第16讲 相似多边形与图形的位似（知识清单+5必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第16讲 相似多边形与图形的位似 题型梳理 题型方法 题型一 相似多边形的定义 题型二 相似多边形对应边、对应角的性质 题型三 相似多边形的周长和面积的比 题型四 位似图形的概念 题型五 位似多边形的性质 知识清单 知识点1.相似多边形的概念（重点） 相似多边形：一般地，对应角相等，对应边成比例两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的比也叫相似比。 知识点2.相似多边形的性质（重点） 1. 相似多边形对应角相等，对应边的长度成比例 2.相似多边形周长比等于相似比,相似多边形面积的比等于相似比的平方。 知识点3.位似图形的概念（重点） 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系： 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 知识点4.位似多边形的性质和画法（重点） 1.位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 2.位似图形的画法 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 题型方法 【题型一】相似多边形的定义 【例1】下列说法正确的是（    ） A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似 C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似 【答案】C 【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可． 【详解】A．菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A错误； B．矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B错误； C．正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C正确； D．平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义即可解答． 【详解】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例 ∴五边形和五边形一定不相似． 故选B． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键． 【变式2】（20-21九年级上·浙江·期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（2023九年级上·全国·专题练习）下列各组四边形中是相似多边形的是（        ） A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的等腰梯形 【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义，即可求解． 【详解】解：B菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，是相似多边形，则B选项符合题意； A选项边不对应成比例，不是相似多边形，则A选项不符合题意； C选项菱形有不稳定性，形状不固定，不是相似多边形，则C选项不符合题意； D选项等腰梯形形状不固定，不是相似多边形，则D选项不符合题意． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形是解题的关键． 【题型二】相似多边形对应边、对应角的性质 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论． 【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·期末）如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边、应满足的条件是 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，对折两次后的小长方形的长为，宽为，再根据相似图形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为，宽为， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质 （1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可． （2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可． 【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为， ∴、纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵纸的周长为286厘米，； ∴纸的周长． 【题型三】相似多边形的周长和面积的比 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为，则较小多边形的面积是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质可知，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此即可求解 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴两个相似多边形的面积比为， ∵两个相似多边形的面积和为， ∴较小多边形的面积是． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，矩形矩形，且面积比为4：1，则的值为（　　） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．4:1 【答案】C 【分析】由相似多边形的性质知，据此设，，则，根据面积比得出，整理可得答案． 【详解】解：矩形矩形，且面积比为， ， 设，， ， 则， 整理，得：， 则，即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质和矩形的性质． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若两个相似多边形的相似比为，则它们面积的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可求解，熟记相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵相似多边形的相似比是，面积比是相似比的平方， ∴它们的面积比为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似多边形面积之比为，其周长之差为6，则较小的多边形的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题关键．根据这两个相似多边形面积比，即得出其周长比为，结合其周长之差为6，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形面积之比为， ∴其周长比为． 设较小的多边形的周长是，则较大的多边形的周长是， ∴， 解得：， ∴较小的多边形的周长是． 故答案为：12． 【题型四】位似图形的概念 【例4】（2024九年级上·浙江·专题练习）已知：∽，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（2022九年级上·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可． 【详解】A、 ，位似中点在图形内部，不合题意； B、 ，位似中点在图形上，符合题意； C、 ，位似中点在图形外部，不合题意； D、 ，位似中点在图形外部，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 【变式2】如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到 对相似三角形（可用字母表示），它们分别是 ． 【答案】 4 ，，， 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，，，根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形．熟记位似图形的概念、相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是四边形的位似图形， ∴，，，， ∴，，，，共4对相似三角形， 故答案为：4；，，，． 【变式3】（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 【题型五】位似多边形的性质 【例5】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ， ∴， 则与的面积之比为 故选D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为； 故答案为． 【变式3】（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，，，三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． (1)在图1中以点为位似中心，作线段的位似图形，使其长度为的2倍． (2)已知的三边比为，在图2中画格点，使与相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图以及勾股定理的运算，掌握分类讨论的数学思想是解决第二问的关键． （1）连接并等倍延长即可完成作图； （2）由题意得是直角三角形，所以也是直角三角形；根据图示得，可得的三边长为：或或（舍）． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵的三边比为， 且， ∴是直角三角形， ∴也是直角三角形， 由图可知： ∴的三边长为：或或（舍） 如图所示： 好题必刷 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江金华·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．全等图形一定是相似图形 B．直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形相似 C．任意两个矩形都相似 D．三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段 【答案】C 【分析】根据相似图形的判定、相似三角形的判定、相似多边形的判定、三角形重心的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A选项，全等图形的形状、大小完全一样，所以全等图形一定是相似图形，该选项说法正确，不符合题意； B选项，直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形满足两边对应成比例且夹角相等，所以直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形相似，该选项说法正确，不符合题意； C选项，任意两个矩形，虽然角对应相等，但是边长不一定对应成比例，所以任意两个矩形，不一定是相似图形，该选项说法错误，符合题意； D选项，三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，所以三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段，该选项说法正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似图形的判定、相似三角形的判定、相似多边形的判定、三角形重心的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）两相似多边形的面积比是，较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可． 【详解】解：两相似多边形的面积比是， ∴两相似多边形的相似比为：， ∴两相似多边形的周长比为：， ∵较小多边形的周长为， ∴较大多边形的周长为：； 故选A． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的概念，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角的形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 4．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键．首先结合点、点的坐标确定与的相似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的相似比为3， 又∵， ∴． 故选：C． 5．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，梯形中，E、F分别为、两腰上的点，且．若，，且梯形与梯形相似，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解． 【详解】解：∵梯形∽梯形，且， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质得出是解题关键． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，线段的端点坐标分别为、，以为位似中心，将线段放大到原来的两倍得到线段，则点、点的坐标分别为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，利用中点坐标公式求出点、点的坐标即可． 【详解】解：由题意， 设，， ∵，，， ∴，， ∴；， ∴，． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．据此求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍， ∴放大后点的对应点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 8．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知，若的面积是3，则的面积为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查位似图形的性质，相似三角形的性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．根据题意得出，确定，再由面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：与位似， ，， ， ， ， ， ∵的面积是3， 的面积， 故答案为：27． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，与是位似图形，原点为位似中心，位似比为，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由位似图形的性质可得，求出即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与是位似图形，原点为位似中心，位似比为， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ， ， ， 故答案为： 12． 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列式计算即可． 【详解】解：∵对折， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍掉）； 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图、图中点，，在格点上） (1)在图中，作的角平分线； (2)在图中，以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、等腰三角形的三线合一、作图—位似变换，解题关键是熟练掌握画位似图形的一般步骤． （1）利用网格特点确定中点，连接，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得是的角平分线； （2）利用网格特点确定、中点、，连接，则和是位似图形，位似中心是点． 【详解】（1）解：如图，为所作： （2）解：如图，为所作： 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； (2)请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 【答案】(1)点；． (2)答案见解析． 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． （1）由位似变换定义∶位似中心为对应顶点连线所在直线的交点，可确定位似中心．有对应边长比可求出和位似比； （2）位似变换有两种∶正向位似，反向位似．题给为反向位似，还存在满足（1）中条件的正向位似，即位似中心，画出另一个位似变换得到的． 【详解】（1）解：作图连接，，交与点， 故位似中心为点． 和位似 位似比为对应边长之比，即和位似比． 由勾股定理得∶，． 故位似比． 故答案为：点，． （2）解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到） 14．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 相似多边形与图形的位似 题型梳理 题型方法 题型一 相似多边形的定义 题型二 相似多边形对应边、对应角的性质 题型三 相似多边形的周长和面积的比 题型四 位似图形的概念 题型五 位似多边形的性质 知识清单 知识点1.相似多边形的概念（重点） 相似多边形：一般地，对应角相等，对应边成比例两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的比也叫相似比。 知识点2.相似多边形的性质（重点） 1. 相似多边形对应角相等，对应边的长度成比例 2.相似多边形周长比等于相似比,相似多边形面积的比等于相似比的平方。 知识点3.位似图形的概念（重点） 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系： 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 知识点4.位似多边形的性质和画法（重点） 1.位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 2.位似图形的画法 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 题型方法 【题型一】相似多边形的定义 【例1】下列说法正确的是（    ） A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似 C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 【变式2】（20-21九年级上·浙江·期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023九年级上·全国·专题练习）下列各组四边形中是相似多边形的是（        ） A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的等腰梯形 【题型二】相似多边形对应边、对应角的性质 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·期末）如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边、应满足的条件是 ．    【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【题型三】相似多边形的周长和面积的比 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为，则较小多边形的面积是(　　) A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，矩形矩形，且面积比为4：1，则的值为（　　） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．4:1 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若两个相似多边形的相似比为，则它们面积的比为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似多边形面积之比为，其周长之差为6，则较小的多边形的周长是 ． 【题型四】位似图形的概念 【例4】（2024九年级上·浙江·专题练习）已知：∽，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2022九年级上·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到 对相似三角形（可用字母表示），它们分别是 ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【题型五】位似多边形的性质 【例5】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，，，三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． (1)在图1中以点为位似中心，作线段的位似图形，使其长度为的2倍． (2)已知的三边比为，在图2中画格点，使与相似． 好题必刷 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江金华·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．全等图形一定是相似图形 B．直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形相似 C．任意两个矩形都相似 D．三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段 2．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）两相似多边形的面积比是，较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，梯形中，E、F分别为、两腰上的点，且．若，，且梯形与梯形相似，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，线段的端点坐标分别为、，以为位似中心，将线段放大到原来的两倍得到线段，则点、点的坐标分别为（   ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为 8．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知，若的面积是3，则的面积为 ． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，与是位似图形，原点为位似中心，位似比为，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图、图中点，，在格点上） (1)在图中，作的角平分线； (2)在图中，以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； (2)请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 14．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$