3.4 圆心角 讲义 2025-2026学年 浙教版（2012）数学九年级上册

3.4 圆心角 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、圆心角定理及推论 1.圆心角定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. (3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论： 　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点： 　在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 一、单选题 1．下列图形中表示的角是圆心角的是(　　) A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【解答】 解:根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角. 故选A. 2．下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】 试题分析：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来判断，其中“在同圆或等圆中”是必备条件. 解：①两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧对等弦，①正确； ②两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故②错误； ③两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故③错误； ④两个相等的圆心角不一定在同圆或等圆中，故④错误； ⑤两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧所对的圆心角相等，⑤正确． 综上①⑤正确. 故选B. 3．如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（       ） A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB 【答案】C 【提示】 由已知条件，得出点B是的中点，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AB=BC，又在△ABC中，根据三角形三边关系定理得出AB+BC＞AC. 【解答】 解：连接BC ∵， ∴弧AB=弧BC， ∴AB=BC， ∵在△ABC中，AB+BC>AC， ∴AC<2AB. 故选C. 【点睛】 本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出AB=BC是解题的关键． 4．下列说法错误的是（       ） A．等弧所对的圆心角相等 B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数 C．长度相等的两段弧是等弧 D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】C 【提示】 根据圆的相关性质，圆心角、弧、弦的关系判定即可． 【解答】 解：A等弧所对的圆心角相等，故正确； B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故正确； C.等弧的概念是在只能完全重合的两段弧，错误； D、半径相等的两个半圆是等弧，正确， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】D 【提示】 首先由AD∥OC可以得到∠AOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数． 【解答】 解：∵AD∥OC， ∴∠AOC=∠DAO=70°， 又∵OD=OA， ∴∠ADO=∠DAO=70°， ∴∠AOD=180-70°-70°=40°． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质及圆的基本性质，由半径相等得到∠ADO=∠DAO是解题的关键． 6．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（       ） A． B． C． D．到、的距离相等 【答案】A 【提示】 根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【解答】 在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确， ∵，AO=DO=BO=CO ∴（SSS） 可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确； 而由题意不能推出，故A项结论错误． 故选：A 【点睛】 此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系． 7．如图，在中，已知AB=CD，则AC与BD的关系是（       ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【提示】 根据已知条件可得，进而可得，根据圆心角、弧、弦的关系即可得 ． 【解答】 ， ， ， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆的性质是解题关键． 8．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（       ） A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DB C．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 【答案】C 【提示】 欲求AC+CB和AD+DB的大小关系，需将这些线段构建到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系解题． 【解答】 解：如图； 以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE； ∵CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB； ∵∠DAC＝∠CBE， ∴∠DAC＝∠CEB； ∵AC＝CE， ∴∠CAE＝∠CEA， ∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA； ∴AD＝DE； ∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD， ∴AC+BC＞BD+AD； 故选：C． 【点睛】 本题考查圆心角、弧、弦的关系，涉及三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF 【答案】D 【提示】 在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可． 【解答】 如图，在弧EF上取一点M，使， 则， 所以AB＝FM，CD＝EM， 在△MEF中，FM+EM＞EF， 所以AB+CD＞EF， 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键． 10．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（       ）. A． B． C．4 D．3 【答案】D 【提示】 作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3． 【解答】 作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图， ∵∠BAC+∠EAD=180°， 而∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF， ∴， ∴DE=BF=6， ∵AH⊥BC， ∴CH=BH， 而CA=AF， ∴AH为△CBF的中位线， ∴AH=BF=3, 故选：D. 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 11．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________． 【答案】     相等     相等     相等     相等     相等     相等 略 12．若一条弦把圆周分成的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________． 【答案】 【提示】 一条弦把圆周分成的两段弧，所以圆的中心角被分成了5份，每一份占，劣弧对应的圆心角占了2份，即． 【解答】 解：∵一条弦把圆周分成的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了优弧与劣弧的概念，本题的关键找到隐藏条件，圆的中心角． 13．如图，在中，点是的中点，，则等于________． 【答案】 【提示】 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可． 【解答】 解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等． 14．如图，A、B、C是上三个点，，则弦与的大小关系是______．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】＜． 【提示】 取中点为D，连结AD，BD，OD，可得，可得∠AOD=∠BOD=由，可得，根据圆心角与弧弦之间关系可得AD=BD=BC，利用三角形三边关系可得AB＜AD+BD=2BC即可． 【解答】 解：取中点为D，连结AD，BD，OD， ∴， ∴∠AOD=∠BOD=， ∵， ∴， ∴AD=BD=BC， 在△ABD中，AB＜AD+BD=2AD=2BC． 故答案为＜． 【点睛】 本题考查圆心角弧弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握圆心角弧弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键． 15．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____． 【答案】2 【提示】 根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可． 【解答】 解：连接OC， ∵C为的中点， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a， ∴OM＝ON＝n， ∴CM＝＝， ∵CM⊥OA， 即OM⊥CD， 由垂径定理得：CD＝2CM＝2， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM． 16．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________． 【答案】20° 【提示】 连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC=∠AOB，再根据三角形内角和得到∠OBA=∠OBC，再由∠ABC=40°，OB=OC，即可得到结果． 【解答】 解：如图，连接AO，BO， ∴OA=OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA， ∵AB=BC， ∴∠BOC=∠AOB， ∴， ∵∠ABC=40°，OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=20°． 故答案为：20°． 【点睛】 本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容．掌握圆内相关概念是解题基础． 17．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=___． 【答案】30°． 【解答】 解：∵=====, ∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG, ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°， ∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°, ∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC=（180°-120°）=30°. 故答案为30°. 18．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______． 【答案】150° 【提示】 连接OB，先由平行四边形的性质得∠OAB＝∠C＝60°，再由等腰三角形的性质得∠OBA＝∠OAB＝60°，则∠AOB＝60°，然后证，即可得出∠AOD＝∠BOD＝150°． 【解答】 解：连接OB，如图所示： ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠OAB＝∠C＝60°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝60°， ∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵DA＝DB， ∴， ∴∠AOD＝∠BOD＝（360°﹣60°）＝150°， 故答案为：150°． 【点睛】 此题考查了平行四边形以及圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及圆的有关性质． 三、解答题 19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD； 【答案】见解析 【提示】 根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【解答】 证明：∵＝， ∴＝， ∴， ∴BD=AC． 【点睛】 本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键． 20．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点． 【答案】见解析 【提示】 根据可得，，，根据半径相等，由等边对等角可得，等量代换可得，根据圆心角与弧长的关系可得，即可证明D为的中点． 【解答】 ， ，. ， ， . . ∴D为的中点． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，等边对等角，弧与圆心角的关系，掌握圆的相关知识是解题的关键． 21．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，且，∠AOB＝125°，求∠COD的度数． 【答案】∠COD＝125° 【提示】 由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解． 【解答】 解：∵， ∴，即， ∴， ∵∠AOB＝125°， ∴∠COD＝125°． 【点睛】 本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键． 22．如图，AB、DE是⊙O的直径，C是圆上一点，且，求证：BE=CE 【答案】见解析 【提示】 根据同圆中，弧，弦，圆心角的关系进行求解即可． 【解答】 解：∵AB、DE是⊙O的直径，∠BOE=∠AOD， ∴， ∵， ∴， ∴BE=CE． 【点睛】 本题主要考查了同圆中弧，弦，圆心角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握弧，弦，圆心角的关系． 23．如图，在⊙O 中，弦 AD＝BC，连接 AB、CD．求证：AB＝CD． 【答案】见解析 【提示】 由AD＝BC，，等量代换得，即可得出结论． 【解答】 证明：∵AD＝BC， ∴， ∴， 即， ∴AB＝CD． 【点睛】 本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，熟练掌握同圆或等圆中，等弧所对的弦相等． 24．如图，在中，D、E分别为半径OA，OB上的点，且，点C为弧AB中点，连接CD、CE． （1）求证：； （2）若，，，求半径的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【提示】 （1）连接，先根据线段的和差可得，再根据圆心角定理可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据三角形全等的性质即可得证； （2）设半径的长为，从而可得，再在中，利用勾股定理即可得． 【解答】 解：（1）如图，连接， ， ，即， 点为弧中点， ， ， 在和中，， ， ； （2）设半径的长为，则， ， ， 由（1）已证：， ， ， 在中，，即， 解得， 故半径的长为5． 【点睛】 本题考查了圆心角定理、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，熟练掌握圆心角定理是解题关键． 25．如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． (1)求证：； (2)若，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2)弦BD的长为16cm 【提示】 （1）根据垂径定理可得，进而可得∠ABD＝∠C，根据半径相等可得∠C＝∠CBO，等量代换即可得证； （2）在Rt△OBE中，勾股定理求得，根据垂径定理可得BE＝DE，即可求解． （1）∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，∴∴∠ABD＝∠C，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO， ∴∠CBO＝∠ABD； （2）∵AE＝4，CE＝16，∴OA＝10，OE＝6， 在Rt△OBE中，，∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE＝16cm． 【点睛】 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，掌握垂径定理是解题的关键． 26．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE． （1）求证：CE平分∠AEB； （2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【提示】 （1）根据垂径定理，可得，从而得到 ，即可求证； （2）根据，可得到，再由，即可求证． 【解答】 （1）证明：，是直径， ． ， 平分； （2）解：如图， ∵ ， ∴． 又∵，     ． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 27．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点． (1)求证：； (2)若C、D是AB的三等分点，： ①求； ②请比较GE和BE的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①∠OGC=90°；②BE＞GE 【提示】 （1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可； （2）①先由C、D是的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解； ②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得，，再比较即可得出结论； （1）解：∵DEOC，∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)； （2）解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵，∴，又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴，，∵，∴BE＞GE． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 圆心角 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、圆心角定理及推论 1.圆心角定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. (3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论： 　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点： 　在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 一、单选题 1．下列图形中表示的角是圆心角的是(　　) A．A B．B C．C D．D 2．下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（       ） A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB 4．下列说法错误的是（       ） A．等弧所对的圆心角相等 B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数 C．长度相等的两段弧是等弧 D．半径相等的两个半圆是等弧 5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 6．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（       ） A． B． C． D．到、的距离相等 7．如图，在中，已知AB=CD，则AC与BD的关系是（       ） A． B． C． D．不确定 8．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（       ） A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DB C．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 9．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF 10．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（       ）. A． B． C．4 D．3 二、填空题 11．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________． 12．若一条弦把圆周分成的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________． 13．如图，在中，点是的中点，，则等于________． 14．如图，A、B、C是上三个点，，则弦与的大小关系是______．（填“>”、“<”或“=”） 15．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____． 16．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________． 17．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=___． 18．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______． 三、解答题 19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD； 20．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点． 21．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，且，∠AOB＝125°，求∠COD的度数． 22．如图，AB、DE是⊙O的直径，C是圆上一点，且，求证：BE=CE 23．如图，在⊙O 中，弦 AD＝BC，连接 AB、CD．求证：AB＝CD． 24．如图，在中，D、E分别为半径OA，OB上的点，且，点C为弧AB中点，连接CD、CE． （1）求证：； （2）若，，，求半径的长． 25．如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． (1)求证：； (2)若，求弦的长． 26．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE． （1）求证：CE平分∠AEB； （2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE． 27．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点． (1)求证：； (2)若C、D是AB的三等分点，： ①求； ②请比较GE和BE的大小． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $