4.5相似三角形的性质及应用 讲义 2025-2026学年 浙教版（2012）数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦相似三角形的性质及应用核心知识点，系统梳理对应角相等、对应边成比例等基本性质，延伸至重心分中线1:2的特性，构建从性质推导到实际测量应用的学习支架。 资料通过“要点”提示强化关键概念理解，结合影子测量法等实例培养数学眼光，以重心证明过程发展推理意识，分层题目设计兼顾基础与提升，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

4.5相似三角形的性质及应用 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段. 即 . 要点： 过点E作EH∥BC交AD于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH，从而得到BD=2EH，再根据△BDO和△EHO相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题 1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（    ） A． B．2：3 C．4：9 D．8：27 2．已知，与的面积之比为1：2，若边上的中线长为1，则边上的中线长是（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．如图点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（  ）． A．； B．； C．； D．． 4．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（   ） A． B． C．相似比为 D．相似比为 5．如图，小明站在 处看甲、乙两楼楼顶上的点 和点 ．，， 三点在同一直线上，， 相距 米，， 相距 米，乙楼的高 为 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 为 （       ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 6．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（       ） A． B． C． D． 7．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（　　） A． B． C． D．1 8．如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（  ） A．AE=2DE B． C． D． 9．如图所示，、分别是的边、上的点，且，、相交于点．若，则与的比是（      ） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 10．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 12．如图，△ABC∽△CBD，AB=9，BD=25，则BC=______． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 14．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为______． 15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm． 16．如图，已知，则的度数为_________． 17．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____． 18．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________． 三、解答题 19．如图，在中，C，D分别是上的点．若． (1)求证：； (2)求的长． 20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F． (1)求证：△AEF∽△CBF； (2)若BE⊥AC，求AE：ED． 21．如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸点3.2米远的点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、N共线，点、、共线，若、、均垂直与河面，求河宽是多少米？ 22．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． (1)求证：四边形ABCG是平行四边形； (2)若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 23．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求AB的长． 24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F． 求证：． 25．如图，已知，． （1）求的长； （2）求的长； （3）求的度数． 26．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且，． (1)求证：． (2)若，求∠CBD的度数． 27．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点． (1)求证：△BGC∽△DGF； (2)求证：； (3)若点G是DC中点，求的值． 28．如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、． （1）求证：； （2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值； （3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5相似三角形的性质及应用 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段. 即 . 要点： 过点E作EH∥BC交AD于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH，从而得到BD=2EH，再根据△BDO和△EHO相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题 1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（    ） A． B．2：3 C．4：9 D．8：27 【解答】B 【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质． 2．已知，与的面积之比为1：2，若边上的中线长为1，则边上的中线长是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【解答】A 【提示】由，与的面积之比为1：2可知：相似比为，则对应中线的比为，即可求出答案． 【详解】∵，与的面积之比为1：2 ∴相似比为 ∴其对应中线的比为 ∵边上的中线长为1 ∴边上的中线长是 故选：A 【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题． 3．如图点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（  ）． A．； B．； C．； D．． 【解答】D 【提示】根据选项选出能推出，推出或的即可判断． 【详解】解： 、∵，，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断与相似，即不能推出，故本选项错误； 、 ， ， ，， 即不能推出，故本选项错误； 、由可知，不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误； 、∵， ， ， ， ， ，故本选项正确； 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（   ） A． B． C．相似比为 D．相似比为 【解答】D 【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论． 【详解】解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立； 同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立； 同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立； ∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比， ∴相似比为，∴D一定成立， 故选D ．　　　 【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．　 5．如图，小明站在 处看甲、乙两楼楼顶上的点 和点 ．，， 三点在同一直线上，， 相距 米，， 相距 米，乙楼的高 为 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 为 （       ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【解答】D 【提示】证明，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，，是公共角， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（       ） A． B． C． D． 【解答】B 【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴△ADC∽△CDB∽△ACB ∴AC2=AD·AB，BC2=BD·AB， 故，A正确，B错误； ∵△ADC∽△CDB ∴ ∴，,C,D选项正确； 故选B. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定. 7．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（　　） A． B． C． D．1 【解答】C 【提示】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得,，由此即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC，DC=AB， ∵AC=CA， ∴△ADC≌△CBA， ∴S△ADC=S△ABC， ∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD， ∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3， ∴AG：AB=CH：BC=1：3， ∴GH∥AC， ∴△BGH∽△BAC， ∴， ∵， ∴. 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 8．如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（  ） A．AE=2DE B． C． D． 【解答】C 【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断． C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断． D.利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE，故A正确; ∵AB∥CD， ∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°， ∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°， 又∵BC=BP，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°， ∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP∽△APH，故B正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF， ∴△PFC与△PCA不相似，故C错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC， ∵∠CPH=∠BPC， ∴△PCH∽△PBC， ∴, ∴PC2=PH•PB，故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．如图所示，、分别是的边、上的点，且，、相交于点．若，则与的比是（      ） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【解答】C 【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的比， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键． 10．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【解答】C 【详解】∵四边形和四边形是正方形，．在和中，．，．．平分．．．又是的中点，．．．设，正方形的边长是，则，，即，解得或（舍去），则． 二、填空题 11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 【解答】3：5 【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC∽△CBD，AB=9，BD=25，则BC=______． 【解答】15 【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC∽△CBD， ∴，即， AB=9，BD=25， ， ， 故答案为：15 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【解答】8 【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x，则 ， ∴； ∴三角形的最短边为8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用． 14．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为______． 【解答】 【提示】结合矩形的性质证明可求得的长，再利用可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点，， ， ， ， 解得， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm． 【解答】32 【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和即可求出AM的最小值． 【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN； ∴△APM∽△BPN； ∴＝， ∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1， ∴＝，即AM＝4BN； ∴当BN8cm时，AM32cm； 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm． 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知，则的度数为_________． 【解答】40° 【提示】由可判定△ABC∽△ADE，得到∠BAC=∠DAE，再根据，，可得出∠DAC的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：40°. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据判定出△ABC∽△ADE. 17．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____． 【解答】 【提示】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示： ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，， ∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2， ∴BC＝2，AC＝4， ∴CM＝＝＝4， ∵正方形DEFG内接于△ABC， ∴GF＝EF＝MN，GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴，即， 解得：EF＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________． 【解答】          【提示】如图，过点作于，过点作，交的延长线于，由面积和差关系可求，通过证明，可得，可求，由勾股定理可求，，的长，通过证明，可得，可求，，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作，交的延长线于， ，， ， ， ， 四边形的面积为12， ， ， 等腰， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，且 ，且， ， ， ，， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH的长是本题的关键． 三、解答题 19．如图，在中，C，D分别是上的点．若． (1)求证：； (2)求的长． 【解答】(1)见解析 (2)AB＝8 【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算与的值，得到，根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）运用相似三角形的性质计算即可． （1） 证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3， ∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8， ∴，， ∴，即， ∵∠DPC＝∠APB， ∴△ABP∽△DCP； （2） 解：∵△ABP∽△DCP， ∴，即， ∴AB＝8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F． (1)求证：△AEF∽△CBF； (2)若BE⊥AC，求AE：ED． 【解答】(1)见解析 (2)1：3 【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF； （2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=x，则DE=x，从而可计算出AE：DE． （1） 解：证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF； （2） 设AB=x，则BC=2x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°， ∵BE⊥AC， ∴∠AFB=90°， ∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠ABF=∠ACB， ∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA， ∴△ABE∽△BCA， ∴，即， ∴AE=x， ∴DE=AD-AE=， ∴AE：DE==1：3． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质． 21．如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸点3.2米远的点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、N共线，点、、共线，若、、均垂直与河面，求河宽是多少米？ 【解答】河宽为12米 【提示】连接，根据题意可得出四边形为矩形，由可求得，便可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点、、共线，、均垂直与河面，且，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵、、均垂直与河面， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴（米）． 答：河宽是米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似． 22．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． (1)求证：四边形ABCG是平行四边形； (2)若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【解答】(1)证明见解析； (2) 【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． （1） 证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形； （2） 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 23．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求AB的长． 【解答】(1)见解析 (2) 【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案． （1） ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD． ∵∠ADE=∠B， ∴△ADB∽△AED． （2） ∵△ADB∽△AED， ∴， ∵AE=3，AD=5， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F． 求证：． 【解答】见解析 【提示】根据平行四边形的性质得到，，得到△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25．如图，已知，． （1）求的长； （2）求的长； （3）求的度数． 【解答】（1）；（2）；（3） 【提示】（1）由，可得：再代入数据可得答案； （2）由，可得：再代入数据可得答案； （3）由，可得：再利用角的和差可得答案； 【详解】解：（1） ， （2） ， 而 （3） ， 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键. 26．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且，． (1)求证：． (2)若，求∠CBD的度数． 【解答】(1)证明见解析 (2) 【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明． （2）根据（1）中，得出，再根据对顶角相等，，证得，得出，即可求解． （1） ∵ ∴， ∴， ， ∵在和中， ， ∴． （2） ∵， ∴， 又∵，对顶角相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点． (1)求证：△BGC∽△DGF； (2)求证：； (3)若点G是DC中点，求的值． 【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC∽△DCF． （2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论． （3）通过ASA判定出△BGC≌△DEC，进而根据第一问结论可得△BGC∽△DGF，然后通过相似比设未知数，赋值，即可求出的值． （1） 证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵， ∴△BGC∽△DCF． （2） 证明：由（1）知△BGC∽△DGF， ∴， ∴ ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∴． （3） 解：由（1）知△BCC∽△DGF， ∴， 在△BGC与△DEC中， ∴△BGC≌△DEC（ASA） ∴ ∵G是CD中点 ∴ ∴ ∵△BGC∽△DGF ∴ 在Rt△BGC中，设，则， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 28．如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、． （1）求证：； （2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值； （3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值． 【解答】（1）证明见解析；（2）；；（3） 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可． （2）的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，的比值转换为的比值即可求得. （3）过点作垂直于的延长线于点，，将相关线段关系转化为CE，可得关系，观察图象，当时，可得最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴, ∵垂直于射线, ∴ 又∵ ∴, ∵ 即： 又∵ ∴ （2）解：∵点P、M、N分别为线段、、的中点 ∴，， ∴, ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ 又∵ ∴ ∴ （3）如下图： 过点作垂直于的延长线于点, 又∵ ∴ ∴ ∴当取得最大值时，取得最大值， 在以的中点为圆心，为直径的圆上运动， 当时，最大， ∴， 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $