第21章 一元二次方程 章节（11知识点回顾+27题型练习） 【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第21章 一元二次方程 章节（11知识点回顾+27题型练习） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 由一元二次方程的定义求参数 题型八 解一元二次方程——直接开平方法 题型九 解一元二次方程——配方法 题型十 配方法的应用 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十三 公式法解一元二次方程 题型十四 因式分解法解一元二次方程 题型十五 换元法解一元二次方程 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用) 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用) 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用) 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用) 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用) 题型二十六 其他问题(一元二次方程的应用) 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点6：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧， 知识点7、公式法 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 四、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点8：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点9：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 知识点10：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点11：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型练习 题型一 一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程： ． 题型二 化成一元二次方程的一般式 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 题型三 判断是否是一元二次方程 4．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）一元二次方程化为一般形式后，一次项系数为（  ） A．3 B． C．4 D． 题型四 判断是否是一元二次方程的解 5．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型五 由一元二次方程的解求参数 6．（22-23九年级上·广西河池·期中）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 7．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 题型六 一元二次方程的解的估算 8．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 题型七 由一元二次方程的定义求参数 9．（24-25九年级上·福建泉州·期中）将方程改写成的形式，则的值分别为（    ） A．1，4，2 B．1，4， C．1，，2 D．1，， 10．（24-25九年级上·广东清远·期末）将方程化为的形式后， ， ， ． 题型八 解一元二次方程——直接开平方法 11．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 题型九 解一元二次方程——配方法 12．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 13．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 题型十 配方法的应用 14．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 15．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 16．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 17．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 其中p为常数． (1)判断方程实数根的情况，并说明理由； (2)试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由． 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 18．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 19．（2025·山东·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三 公式法解一元二次方程 20．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 题型十四 因式分解法解一元二次方程 22．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）小明同学解一元二次方程：的过程如下： 解：原方程可化简为： ① ∴ ② 解得： ③ (1)小明的求解过程从第　　　　步开始出现错误，错误的原因是　　　　　　　　； (2)写出这个方程的正确解答过程． 题型十五 换元法解一元二次方程 23．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）已知：，则 ． 24．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系 25．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）设方程的两根是，则方程的根为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若，是方程的两根，则 ． 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用) 27．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 28．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ． 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用) 29．（22-23九年级上·广西河池·期末）我县2019年的平均房价为每平方米7000元，受疫情等因素的影响，2021年平均房价下降到每平方米6400元，设我县房价的年平均下降率为x．根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某种商品原价为元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格为元．若两次降价的百分率相同，求降价的百分率． 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为130米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为5000平方米，求边减少的长度． 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用) 33．（24-25九年级上·福建莆田·期中）第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用) 34．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用) 35．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用) 36．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用) 37．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用) 38．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    题型二十五 其他问题(一元二次方程的应用) 39．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手次，设这次参加会议有人，那么可以列方程为 ． 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 40．（24-25九年级上·广西南宁·期中）某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程 章节（11知识点回顾+27题型练习） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 由一元二次方程的定义求参数 题型八 解一元二次方程——直接开平方法 题型九 解一元二次方程——配方法 题型十 配方法的应用 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十三 公式法解一元二次方程 题型十四 因式分解法解一元二次方程 题型十五 换元法解一元二次方程 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用) 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用) 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用) 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用) 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用) 题型二十六 其他问题(一元二次方程的应用) 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点6：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧， 知识点7、公式法 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 四、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点8：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点9：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 知识点10：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点11：常见相关问题的数量关系及表示方法 题型1：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型3：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 题型4：利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 题型5：比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 题型6：传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型练习 题型一 一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C、化简得，最高次数是，故不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，有一个根是2的一元二次方程有无数个，只要含有因式的一元二次方程都有一个根是2，写出一个符合条件的方程就行．有一个根是2的一元二次方程有无数个，写出一个符合条件的方程就可以． 【详解】 解：形如的一元二次方程都含有一个根是2， 所以当，时，可以写出方程：． 故答案可以是：（答案不唯一）． 题型二 化成一元二次方程的一般式 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：B． 题型三 判断是否是一元二次方程 4．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）一元二次方程化为一般形式后，一次项系数为（  ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义理解；将一元二次方程化为一般形式后得，可得一次项为，由单项式的系数，即可求解；理解一元二次方程的项是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 一次项为， 一次项系数为， 故选：B． 题型四 判断是否是一元二次方程的解 5．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型五 由一元二次方程的解求参数 6．（22-23九年级上·广西河池·期中）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想． 将代入原方程求出，然后整体代入代数式求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，即， ∴， 故选：C． 7．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到方程得到关于的方程，即可求解； （2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可． 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 题型六 一元二次方程的解的估算 8．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 题型七 由一元二次方程的定义求参数 9．（24-25九年级上·福建泉州·期中）将方程改写成的形式，则的值分别为（    ） A．1，4，2 B．1，4， C．1，，2 D．1，， 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【详解】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为1，，2， 故选：C． 10．（24-25九年级上·广东清远·期末）将方程化为的形式后， ， ， ． 【答案】 1 2 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是，本题通过移项化为一般形式，再确定各项系数． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为：1；2； 题型八 解一元二次方程——直接开平方法 11．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后，直接开方法即可求解． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：，． 题型九 解一元二次方程——配方法 12．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 13．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， ， 直接开平方得， ，． 题型十 配方法的应用 14．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 【答案】4 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 15．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴， ∴对于代数式的最值，最大值为13， 故选：A． 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 16．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先算根的判别式，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：A． 17．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 其中p为常数． (1)判断方程实数根的情况，并说明理由； (2)试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2)0，2， 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，掌握与一元二次方程的解的关系是解题的关键． （1）先求出，再判断即可； （2）根据求根公式求出方程的解，根据为大于1的奇数，再解答即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， 原方程整理，得， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）解：0，2，，理由如下： 原方程的解为. ∵一元二次方程有整数解， ∴为大于1的奇数，即3或5或7或， 当时，； 当时，； 当时，， ∴p的值可以为0，2，，原方程有整数解． 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 18．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．分两种情况：当时，当时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，原方程为：，解得，此时有实数根， 当时，由题意可得：，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 19．（2025·山东·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，时，方程有两个不相同的根；时，方程有两个相同的根；时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根，由，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 题型十三 公式法解一元二次方程 20．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 21．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】（），；（） 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、公式法解一元二次方程、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（）利用公式法解答即可； （）由一元二次方程根的定义可得，再化简代数式，最后把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴， ∴， ∴，； （）∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 题型十四 因式分解法解一元二次方程 22．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）小明同学解一元二次方程：的过程如下： 解：原方程可化简为： ① ∴ ② 解得： ③ (1)小明的求解过程从第　　　　步开始出现错误，错误的原因是　　　　　　　　； (2)写出这个方程的正确解答过程． 【答案】(1)②，如果则两边不能同时除以 (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）依据等式的基本性质判断即可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：小明的解答过程是从第②步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以， 故答案为：②，如果则两边不能同时除以； （2）解：， ∴， ， 则或， 解得，． 题型十五 换元法解一元二次方程 23．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）已知：，则 ． 【答案】5 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，令，原方程变形为，求出解后根据进行取舍即可． 【详解】解：令，原方程变形为， 即， 解得，， ， ， 故答案为：5． 24．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意设，得到，求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系 25．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）设方程的两根是，则方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出方程的解．首先把变为，而方程的两根是、，利用根与系数可以得到、、、之间的关系，然后代入后面的方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 而方程的两个根为、， ，① ，② 又方程可以变为，③ 把①②代入③中得 ， ， ，． 故选：A． 26．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若，是方程的两根，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是关键．由一元二次方程的根以及根与系数的关系得，，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两根 ∴， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用) 27．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 28．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用) 29．（22-23九年级上·广西河池·期末）我县2019年的平均房价为每平方米7000元，受疫情等因素的影响，2021年平均房价下降到每平方米6400元，设我县房价的年平均下降率为x．根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题是一元二次方程实际应用类题目，考虑先根据题意找出合适的等量关系式；据题意可得关系式：降低前的房价(这两年房价平均降低率)降低后的房价，进而求解. 【详解】解：设我县房价的年平均下降率为x， 则根据题意有， 故选：A 30．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某种商品原价为元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格为元．若两次降价的百分率相同，求降价的百分率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．设降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：降价百分率为． 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查理解题意的能力，解题的关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程． 设路宽为，所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据要使观赏路面积是，可列方程求解． 【详解】解：设路宽为，则所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据题意得， ， 故选：B． 32．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为130米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为5000平方米，求边减少的长度． 【答案】米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】考查了一元二次方程的应用，设边减少的长度为为米，根据题意列出方程求解即可，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 【详解】解：设边减少的长度为米， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 答：边减少的长度为米． 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用) 33．（24-25九年级上·福建莆田·期中）第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：根据题意得：，     解得：，（舍去）， 故的值为， 故选：B． 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用) 34．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案． 【详解】解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得： 整理，得 解这个方程，得 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用) 35．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用) 36．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用) 37．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用) 38．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 题型二十五 其他问题(一元二次方程的应用) 39．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手次，设这次参加会议有人，那么可以列方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设到会的人数为人，则每个人握手次，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设到会的人数为人，则每个人握手次， 根据题意得， 故答案为：． 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 40．（24-25九年级上·广西南宁·期中）某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛． 【答案】7 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球队要和除自己以外的个球队进行次比赛，所以个球队进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排 21场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得：， 解方程可得：（舍去）， 答：应邀请7个球队参加比赛． 故答案为：7． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$