精品解析：辽宁省沈阳市第一七五中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025−2026年度上学期期中测试八年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，30分） 1. 9的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. -3 2. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各数：，其中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的面积是（　　） A. 120 B. 160 C. 216 D. 96 6. 在平面直角坐标系中，点的坐标是．若点到轴的距离与到轴的距离相等，则的值为（　　　） A. B. C. 1或3 D. 2或3 7. 若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 下列二元一次方程，其中一组解为的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 实数的绝对值是______． 12. 若函数是正比例函数，则的值为______________． 13. 如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B´处，当DB´的长度最小时，BF的长度为______． 14. 如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为_____． 15. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有______个． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1） （2）． 17. 解方程组：． 18. 璐璐和品品来到学校附近的文具店购买圆珠笔和笔记本，璐璐要买枝圆珠笔，本笔记本需花元，品品要买枝圆珠笔，本笔记本需花费元．每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是多少元？ 19. 如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的路程s（km）和行驶时间t（h）之间的关系，请根据图象回答问题： （1）汽车共行驶的路程是多少千米？ （2）汽车在行驶途中停留了多长时间？ （3）汽车从行驶途中停留到汽车到达离出发地最远的地方行驶的路程是多少千米？ （4）汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？ （5）汽车在返回时的平均速度是多少？ 20. 综合与实践 问题情境：函数在生活中无处不在，小芳和小文想寻找身边的函数．她们借助各自的水杯，一起探究了杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系．如图1所示，小芳的水杯为厚底圆柱形，记为1号杯，小文的水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形，记为2号杯． 实践操作：小芳和小文分别向各自的水杯倒水，设1号杯中水的体积为，2号杯中水的体积为，水面到水平桌面的距离为．小芳通过操作，测量，记录，绘制出了与h之间的函数图象（如图2）；小文则测量并记录了与对应的的几组数值，整理成下表，发现是h的函数． 0 2 4 6 8 10 0 50 100 150 200 250 问题解决：请根据上述材料完成下列任务： （1）求与h之间的函数表达式； （2）能看成h的一次函数吗？若能，请直接写出函数表达式；若不能，请说明理由； （3）在图2中，画出与h之间的函数图象； （4）当h为______时，1号杯和2号杯中水的体积相等． 21. 为庆祝中国共产党成立104周年，我校开展了演讲比赛，为奖励在演讲比赛中获奖的同学，学校派小明为获奖同学买奖品，要求每人一件，小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择，如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ （2）售货员阿姨提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买（，且为整数）支钢笔需要花元，请你求出与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，小明决定买同一种商品做奖品，数量超过10个，售货员阿姨说无论你单买钢笔做奖品还是单买笔记本做奖品，所需付的钱是一样的，请问这次演讲比赛共有多少名同学获奖． 22. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 23. 如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． （1）求直线的解析式和点坐标； （2）设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． （3）如图2，点坐标为，则的面积是 ． （4）以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026年度上学期期中测试八年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，30分） 1. 9的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3， 故选A 【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 2. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理判断能否构成直角三角形，逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 3. 下列各数：，其中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，是有理数，故不符合要求； ，是无理数，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，无理数．解题的关键在于熟练掌握：无理数是无限不循环小数． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的概念，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不合题意； C、，不是最简二次根式，本选项不合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D 5. 在中，，，，则的面积是（　　） A. 120 B. 160 C. 216 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴是直角三角形． ∴． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，点的坐标是．若点到轴的距离与到轴的距离相等，则的值为（　　　） A. B. C. 1或3 D. 2或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3m-5=m+1或3m-5=-（m+1），解出m的值． 