3.4.2 圆心角 课件2025-2026学年浙教版九年级上册数学

3.4.2 圆心角 浙教版 1 条件 结论 在同圆或等圆中 如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 复习回顾 2 相等的弦所对的圆心角相等吗？ 已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD 求证： ∠AOB= ∠COD AB=CD OE=OF ⌒ ⌒ 证明：∵AB=CD ∴∠AOB= ∠COD ∴AB=CD OE=OF ⌒ ⌒ 探究一 3 相等的弧所对的圆心角相等吗？ 已知：AB=CD 求证： ∠AOB= ∠COD AB=CD OE=OF ⌒ ⌒ 证明：∵AB=CD ∴∠AOB= ∠COD ∴AB=CD OE=OF ⌒ ⌒ 探究二 4 相等的弦心距所对的圆心角相等吗？ 已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD 垂足为E、F，OE=OF 求证： ∠AOB= ∠COD AB=CD AB=CD ⌒ ⌒ 探究三 5 证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD 在Rt △AOE和Rt △COF中 ∴ Rt △AOE ≌ Rt △COF ∴ ∠AOE= ∠COF ∵OA=OB OC=OD OE⊥AB，OF⊥CD ∴ ∠ AOB=2∠AOE ∠COD=2∠COF ∴∠AOB= ∠COD ⌒ ⌒ ∴AB=CD AB=CD 6 归纳 一般地，圆有下面的性质： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等. B E D A F C O ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF AB=CD ⌒ ⌒ ⑴ ∠AOB=∠COD ⑵ AB=CD ⑶ OE=OF ⑷ AB=CD 7 例题解析 例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由. D Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｐ 解：四边形BDCO是菱形，理由如下： ∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120° ∴∠BOD=180°-∠AOB=60° 同理：∠COD=60° 又∵OB=OD ∴OB=OD=BD 同理：OC=CD ∴OB=OC=BD=CD ∴四边形BDCO是菱形 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D. 求证：AB=CD . P A B E C D F O 做一做 证明: 作OM⊥AB，ON⊥CD , 垂足分别为M 、 N . ∴AB=CD M N ∵OP平分∠EPF， OM⊥AB，ON⊥CD ∴OM=ON 例题解析 例2、已知：如图, △ABC为等边三角形，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E. 求证： 解: 连结OD,OE 在等边三角形ABC中，∠A=60° ∵OA=OD ∴△AOD为等边三角形 ∴∠AOD=60° 同理∠BOE=60° ∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60° ∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE ∴ 如图所示，∠AOB=90°，C、D是三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F．求证：AE=BF． 证明：∵C，D是的三等分点， 练一练 ∴∠AOC=∠COD=∠DOB． ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA． 在△AOE与△BOF中，， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE=BF． 课堂练习 1.如图，AB是⊙O的直径，= ，∠BOD=60°，则∠AOC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确 2.如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论错误的是（　　） A． = B. = C．AC=BD D．AD=BD C D 15 课堂练习 3.如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是　 　． 4.如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是　　． 51° 16 课堂练习 5.如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE． 解：连接OC， ∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC， ∵在△AOC和△BOC中，， ∴△AOC≌△BOC（SAS）， ∴∠A=∠B， ∵OD=OE，∴AD=BE， ∵在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ACD=∠BCE． 17 在同圆或等圆中,如果 ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？ 课堂小结 THANK YOU 19 $