BC＝DE． 14．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】由全等三角形的判定得到△AOE≌△COF，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算． 【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AD∥CB， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△EAO与△FCO中， ， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴S阴影部分＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×20＝5， 故答案为：5． 15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△AOD绕点D旋转180°得到△EFD，若菱形ABCD的面积为 　 　，AC＝2，则BE＝　 　． 【分析】给出菱形ABCD的面积，结合AC的长即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴． 令菱形ABCD的面积为， 又∵AC＝2， ∴BD＝＝． ∴BO＝DO＝． 又∵△DEF由△AOD绕点D旋转180°得到， ∴DF＝，∠F＝90°，EF＝AO＝1， ∴BF＝． 在Rt△BEF中， BE＝． 故答案为：，（答案不唯一）． 16．如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA、GC上，且AF＝CE，求证：BF＝DE． 【分析】因为△AGB与△CGD关于点G中心对称，所以AG＝CG，BG＝DG，因为AF＝CE，所以AE＝CF，即EG＝FG，结合∠BGF＝∠DGE，得证△BGF≌△DGE，即可作答． 【解答】证明：因为△AGB与△CGD关于点G中心对称， 所以△AGB≌△CGD， 所以AG＝CG，BG＝DG， 因为AF＝CE， 则AF﹣EF＝CE﹣EF， 所以AE＝CF， 因为AG＝CG， 所以AG﹣AE＝CG﹣CF， 即EG＝FG， 因为∠BGF＝∠DGE，BG＝DG， 所以△BGF≌△DGE（SAS）， 则BF＝DE． 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）E是线段CD的 　 　，点A与点F关于点 　 　成中心对称； （2）若AB＝AD+BC，求证：△ABF是等腰三角形． 【分析】（1）利用中心对称的定义回答即可， （2）证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可． 【解答】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段CD的中点，DE＝EC， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DCF， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE，AD＝CF， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； （2）证明：∵AB＝AD+BC， ∴AB＝BF， ∴△ABF是等腰三角形． 18．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长． 【分析】（1）按中心对称的作法求解即可； （2）根据中心对称的性质及三角形周长公式计算即可． 【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求．（作法不唯一）； （2）∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称， ∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝7+5+6＝18． 答：△DEF 的周长为18． 19．如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点，将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE． （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S． 【分析】（1）根据中位线的性质以及旋转后对应的线段，可得出四边形ABDF对应边两两相等，即为平行四边形，平行四边形的邻边相等为菱形； （2）设OA＝x，OB＝y，构造方程求出2xy即可． 【解答】解：（1）平行四边形，证明如下： ∵D、E分别是边BC、AC的中点， ∴2DE＝AB，CD＝BD， 又∵将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE， ∴CD＝AF，DE＝EF， ∴2DE＝AB＝FD，BD＝CD＝AF， ∴四边形ABDF对应边两两相等， 即四边形ABDF为平行四边形， 又∵BC＝2AB， ∴AB＝BD， ∴平行四边形ABDF为菱形； （2）如图，连接BF，AD交于点O， ∵四边形ABDF为菱形， ∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD， 设OA＝x，OB＝y， 则有2x+2y＝8，x2+y2＝32， ∴x+y＝4， ∴x2+2xy+y2＝16， ∴2xy＝7， ∴S＝BF×AD＝2xy＝7． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD． （1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由． （2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积． （3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由． 【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC＝CD，BC＝CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答； （2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答； （3）∠ACB＝60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC＝BC，然后求出AD＝BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明． 【解答】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ∴AC＝CD，BC＝CE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE与BD平行且相等； （2）∵四边形ABDE是平行四边形， ∴S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△ACE， ∵△ABC的面积为5cm2， ∴四边形ABDE的面积＝4×5＝20cm2； （3）∠ACB＝60°时，四边形ABDE为矩形． 理由如下：∵AB＝AC，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AD＝2AC，BE＝2BC， ∴AD＝BE， ∴四边形ABDE为矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$