【详解】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴3m-5=m+1或3m-5=-（m+1）， 解得：m=3或1， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 7. 若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的递增性解答 ． 【详解】解：由题意可知：随着x的增大，一次函数的函数值也是增大的， ∴随着x的减小，一次函数的函数值也是减小的， ∵， ∴， 故选B ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键． 8. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：由图可知：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 10. 下列二元一次方程，其中一组解为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：A.把代入方程得，左边，右边，左边≠右边，不是方程的解； B. 把代入方程得，左边，右边，左边＝右边，是方程的解； C. 把代入方程得，左边，右边，左边≠右边，不是方程的解； D. 把代入方程得，左边，右边，左边≠右边，不是方程的解； 故选：B 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 实数的绝对值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握实数的性质是解题关键．根据实数的性质：负实数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：实数的绝对值是， 故答案为：． 12. 若函数是正比例函数，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】由题意得：，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】解答本题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 13. 如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B´处，当DB´的长度最小时，BF的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定当，，E共线时，的值最小，再根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∵， 又∵，， ∴， ∴当，，E共线时，的值最小，设此时点落在DE上的点处，设， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理（在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方） ．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小． 14. 如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征得到A（﹣2，0），B（0，4），再利用勾股定理计算出AB＝2，然后根据圆的半径相等得到AC＝AB＝2，进而解答即可． 【详解】当y=0时，2x+4=0，解得x=－2，则A（－2，0）； 当x=0时，y=2x+4=4，则B（0，4）， 所以AB=， 因为以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C， 所以AC=AB=2， 所以OC=AC－AO=2－2． 即可得点C坐标为（2－2，0）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，正确求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 15. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有______个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，等腰三角形的判定．数形结合是解题的关键． 根据等腰三角形的判定，数形结合求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，即；当时，，即， ∴，即与原点重合， 以点为圆心，以的长为半径画圆，两圆与坐标轴的交点即为点，如图， ∴共有7个满足要求的点， 故答案为：7． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行去绝对值，零指数幂和负整数指数幂，开方运算，再进行加减运算； （2）先利用平方差公式，完全平方公式和分母有理化进行化简，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 原式， ； 【小问2详解】 原式， ． 【点睛】本题考查二次根数的混合运算，同时考查了零指数幂，负整数指数幂，去绝对值和乘法公式．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由①+②得6x=24 ∴x=4， 把x=4代入①，得y=5， ∴． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减法求解二元一次方程组是解题的关键． 18. 璐璐和品品来到学校附近的文具店购买圆珠笔和笔记本，璐璐要买枝圆珠笔，本笔记本需花元，品品要买枝圆珠笔，本笔记本需花费元．每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是多少元？ 【答案】每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是3元和5元． 【解析】 【分析】 先设出每枝圆珠笔和每本笔记本的单价，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是x元和y元， 解得： 答：每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是3元和5元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找出相等关系，列出二元一次方程组，正确求解即可，本题属于基础题，相等关系比较明显，考查了学生对基础知识点的理解与应用． 19. 如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的路程s（km）和行驶时间t（h）之间的关系，请根据图象回答问题： （1）汽车共行驶的路程是多少千米？ （2）汽车在行驶途中停留了多长时间？ （3）汽车从行驶途中停留到汽车到达离出发地最远的地方行驶的路程是多少千米？ （4）汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？ （5）汽车在返回时的平均速度是多少？ 【答案】（1）汽车行驶的路程是300千米 （2）汽车在行驶途中停留了0.5小时 （3）汽车从行驶途中停留到汽车到达离出发地最远的地方行驶的路程是50千米 （4）返回用了1.5小时 （5）汽车在返回时的平均速度是100千米/小时 【解析】 【分析】（1）观察函数图象的纵坐标，可得汽车行驶的路程； （2）观察函数图象，可得平行于t轴的线段； （3）观察函数图象的纵坐标，可得途中停留离出发地的距离，到达离出发地最远的地方离出发地的距离，根据有理数的减法，可得答案； （4）观察函数图象的横坐标，可得到达最远地方的时间，回到出发点的时间，根据有理数的减法，可得答案； （5）根据“速度=路程÷时间”计算即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：汽车共行驶的路程是：150×2=300（千米）； 【小问2详解】 解：由图象可知：汽车在行驶途中停留了：2-1.5= 0.5（小时）； 【小问3详解】 解：由图象可知：汽车从行驶途中停留到汽车到达离出发地最远的地方行驶的路程是150-100= 50（千米）； 【小问4详解】 解：由图象可知：返回用了4.5-3= 1.5（小时）； 【小问5详解】 解：由图象可知：汽车在返回时的平均速度是150÷1.5= 100（千米/小时）． 【点睛】本题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象获取正确信息是解题关键． 20. 综合与实践 问题情境：函数在生活中无处不在，小芳和小文想寻找身边的函数．她们借助各自的水杯，一起探究了杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系．如图1所示，小芳的水杯为厚底圆柱形，记为1号杯，小文的水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形，记为2号杯． 实践操作：小芳和小文分别向各自的水杯倒水，设1号杯中水的体积为，2号杯中水的体积为，水面到水平桌面的距离为．小芳通过操作，测量，记录，绘制出了与h之间的函数图象（如图2）；小文则测量并记录了与对应的的几组数值，整理成下表，发现是h的函数． 0 2 4 6 8 10 0 50 100 150 200 250 问题解决：请根据上述材料完成下列任务： （1）求与h之间的函数表达式； （2）能看成h的一次函数吗？若能，请直接写出函数表达式；若不能，请说明理由； （3）在图2中，画出与h之间的函数图象； （4）当h为______时，1号杯和2号杯中水的体积相等． 【答案】（1）． （2）能看成的一次函数，； （3） 图象如图， （4）6． 【解析】 【分析】本题考查了变量之间的函数关系，描点法画函数图象，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据函数图象可以看出与h之间是一次函数关系，运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据表格提供的数据可以看出是h的25倍，所以能看成h的一次函数； （3）根据列表、描点、连线，画出与h之间的函数图象； （4）联立方程，求得． 【小问1详解】 解：根据表格提供的数据可以看出与h之间是一次函数关系， 设与h之间的函数表达式为， 把代入得， ， 解得，， ∴与h之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：根据表格提供的数据可以看出是h的25倍，所以能看成h的一次函数； ∴； 【小问3详解】 解：列表得， ⋯⋯ 4 8 ⋯⋯ ⋯⋯ 100 200 ⋯⋯ 【小问4详解】 解：令， 解得，． 即当h为时，1号杯和2号杯中水的体积相等． 故答案为：6． 21. 为庆祝中国共产党成立104周年，我校开展了演讲比赛，为奖励在演讲比赛中获奖的同学，学校派小明为获奖同学买奖品，要求每人一件，小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择，如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ （2）售货员阿姨提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买（，且为整数）支钢笔需要花元，请你求出与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，小明决定买同一种商品做奖品，数量超过10个，售货员阿姨说无论你单买钢笔做奖品还是单买笔记本做奖品，所需付的钱是一样的，请问这次演讲比赛共有多少名同学获奖． 【答案】（1）每个笔记本14元，每支钢笔15元 （2） （3）这次演讲比赛共有15名同学获奖 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设每个笔记本元，每支钢笔元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个笔记本元，每支钢笔元， 根据题意得 解得 答：每个笔记本14元，每支钢笔15元； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 解：时， ， 答：这次演讲比赛共有15名同学获奖． 22. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线的解析式是： （2） （3）存在，的坐标是：或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求解析式，三角形的面积； （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可得； （2）令，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分①点在线段上，②点在射线上两种情况，分别根据三角形的面积关系建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设直线的解析式是，代入， 根据题意得： 解得： 则直线的解析式是：； 【小问2详解】 在中，令，解得：， ∴，则， ； 【小问3详解】 设的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是：， ∵当的面积是的面积的时， ∴当的横坐标是， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，，则，则的坐标是． 则的坐标是：或， 当的横坐标是：，则在上， 当时，，则的坐标是； 综上所述：的坐标是：或或． 23. 如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． （1）求直线的解析式和点坐标； （2）设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． （3）如图2，点坐标为，则的面积是 ． （4）以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，点坐标 （2）存在， （3） （4）满足条件的点C的坐标为或 【解析】 【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可； （3）利用三角形面积公式列式运算即可； （）分类讨论点的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点坐标； 【小问2详解】 存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小， ∵，，， ∴的最小值； 【小问3详解】 如图2中， ∵点坐标为，， ∴， ． 故答案为18； 【小问4详解】 如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得等， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $