2025--2026学年人教版数学九年级上册 第二十一章《一元二次方程》期末基础知识复习讲义

九年级期末基础知识复习及习题汇编 第21章 一元二次方程 本章是初中代数的核心内容，承接一元一次方程、分式方程，聚焦一元二次方程的定义、解法、根的特征及实际应用，重点考查 “方程解法的选择与运用”“根的判别式与韦达定理的应用”“实际问题的建模能力” 三大核心素养。本专题将系统梳理知识脉络、突破代数推理与实际建模难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：一元二次方程的核心定义与基本概念 准确理解一元二次方程的定义、掌握方程的一般形式，是判断方程类型、选择解法的前提，需重点把握 “二次项系数非零” 的核心限制与 “方程解的本质”。 1. 一元二次方程的定义 一般地，形如 ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 的方程，叫做一元二次方程。 核心三要素：① 只含一个未知数（一元）；② 未知数的最高次数是2（二次）；③ 整式方程（分母不含未知数，根号不含未知数）；④ 二次项系数a≠0（若a=0，方程退化为一元一次方程bx+c=0，当b=0时为矛盾 / 恒等方程）。 2. 一元二次方程的一般形式与项的概念 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中： ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 方程的整理：非一般形式的方程需先化为一般形式，再确定系数。 3. 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 根的检验：将未知数的值代入方程，若左右两边相等，则为根；反之不是。 根的个数：一元二次方程最多有两个实数根（可能相等，也可能不相等，或无实数根），由根的判别式决定。 二、核心突破：一元二次方程的解法与根的特征 一元二次方程的解法是本章核心技能，需根据方程结构选择最优解法；根的判别式与韦达定理是分析根的性质的关键工具，需熟练掌握其条件与应用场景。 1. 一元二次方程的四种解法（核心考点） 四种解法各有适用场景，需灵活选择以简化计算，具体对比与操作步骤如下： 解法名称 适用场景 操作步骤 直接开平方法 可化为(x+m)2=n（n≥0）的形式 1. 将方程化为(x+m)2=n； 2. 当n≥0时，开平方得x+m=±​； 3. 解一元一次方程得x=−m±​。 配方法 所有一元二次方程（尤其二次项系数为 1 时） 1. 移项：将常数项移到右边，得ax2+bx=−c； 2. 化 1：二次项系数化为 1（两边除以a）； 3. 配方：两边加，左边化为完全平方式； 4. 开方求解（同直接开平方法）。 公式法 所有一元二次方程（尤其不易因式分解、配方的） 1. 化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）； 2. 计算判别式Δ=b2−4ac； 3. 若Δ≥0，代入求根公式x=​； 4. 若Δ<0，方程无实数根。 因式分解法 方程右边为 0，左边可因式分解（如十字相乘法、提公因式） 1. 移项：使方程右边为 0，得ax2+bx+c=0； 2. 因式分解：将左边化为两个一次因式的积，即(mx+n)(px+q)=0； 3. 降次：令每个因式为 0，解一元一次方程，得根。 易错警示： 配方法中，二次项系数化为 1 后，配方时需在两边同时加 “一次项系数一半的平方”，避免漏加或只加一边； 公式法中，需先计算判别式Δ，若Δ<0，直接判断无实数根，无需代入求根公式；求根公式中 “−b” 需注意符号。 2. 根的判别式（Δ=b2−4ac）（高频考点） 判别式用于判断一元二次方程实数根的个数，是分析根的性质、求参数范围的核心工具，具体对应关系如下： 判别式Δ的符号 实数根的个数 根的性质（a、b、c为实数，a≠0） Δ>0 2 个 两个不相等的实数根 Δ=0 1 个（两个相等的实数根） 两个相等的实数根，记为x1=x2=​. Δ<0 0 个 无实数根（有两个共轭虚根，初中阶段不研究） （1）判别式的常见应用 判断根的个数：直接计算Δ，根据符号确定； 求参数范围：已知根的个数（如 “有两个不相等实根”“有实根”），列关于参数的不等式（或等式）求解； 证明根的性质：如证明方程总有两个不相等实根（需证Δ>0恒成立）。 3. 根与系数的关系（韦达定理）（压轴考点） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），若其两个实数根为x1​、x2​，则根与系数的关系为：x1+x2​=​,x1·x2​=.​ （1）适用条件 方程为一元二次方程（a≠0）； 方程有实数根（Δ≥0）—— 若忽略此条件，可能导致结论错误。 （2）常见变形应用 韦达定理常结合代数变形求解 “根的代数式的值”，核心变形公式如下： x12+x22​=(x1+x2)2−2x1x2​； (x1−m)(x2−m)=x1x2−m(x1+x2)+m2； ； 三、综合应用：一元二次方程的实际问题 实际问题是期末考查的重点，核心是 “建立方程模型”，将实际问题转化为数学方程，需熟练掌握常见场景的等量关系与建模步骤。 1. 常见实际问题场景与模型 场景类型 核心等量关系 方程模型 （设未知数为x） 增长率问题 最终量 = 初始量 ×增长率（n为增长次数） 设初始量为a，增长率为x，n次增长后量为b，则a(1+x)n=b；降低率问题：a(1−x)n=b。 面积问题 图形面积公式（如矩形面积 = 长 × 宽，三角形面积 = 底 × 高 设一边长为x，用x表示另一边长，根据面积列方程。 利润问题 总利润 =（单价 - 成本）× 销量 设单价变化量为x（如单价降x元），表示出销量，列利润方程。 传播问题 第n次传播后的总人数 = 初始人数 ×(1+x)n（x为每人传播人数） 设每人传播x人，初始 1 人，n次传播后总人数为b，则(1+x)n=b。 2. 实际问题解题步骤（核心流程） 审：通读题目，明确已知量、未知量及核心等量关系； 设：设未知数（直接设或间接设，优先设 “关键量”，如增长率、边长、单价变化量）； 列：根据等量关系列出一元二次方程（需先整理为一般形式）； 解：选择合适的解法解方程（优先用因式分解法或公式法）； 验：检验方程的根是否符合实际意义（如长度为正、增长率为正、人数为正，舍去不合理的根）； 答：用完整的语言回答题目问题（需带单位）。 易错警示：实际问题中，需严格检验根的合理性。 四、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 定义类错误 1. 忽略a≠0，认为 “ax2+bx+c=0一定是一元二次方程”； 2. 未将方程化为一般形式，直接确定系数。 1. 判断方程类型时，先看二次项系数是否非零；2. 确定系数前，必须将方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式。 解法类错误 1. 配方法漏乘二次项系数； 2. 公式法记错求根公式； 3. 因式分解法漏写 “右边为 0”。 1. 配方法步骤：先提二次项系数，再配方； 2. 熟记求根公式，代入前先标a、b、c的符号； 3. 因式分解法必须先移项使右边为 0，再分解。 判别式类错误 1. 求参数范围时忽略a≠0； 2. 误将 “有实根” 等同于 “有两个实根”（一元二次方程 “有实根” 需Δ≥0，可能是 1 个或 2 个实根）。 1. 涉及一元二次方程的参数问题，必须同时满足 “a≠0” 和 “Δ条件”； 2. 明确 “有实根”“有两个实根”“有两个不等实根” 的区别。 韦达定理类错误 1. 忽略Δ≥0的条件，直接用韦达定理2. 记错韦达定理公式。 1. 用韦达定理前，先计算Δ，确认方程有实根； 2. 熟记公式：“和负b比a，积正c比a”（符号是关键）。 实际问题类错误 1. 单位不统一； 2. 等量关系错误； 3. 漏检验根的实际意义（如保留负根）。 1. 审题时圈出单位，先统一单位； 2. 牢记常见场景的等量关系（如增长率用平方，传播问题用幂次）； 3. 解方程后，强制检验根是否符合实际（正、合理范围），舍去无效根。 五、备考策略 夯实基础：解法过关，概念清晰 熟练掌握四种解法的适用场景与步骤，通过 “一题多解” 训练（如同一方程用配方法、公式法、因式分解法求解），体会解法的优劣（如因式分解法最快，公式法最通用）； 默写一元二次方程的定义、一般形式、判别式公式、韦达定理，确保概念无漏洞。 突破难点：聚焦推理与建模 针对韦达定理：多练 “已知根求代数式值”“已知代数式值求参数” 的变式题，熟练掌握核心变形公式； 针对实际问题：分类训练增长率、面积、利润三类高频题型，总结 “设元技巧”“等量关系模板”，如面积问题优先设 “垂直于墙的边长”，利润问题优先设 “单价变化量”。 规范步骤：避免逻辑与计算漏洞 解方程时，按 “步骤书写”：如公式法需写 “1. 化为一般形式；2. 计算Δ；3. 代入求根公式；4. 解得根”； 实际问题需写 “设→列→解→验→答”，每一步标注依据（如 “根据利润公式列方程”“检验：x=−1不符合边长为正，舍去”）。 错题复盘：靶向突破高频错误整理 “配方法漏项”“韦达定理忽略Δ”“实际问题漏检验” 三类典型错题，标注错误原因（如 “符号错误”“概念混淆”），重做时重点关注易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀：一元二次方程好，定义三要素要找：一未知数二次项，整式方程a非零。一般形式ax2+bx+c=0，系数符号别混淆。四种解法灵活挑，因式分解最快妙；配方先把系数化 1，两边加半方错不了；公式法虽通用，判别式先算好；直接开方用得少，(x+m)2=n才用到。判别式Δ=b2−4ac，正负零来定根呀：Δ>0两不等，Δ=0一根找，Δ<0根难找。韦达定理真重要，和负b比a，积正c比a，用前先看Δ，有根才能用得了。实际问题不慌张，审设列解验答忙：增长率用平方算，面积利润等量详，检验根要合理，舍去负根才恰当。 一、选择题汇编 1.（25-26·四川期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 2.（25-26·陕西期中）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别是（    ） A.， B.， C.， D.， 3.（24-25·山东期中）已知是方程的一个根，则的值是（    ） A. B. C. D. 4.（24-25·云南期末）若为关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 5.（25-26·贵州期中）把多项式进行配方，结果为（   ） A. B. C. D. 6.（25-26·成都月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A. B. C. D. 7.（24-25·黑龙江期末）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 8.（23-24四川期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 9.（25-26·达州月考）三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（    ） A. B. C. D.或 10.（24-25·渠县期中）已知关于的方程的解为，则方程的解为（    ） A. B. C. D. 11.（23-24·绵阳期末）已知、是方程的两个实数根，则（    ） A. B. C. D. 12.（25-26·大竹期中）某商品原价为元，经过两次降价后售价为元，若每次降价的百分率相同，设为，则可列方程为 A. B. C. D. 13.（25-26·德阳期中）若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是（    ） A. B. C. D. 14. 如图，在长米，宽米的矩形空地中，修建条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的倍，小路的总面积是平方米，若设小路的宽是米，根据题意列方程，正确的是（    ） A. B. C. D. 15.（24-25山东期中）关于的一元二次方程的一个根为，则实数的值为 A. B. C. D.或  16.方程恰有两个整数根，，则的值是（   ） A. B. C. D. 17.（24-25·德阳期中）若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A. B. C. D. 18.（23-24·都江堰期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（   ） A.或 B. C. D. 19.（24-25·四川模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A. B. C. D. 20.（25-26·渠县模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A. B. C. D. 二、填空题汇编 21.（25-26·四川期中）已知是关于的一元二次方程，则_________． 22.关于 的一元二次方程不含常数项，则的值为________ 23.（24-25·云南期末）小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是______. 24.（25-26·简阳期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值是_______． 25.（25-26·泸州期末）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为_________． 26.，由，得；代数式的最小值是，仿照上述方法求代数式的最小值为________． 27.（24-25·自贡期末）若关于的方程有实数根，则的最大整数值是___________． 28.已知实数满足方程：，则__________． 29. （25-26·攀枝花期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则____________秒时，的面积是． 30.（24-25·达州期末）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，设每件商品售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的，商店计划要赚元，需要卖出       件商品，每件商品应售      元． 31.已知是方程的两个根，则代数式的值是______________． 32.若实数、满足，，则的值是________． 33.（25-26·四川期中）若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组最多有个整数解，则符合条件的整数的个数有________个． 34. （24-25·贵州期末）已知是方程的一个根，则_______． 35.（23-24·成都月考）已知，且，那么的值为_______________． 三、解答题汇编 36.（23-24·渠县雄才期末）用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 37.（25-26·湖南期中）已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． （2）当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 38. 观察下表： 从表中你能得出方程的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围． 39.（24-25·杭州月考）已知关于的方程，试按要求解答下列问题： （1）当该方程有一根为时，试确定的值； （2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定的取值范围． （3）若是符合条件的最大整数，求此时方程的根． 40.（23-24·广东月考）顺德华侨城景区在年春节长假期间，共接待游客达万人次，预计在年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求顺德华侨城景区至年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低元，则平均每天可多销售杯．年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额? 41.（24-25·云南模拟）如图，矩形中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿向点以的速度移动，设它们的运动时间为． （1）若点和点之间的距离是，求出的值； （2）若时，求出的值． 42.（24-25·湖南模拟）湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当地深厚的地方文化和历史内涵．某学习小组为了研究东江鱼的最优销售单价，特到某农副特产专卖店了解到湖南郴州东江鱼成本为元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示： 东江鱼销售单价（元/千克） … … 每天销售数量（千克） … … （1）根据表中信息可知：销售数量与销售单价什么函数关系，请你求出这个函数关系式（不要求写出销售单价的取值范围）； （2）现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到元，则销售单价应定为多少？ 43.课本再现 （1）方程的求根公式，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系，即方程的两个根满足：①；②．这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的．请你选择其中一个结论进行证明． 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． （3）已知实数，满足，，求的值． 44.（23-24·成都模拟）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即． （1）“全整根方程的“最值码”是______； （2）关于的一元二次方程为整数、且是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； 45. （24-25·四川模拟）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为 【尝试应用】比较代数式与的大小，并说明理由； 【拓展应用】试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】如图，已知，为线段上的一个动点，分别以、为边在的同侧作菱形，菱形，点、、在一条直线上，，、分别是对角线、的中点，当点在线段上移动时，求点、之间的最短距离 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末基础知识复习及习题汇编 第21章 一元二次方程 本章是初中代数的核心内容，承接一元一次方程、分式方程，聚焦一元二次方程的定义、解法、根的特征及实际应用，重点考查 “方程解法的选择与运用”“根的判别式与韦达定理的应用”“实际问题的建模能力” 三大核心素养。本专题将系统梳理知识脉络、突破代数推理与实际建模难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：一元二次方程的核心定义与基本概念 准确理解一元二次方程的定义、掌握方程的一般形式，是判断方程类型、选择解法的前提，需重点把握 “二次项系数非零” 的核心限制与 “方程解的本质”。 1. 一元二次方程的定义 一般地，形如 ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 的方程，叫做一元二次方程。 核心三要素：① 只含一个未知数（一元）；② 未知数的最高次数是2（二次）；③ 整式方程（分母不含未知数，根号不含未知数）；④ 二次项系数a≠0（若a=0，方程退化为一元一次方程bx+c=0，当b=0时为矛盾 / 恒等方程）。 2. 一元二次方程的一般形式与项的概念 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中： ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 方程的整理：非一般形式的方程需先化为一般形式，再确定系数。 3. 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 根的检验：将未知数的值代入方程，若左右两边相等，则为根；反之不是。 根的个数：一元二次方程最多有两个实数根（可能相等，也可能不相等，或无实数根），由根的判别式决定。 二、核心突破：一元二次方程的解法与根的特征 一元二次方程的解法是本章核心技能，需根据方程结构选择最优解法；根的判别式与韦达定理是分析根的性质的关键工具，需熟练掌握其条件与应用场景。 1. 一元二次方程的四种解法（核心考点） 四种解法各有适用场景，需灵活选择以简化计算，具体对比与操作步骤如下： 解法名称 适用场景 操作步骤 直接开平方法 可化为(x+m)2=n（n≥0）的形式 1. 将方程化为(x+m)2=n； 2. 当n≥0时，开平方得x+m=±​； 3. 解一元一次方程得x=−m±​。 配方法 所有一元二次方程（尤其二次项系数为 1 时） 1. 移项：将常数项移到右边，得ax2+bx=−c； 2. 化 1：二次项系数化为 1（两边除以a）； 3. 配方：两边加，左边化为完全平方式； 4. 开方求解（同直接开平方法）。 公式法 所有一元二次方程（尤其不易因式分解、配方的） 1. 化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）； 2. 计算判别式Δ=b2−4ac； 3. 若Δ≥0，代入求根公式x=​； 4. 若Δ<0，方程无实数根。 因式分解法 方程右边为 0，左边可因式分解（如十字相乘法、提公因式） 1. 移项：使方程右边为 0，得ax2+bx+c=0； 2. 因式分解：将左边化为两个一次因式的积，即(mx+n)(px+q)=0； 3. 降次：令每个因式为 0，解一元一次方程，得根。 易错警示： 配方法中，二次项系数化为 1 后，配方时需在两边同时加 “一次项系数一半的平方”，避免漏加或只加一边； 公式法中，需先计算判别式Δ，若Δ<0，直接判断无实数根，无需代入求根公式；求根公式中 “−b” 需注意符号。 2. 根的判别式（Δ=b2−4ac）（高频考点） 判别式用于判断一元二次方程实数根的个数，是分析根的性质、求参数范围的核心工具，具体对应关系如下： 判别式Δ的符号 实数根的个数 根的性质（a、b、c为实数，a≠0） Δ>0 2 个 两个不相等的实数根 Δ=0 1 个（两个相等的实数根） 两个相等的实数根，记为x1=x2=​. Δ<0 0 个 无实数根（有两个共轭虚根，初中阶段不研究） （1）判别式的常见应用 判断根的个数：直接计算Δ，根据符号确定； 求参数范围：已知根的个数（如 “有两个不相等实根”“有实根”），列关于参数的不等式（或等式）求解； 证明根的性质：如证明方程总有两个不相等实根（需证Δ>0恒成立）。 3. 根与系数的关系（韦达定理）（压轴考点） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），若其两个实数根为x1​、x2​，则根与系数的关系为：x1+x2​=​,x1·x2​=.​ （1）适用条件 方程为一元二次方程（a≠0）； 方程有实数根（Δ≥0）—— 若忽略此条件，可能导致结论错误。 （2）常见变形应用 韦达定理常结合代数变形求解 “根的代数式的值”，核心变形公式如下： x12+x22​=(x1+x2)2−2x1x2​； (x1−m)(x2−m)=x1x2−m(x1+x2)+m2； ； 三、综合应用：一元二次方程的实际问题 实际问题是期末考查的重点，核心是 “建立方程模型”，将实际问题转化为数学方程，需熟练掌握常见场景的等量关系与建模步骤。 1. 常见实际问题场景与模型 场景类型 核心等量关系 方程模型 （设未知数为x） 增长率问题 最终量 = 初始量 ×增长率（n为增长次数） 设初始量为a，增长率为x，n次增长后量为b，则a(1+x)n=b；降低率问题：a(1−x)n=b。 面积问题 图形面积公式（如矩形面积 = 长 × 宽，三角形面积 = 底 × 高 设一边长为x，用x表示另一边长，根据面积列方程。 利润问题 总利润 =（单价 - 成本）× 销量 设单价变化量为x（如单价降x元），表示出销量，列利润方程。 传播问题 第n次传播后的总人数 = 初始人数 ×(1+x)n（x为每人传播人数） 设每人传播x人，初始 1 人，n次传播后总人数为b，则(1+x)n=b。 2. 实际问题解题步骤（核心流程） 审：通读题目，明确已知量、未知量及核心等量关系； 设：设未知数（直接设或间接设，优先设 “关键量”，如增长率、边长、单价变化量）； 列：根据等量关系列出一元二次方程（需先整理为一般形式）； 解：选择合适的解法解方程（优先用因式分解法或公式法）； 验：检验方程的根是否符合实际意义（如长度为正、增长率为正、人数为正，舍去不合理的根）； 答：用完整的语言回答题目问题（需带单位）。 易错警示：实际问题中，需严格检验根的合理性。 四、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 定义类错误 1. 忽略a≠0，认为 “ax2+bx+c=0一定是一元二次方程”； 2. 未将方程化为一般形式，直接确定系数。 1. 判断方程类型时，先看二次项系数是否非零；2. 确定系数前，必须将方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式。 解法类错误 1. 配方法漏乘二次项系数； 2. 公式法记错求根公式； 3. 因式分解法漏写 “右边为 0”。 1. 配方法步骤：先提二次项系数，再配方； 2. 熟记求根公式，代入前先标a、b、c的符号； 3. 因式分解法必须先移项使右边为 0，再分解。 判别式类错误 1. 求参数范围时忽略a≠0； 2. 误将 “有实根” 等同于 “有两个实根”（一元二次方程 “有实根” 需Δ≥0，可能是 1 个或 2 个实根）。 1. 涉及一元二次方程的参数问题，必须同时满足 “a≠0” 和 “Δ条件”； 2. 明确 “有实根”“有两个实根”“有两个不等实根” 的区别。 韦达定理类错误 1. 忽略Δ≥0的条件，直接用韦达定理2. 记错韦达定理公式。 1. 用韦达定理前，先计算Δ，确认方程有实根； 2. 熟记公式：“和负b比a，积正c比a”（符号是关键）。 实际问题类错误 1. 单位不统一； 2. 等量关系错误； 3. 漏检验根的实际意义（如保留负根）。 1. 审题时圈出单位，先统一单位； 2. 牢记常见场景的等量关系（如增长率用平方，传播问题用幂次）； 3. 解方程后，强制检验根是否符合实际（正、合理范围），舍去无效根。 五、备考策略 夯实基础：解法过关，概念清晰 熟练掌握四种解法的适用场景与步骤，通过 “一题多解” 训练（如同一方程用配方法、公式法、因式分解法求解），体会解法的优劣（如因式分解法最快，公式法最通用）； 默写一元二次方程的定义、一般形式、判别式公式、韦达定理，确保概念无漏洞。 突破难点：聚焦推理与建模 针对韦达定理：多练 “已知根求代数式值”“已知代数式值求参数” 的变式题，熟练掌握核心变形公式； 针对实际问题：分类训练增长率、面积、利润三类高频题型，总结 “设元技巧”“等量关系模板”，如面积问题优先设 “垂直于墙的边长”，利润问题优先设 “单价变化量”。 规范步骤：避免逻辑与计算漏洞 解方程时，按 “步骤书写”：如公式法需写 “1. 化为一般形式；2. 计算Δ；3. 代入求根公式；4. 解得根”； 实际问题需写 “设→列→解→验→答”，每一步标注依据（如 “根据利润公式列方程”“检验：x=−1不符合边长为正，舍去”）。 错题复盘：靶向突破高频错误整理 “配方法漏项”“韦达定理忽略Δ”“实际问题漏检验” 三类典型错题，标注错误原因（如 “符号错误”“概念混淆”），重做时重点关注易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀：一元二次方程好，定义三要素要找：一未知数二次项，整式方程a非零。一般形式ax2+bx+c=0，系数符号别混淆。四种解法灵活挑，因式分解最快妙；配方先把系数化 1，两边加半方错不了；公式法虽通用，判别式先算好；直接开方用得少，(x+m)2=n才用到。判别式Δ=b2−4ac，正负零来定根呀：Δ>0两不等，Δ=0一根找，Δ<0根难找。韦达定理真重要，和负b比a，积正c比a，用前先看Δ，有根才能用得了。实际问题不慌张，审设列解验答忙：增长率用平方算，面积利润等量详，检验根要合理，舍去负根才恰当。 一、选择题汇编 1.（25-26·四川期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据一元二次方程的定义判定即可．本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 【解答】解：、是二元二次方程，不符合题意； 、当时，是一元二次方程，不符合题意； 、方程整理得：，是三元一次方程，不符合题意； 、是一元二次方程，符合题意． 故选：． 2.（25-26·陕西期中）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【解析】先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解． 【解答】解：由一元二次方程可得，则一次项系数和常数项分别为，； 故选． 3.（24-25·山东期中）已知是方程的一个根，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程的解的定义代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【解答】把代入得， 解得 ．故选：． 4.（24-25·云南期末）若为关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【解答】解：把代入方程，可得 ，即， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选． 5.（25-26·贵州期中）把多项式进行配方，结果为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【解答】解： 故选． 6.（25-26·成都月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解． 【解答】解：由题意得：， 方程要有实数根， ， 解得：； 故选． 7.（24-25·黑龙江期末）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【解答】解：  ，即， ，，， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 8.（23-24四川期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零解答即可． 【解答】解：方程有两个相等的实数根， ， 解得． 故选：． 9.（25-26·达州月考）三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（    ） A. B. C. D.或 【答案】B 【解析】用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长. 【解答】， , 或； 当时, ， 三角形不存在； 当时, ， 三角形存在， 三角形的周长为； 故选 10.（24-25·渠县期中）已知关于的方程的解为，则方程的解为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程的解，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键；把变形为，设，则原方程可转化为，与关于的方程的解相同，据此可求出，即可得解． 【解答】 解：方程变形为， 设，则原方程可转化为， 关于的方程的解为， 或， 或， ， 故选：． 11.（23-24·绵阳期末）已知、是方程的两个实数根，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【解答】解：、是方程的两个实数根， ， ， 故选：． 12.（25-26·大竹期中）某商品原价为元，经过两次降价后售价为元，若每次降价的百分率相同，设为，则可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【解答】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得， 故选：． 13.（25-26·德阳期中）若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【解答】解：、是一元二次方程的两个不相等的根， ，即， 由根与系数的关系可知：， ， 故选：． 14. 如图，在长米，宽米的矩形空地中，修建条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的倍，小路的总面积是平方米，若设小路的宽是米，根据题意列方程，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设小路的宽度为米，则小正方形的边长为米，根据小路的横向总长度米和纵向总长度米，根据矩形的面积公式可得到方程． 【解答】解：设道路宽为米，则中间正方形的边长为米， 依题意，得：， 即， 故选：． 15.（24-25山东期中）关于的一元二次方程的一个根为，则实数的值为 A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】先把代入方程求出的值，然后根据二次项系数不能为，把舍去． 【解答】解：把代入方程得： ， ， ， ． 故选：．  16.方程恰有两个整数根，，则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则， 与系数的关系式：，． 利用一元二次方程的根与系数关系，结合为质数的性质，确定整数根的可能取值，进而求出 的值，并代入表达式计算． 【解答】解：方程有两个整数根 ， ，． 是质数， 或（此时分母为，不合题意，舍去）． ，即． 故选：． 17.（24-25·德阳期中）若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了根与系数的关系，解决此题的关键是熟记公式；利用根与系数的关系和给定的根的比例关系，代入求解即可． 【解答】解：方程 的两根为 和 ， 由根与系数的关系可得：，， 又 ， ， ， ， ， ， 将 代入： ， ， ， ， ． 故选：． 18.（23-24·都江堰期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（   ） A.或 B. C. D. 【答案】B 【解析】本题已知了 、 的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【解答】解：设秒后，的面积等于， 依题意得：， ， ，， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选． 19.（24-25·四川模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“”得结论． 【解答】解： ， ， ，， 方程不是“邻根方程”，选项不符合题意；   ， ， 方程无实数根，选项不符合题意； ， ， ， ，，， 方程不是“邻根方程”，选项不符合题意； ， ， ， ，，， 方程是“邻根方程”，选项符合题意； 故选：． 20.（25-26·渠县模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“”得结论． 【解答】解： ， ， ，， 方程不是“邻根方程”，选项不符合题意；   ， ， 方程无实数根，选项不符合题意； ， ， ， ，，， 方程不是“邻根方程”，选项不符合题意； ， ， ， ，，， 方程是“邻根方程”，选项符合题意； 故选：． 二、填空题汇编 21.（25-26·四川期中）已知是关于的一元二次方程，则____1_______． 【答案】 【解析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是且二次项系数不为，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【解答】解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为，即，解得， 未知数的最高次数是，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1 22.关于 的一元二次方程不含常数项，则的值为__-3_______ 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数，，的位置与要求是解决本题的关键．由题可知，该一元二次方程的二次项系数，且常数项，由此可解得的值． 【解答】解：关于的一元二次方程的常数项为， ，解得． 故答案为：． 23.（24-25·云南期末）小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是____1____. 【答案】1 【解析】根据表格中的数据，可以发现：时，；时，， 故一元二次方程的其中一个解的范围是，进而求解． 【解答】解：根据表格中的数据，知方程的一个解的范围是：， 所以方程的其中一个解的整数部分是． 故答案为：. 24.（25-26·简阳期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值是____6_______． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，． 【解答】解：，是一元二次方程的实根， ，， ， ， 故答案为：6 25.（25-26·泸州期末）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______2______． 【答案】 【解析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【解答】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 26.，由，得；代数式的最小值是，仿照上述方法求代数式的最小值为_____-7_______． 【答案】 【解析】仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【解答】解：， ， ， 代数式的最小值为． 故答案为：． 27.（24-25·自贡期末）若关于的方程有实数根，则的最大整数值是________1________． 【答案】 【解析】由方程有两个实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．本题考查了一元二次方程（，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的特殊解． 【解答】解：方程 有实数根，则判别式 ， 其中 ， 由 ，得 ，解得 ， 因此，的最大整数值为， 故答案为：1 28.已知实数满足方程：，则_____6________． 【答案】 【解析】本题考查了换元法、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过换元法，将原方程转化为关于新变量的二次方程，求解后验证实数解的存在性． 【解答】解：设 ，则原方程化为： ， ， ， 即 或 ， 当 时， ，即， 判别式为 ：，无实数解； 当 时，，即， 判别式为：，有实数解； ． 故答案为：6 29. （25-26·攀枝花期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则____或________秒时，的面积是． 【答案】或 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设运动时间为 秒，则，， ， ， 整理得：， 解得：，， 或秒时，的面积是． 故答案为：或 30.（24-25·达州期末）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，设每件商品售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的，商店计划要赚元，需要卖出     或    件商品，每件商品应售     100    元． 【答案】  或 ；100 【解析】此题暂无解析 【解答】根据题意：, 解得：或, 所以舍去. 此时卖出 需要卖出件商品，每件商品应售元． 31.已知是方程的两个根，则代数式的值是______2___________． 【答案】 【解析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【解答】解：是方程的两个根， ，，， ． 故答案为：． 32.若实数、满足，，则的值是___________． 【答案】 【解析】由题意可知，分别是方程的两个实数根，可得．，据此即可求解． 【解答】解：， ，，， ，分别是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 33.（25-26·四川期中）若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组最多有个整数解，则符合条件的整数的个数有_____5______个． 【答案】5 【解析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次不等式组的整数解和根的判别式等知识点． 由一元二次方程有实数根的条件求得的取值范围，再由不等式组的整数解个数条件求得的取值范围，综合可得整数的值，并统计个数． 【解答】解：对于一元二次方程，有实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零， 且， 解得 且， 对于不等式组，整数解个数为（当时），要求最多有个整数解， ， 解得， 综合可得的取值范围为且的整数，即，共个， 故答案为：5 34. （24-25·贵州期末）已知是方程的一个根，则_______． 【答案】 【解析】由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可． 【解答】是方程的一个根． ，即． 将等号两边同时乘得： ，即． ． 故答案为：-2021 35.（23-24·成都月考）已知，且，那么的值为_____205____________． 【答案】205 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【解答】解：， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 可知和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 三、解答题汇编 36.（23-24·渠县雄才期末）用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】 【解析】（1）利用公式法解答即可； （2）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【解答】（1）解：，，， ， ， ，； （2） 解：， ， ， 或， ， 37.（25-26·湖南期中）已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． （2）当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】 ，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【解析】（1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【解答】（1）解：原方程为一元一次方程， ， 解得：． （2）解：原方程为一元二次方程， ， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 38. 观察下表： 从表中你能得出方程的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围． 【答案】． 【解析】根据表格中的数据，可以发现：时，，故方程有一个根是；又因为时，，时，， 故一元二次方程的另一个根的范围是． 【解答】解：根据表格中的数据，知： 方程有一个根是；另一个根的范围是． 39.（24-25·杭州月考）已知关于的方程，试按要求解答下列问题： （1）当该方程有一根为时，试确定的值； （2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定的取值范围． （3）若是符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】； 且； ， 【解析】（1）将代入方程得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （2）由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． （3）由的结果找到符合条件的的值，代入，解方程即可． 【解答】（1）解：将代入方程得： ， 解得：； （2）解：由方程有两个不相等的实数根， 得到，且， 解得：且 （3）解：由且，是符合条件的最大整数，得到， 则得到一元二次方程为： 即 此时，，， ， 此时方程的根为，． 40.（23-24·广东月考）顺德华侨城景区在年春节长假期间，共接待游客达万人次，预计在年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求顺德华侨城景区至年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低元，则平均每天可多销售杯．年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额? 【答案】年平均增长率为 当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额 【解析】（1）设年平均增长率为，根据“顺德华侨城景区在年春节长假期间，共接待游客达万人次，预计在年春节长假期间，将接待游客达万人次”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【解答】（1）解：设年平均增长率为，根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 年平均增长率为； （3） 解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额，由题意得：， 理得：， 解得：，， 让顾客获得最大优惠， ， 当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额． 41.（24-25·云南模拟）如图，矩形中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿向点以的速度移动，设它们的运动时间为． （1）若点和点之间的距离是，求出的值； （2）若时，求出的值． 【答案】 的值为或 【解析】（1）根据题意，表达出，，因为在矩形中，所以，且已知，利用勾股定理列方程求解即可； （2）分两种情况进行讨论，当点在上运动时，当点在上运动时，分别表达出的长度，根据列方程求解即可． 【解答】（1）解：，，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得，， 不符合题意，舍去， ； （2） 解：当点在上运动时，， ，， ， 解得：， ，符合该时间段条件； 当点在上运动时，， ，， ， ， 解得：， 在该时间段内，符合题意， 或， 的值为或 42.（24-25·湖南模拟）湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当地深厚的地方文化和历史内涵．某学习小组为了研究东江鱼的最优销售单价，特到某农副特产专卖店了解到湖南郴州东江鱼成本为元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示： 东江鱼销售单价（元/千克） … … 每天销售数量（千克） … … （1）根据表中信息可知：销售数量与销售单价什么函数关系，请你求出这个函数关系式（不要求写出销售单价的取值范围）； （2）现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到元，则销售单价应定为多少？ 【答案】销售数量是销售单价成一次函数关系，函数关系式为． 销售单价应定为元． 【解析】（1）因为销售单价每增加元，销售数量减小千克，可得销售数量与销售单价成一次函数关系，所以设，选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出和的值，从而得到函数关系式． （2）先根据每天销售利润达到元，结合利润公式列出一元二次方程，结合让顾客感觉到实惠，再确定销售单价． 【解答】（1）解：销售单价每增加元，销售数量减小千克， 销售数量是销售单价的一次函数， 设销售单价与销售数量的函数关系式为，为常数，． 当时，；当时，，代入函数关系式可得： ， 解得 所以，与的函数关系式为． （2）解：设销售单价应定为元/千克． 根据利润公式，， 整理得：， 解得：或． 让顾客感觉到实惠， ， 所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到元，则销售单价应定为每千克元． 43.课本再现 （1）方程的求根公式，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系，即方程的两个根满足：①；②．这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的．请你选择其中一个结论进行证明． 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． （3）已知实数，满足，，求的值． 【答案】见解答 【解析】（1）本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 对于根据方程的两个根是，再分别求出 结论即可； 对于，先根据一元二次根与系数的关系求出，再整体代入求值； 对于，先设，可知，是一元二次方程的两个根，再求出 方程的根，然后完全平方公式的变形可得答案. 【解答】（1）解：方程的两个根是， ； ； (2)一元二次方程的两个根是，， ， 原式； ， 设，则， ，是一元二次方程的两个根， 解得，或， ， 平方，得，即； 当， ， 平方，得，即（不符合题意，舍去）， 44.（23-24·成都模拟）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即． （1）“全整根方程的“最值码”是_______； （2）关于的一元二次方程为整数、且是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； 【答案】 一元二次方程的“最值码”为 【解析】（1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得与的值，代入中，即可求出最值码． 【解答】（1）解：由条件可知：，，， ， “全整根方程”的“最值码”是． 故答案为：； （2）解：由条件可知，，， ． 由条件可知是完全平方数， 又，且为整数，， ， 完全平方数为、、， 当时，不为整数，不符合， 当时，为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． 只有当时，才是完全平方数， ，， ， 一元二次方程的“最值码”为． 45. （24-25·四川模拟）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为 【尝试应用】比较代数式与的大小，并说明理由； 【拓展应用】试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】如图，已知，为线段上的一个动点，分别以、为边在的同侧作菱形，菱形，点、、在一条直线上，，、分别是对角线、的中点，当点在线段上移动时，求点、之间的最短距离 【答案】 ，理由见解析 见解析 【解析】本题考查了配方法、二次根式有意义的条件、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解题 的关键． 根据作差法和配方法解题即可； 判断根号内的式子为非负数即可； 连接、，由菱形的性质可推出，，，，以及，设，则，结合勾股定理表示出，再用配方法求出其最值． 【解答】解： ， ； ， 无论取何实数，二次根式都有意义； 连接、， 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点，和都为等腰三角形， ，，，， ， ， 设，则， ，，， ，， ， 时，有最小值，最小值为． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $