专题13 动态几何模型与绝对值中的最值模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

该初中数学复习讲义通过思维导图整合动态几何与绝对值最值知识体系，分数轴、线段、角度动态模型及计数模型等模块，用对比表格呈现动点速度、旋转角度等问题类型，清晰梳理知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础计数题（如n条直线对顶角对数）到综合动态题（如三角板旋转与角平分线综合），培养推理能力与几何直观。每题附解题策略，基础生掌握方法，优生深入探究，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题13.动态几何模型与绝对值中的最值模型 本专题包含数轴中的动态模型、线段中的动态模型、角度中的动态模型、绝对值中的最值模型、计数模型等。 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵∴设 ∵点P的速度是点Q的速度的2倍∴设 ∴ ∴若要知道的长，则只要知道的长，故选：C． 2．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 【答案】C 【详解】解：两条直线相交只有1个交点，对顶角有对， 三条直线相交有3个交点，对顶角有对，四条直线相交有6个交点，对顶角有对， 则n条直线相交，交点最多时，所组成的角中，对顶角有对，故选：C． 3．（24-25七年级下·重庆·开学考试）（多选）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过（   ）秒时线段的长为6厘米． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】ABD 【详解】解：设经过秒时线段的长为6厘米； （1）点P、Q都向右运动时，，解得：； （2）点P、Q都向左运动时，或，解得：； （3）点P向左运动，点Q向右运动时，，解得：； （4）点P向右运动，点Q向左运动时，，解得：． ∴经过3或9或1秒时线段的长为6厘米．故选：． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：的几何意义数轴上x所对应的点到的距离与x所对应的点到5的距离之和， 当在数与5之间时，的和为7， 当在的左侧或5的右侧时，，的最小值为7，故答案为：7． 5．（24-25七年级下·山东·开学考试）已知是直角，平分，平分．以下结论正确的是：如图1，射线在的内部绕点O旋转，若，则；图1中度数不随着射线的位置变化而变化，始终是；如图2，若射线是外一射线，其他条件不变，的度数不随着射线的位置变化而变化，始终是．以上选项正确的是 （只填写序号）． 【答案】 【详解】解：，． 平分，．故错误； 如图1，平分，．平分，． ，． ，．故正确； 如图2，平分，．平分，． ，． ，故正确；故答案为：． 6．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则，∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：； 当时，则，∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：（舍去）． 综上可得，的值为或．故答案为：或． 7．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，P是线段上任意一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为3s时，，则 ． 【答案】6或16 【详解】解：由题意可知：， 当点D在C的右边时，如图所示： ∵，∴， ∴，∴， 当点D在C的左边时，如图所示： ∴，∴， 综上所述，或，故答案为：6或16． 8．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或，故答案为：或． 9．（24-25七年级上·山东·专题练习）直线上有一点，点分别为的中点，线段． (1)如图，若点在线段上运动时，的长为__________； (2)若点在直线上运动时，试说明线段的长度与点在直线上的位置无关． 【答案】(1)7(2)见解析 【详解】（1）解：∵点分别为的中点， ∴，，∴．故答案为：7； （2）当点在点左侧时，如下图， ∵点分别为的中点，∴，， ∴； 当点在线段上时，如下图， ∵点分别为的中点，∴，， ∴； 当点在点右侧时， ∵点分别为的中点，∴，， ∴． 综上所述，线段的长度与点在直线上的位置无关． 10．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【详解】解：（1），根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时，如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N，∴， 又，∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点，∴，∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下：①如图所示，当时，根据题意得，，解得； ②如图所示，当时，根据题意得，解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得，解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【答案】(1)；(2)或；(3)，定值为． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：设， 当点在点左侧时，， ∵，∴，解得，∴； 当点在点右侧时，， ∵，∴，解得，∴； ∴的长为或； （3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值， 定值即为， 当点与点重合时，，解得； 当点与点重合时，，解得； ∴当时，式子的值为定值，定值为． 12．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．(1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长；②当点是线段的三等分点时，求的长；(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 【答案】(1)①15；②19或14(2)或 【详解】（1）解：①，， 为中点，， ，的长为15； ②点是线段的三等分点，或， 当时，，则， ，，， 当时，，则，， ，，，的长为19或14； （2）设，则，，， ①当点在线段之间时，如图，    设，则，，， ，，， ，， ②当点在点的左侧时，如图，    设，则，， ，，，， ，， ③当点在线段上及点在点右侧时，无解， 综上所述，或． 13．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，线段，点在点的左边． (1)点在线段上，，则 ； (2)点在线段上，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为秒，①若点为的中点，当为多少时，？ ②动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿直线在两点之间往返运动，若两点同时出发，当点之间的距离为3.5个单位长度时，求的值（直接写出答案）． 【答案】(1)10(2)①或；②或2.5或5.5或6.1 【详解】（1）解：∵，，∴；故答案为：10； （2）①点Q在点D的左侧，依题意有，解得； 点Q在点D的右侧，依题意有，解得． 故当t为1或5时，； ②点相遇前，由题意，得，解得； 点相遇后，R到达点D前，由题意，得，解得； 点相遇后，R返回B前，由题意，得，解得； 点相遇后，R从点B返回后，由题意，得，解得； 综上可知，或2.5或5.5或6.1． 14．（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度；(3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【答案】(1)4；8(2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时， (3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或 【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A， 当时，（厘米）， 当时，（厘米），故答案为：4，8； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时，即时，， 当点从运动到点时，即时，； （3）设D是线段的中点，E是线段的中点， ①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， D是线段的中点，E是线段的中点， ，，即的长度为； ②当时，若点C从点A向点B运动，时， 是线段的中点，E是线段的中点， ，，即有，； 若点C从点B向点A运动，时， D是线段的中点，E是线段的中点， ，，即有，， 综上可知，当时，t的值为或． 15．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长；(2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，直接写出的长． 【答案】(1)(2)的长为或． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，，∴，即， ∴，∴； （2）解：分两种情况：（i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，，∴， ∵，∴，∵，∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，，∴， ∵，∴，∴， 综上所述，的长为或． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)；(2)或；(3)或4或或． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，， ，，解得，． （2）由题意可知，点N是线段的中点， 不是线段的中点，当点是靠近点的三等分点时，有， ，，， ，， 当点是靠近点的三等分点时，有， ，， ，，． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”，故P或Q点是“三等分点”． ，t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时，有，解得 当时，有，解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时，有，解得 当时，有，解得 综上所述：或4或或． 17．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，已知点在同一条直线上，分别是的中点，． (1)求线段的长；(2)把线段放在一条数轴上，若点对应的数是，点对应的数是1，求点对应的数；(3)若点从点出发，以每秒2个单位的速度沿移动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿移动，当两点之间的线段长为3时，求两点运动的时间． 【答案】(1)5(2)对应的数是，对应的数是0 (3)当点在的左边时，秒；当点在的右边时，秒 【详解】（1）解：分别是的中点，∴，， ，，； （2）解：，点对应的数是，点对应的数是1， ∴点对应的数是：，点对应的数是：； （3）解：设运动的时间为秒，则线段，线段， 两点之间的线段长为3， ①当点在的左边时，，∴秒； ②当点在的右边时，，∴秒． 18．（24-25七年级上·广东江门·期末）如图甲，已知线段，E，F分别是的中点． (1)若，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；(3)对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，射线，分别平分和， ①若，求；②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)12；(2)的长度不变，，见解析；(3)①；②． 【详解】（1）解：∵E，F分别是，的中点， ∴，．∴． 又∵线段，，∴． ∴．∴． （2）解：不变，理由如下：∵E，F分别是，的中点，∴，． ∴．∴， 又∵，，∴． （3）解：①∵，分别平分和，∴，． ∴． 又∵∴． ∴．∴． ②由①得：． ∵，∴． ∴ 19．（24-25七年级上·河南周口·期末）已知，、是内部的两条射线． (1)如图，若，平分，为内部的一条射线，，求的度数；(2)如图，若、分别平分，且，若，求和的度数；(3)如图，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转后对应的射线为，旋转时间为，平分，，若，直接写出的值．（注：本题涉及的角均小于） 【答案】(1)的度数为(2)的度数为，的度数为(3)秒或秒 【详解】（1）解：∵，平分，， ∴，∴， ∴， ∵，∴，即的度数为； （2）设，则，， ∵、分别平分，∴，， ∵，，∴，解得：， ∴，， 即的度数为，的度数为； （3）①当时，∴，∴， ∵平分，∴， ∵， ∵，∴， ∵，即， ∴或，∴（不符合题意，舍去）或； ②当时，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∵，∴， ∵，即， ∴或，∴（不符合题意，舍去）或； ③当时，∴，∴， ∵平分，∴， ∵， ∵，∴， ∵，即， ∴或， ∴（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去；综上所述，的值为秒或秒． 20．（24-25七年级上·广东清远·期末）【探索新知】 （1）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①一个角的平分线______这个角的“等分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“等分线”，则_____．（用含的代数式表示出所有可能的结果） 【深入研究】（2）如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒，当与成180°时停止旋转． ①当t为何值时，射线是的“等分线”． ②射线从位置开始绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时的值． 【答案】①是；②或或 【详解】解：（1）①按照“等分线”的定义可知：一个角的平分线是这个角的“等分线”；故答案为：是； ②若，且射线是的“等分线”，则由“等分线”的定义可知有三种情况符合题意： ，此时；，此时； ，此时；故答案为：或或； （2）①根据题意得：；；，解得；；； ∴t为秒或6秒或9秒时，射线是的“等分线”； ②根据题意得：；；，解得；；； ∴t的值为秒或2秒或3秒时，射线是的“等分线”． 21．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，_____； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)45(2)(3)的值为或 【详解】（1）解：平分，，， ，，故答案为：45； （2）解：设，则， 平分，，， 平分，， ，，解得，即； （3）解：由题意得，先到达，，， 出发前，，， 秒后，，， 当与重合时，秒， ①当时，， ，，解得； ②当时，， ，，解得； 综上所述，的值为或． 22．（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ；② ． 【问题探究】（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合；②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或 【详解】解：（1）①，，，，， 故答案为：； ②，，， ，，；故答案为：； （2）①设旋转时间为秒，则，， 当与相遇时，，解得：； ②如图， 因为，，所以； （3）设绕点逆时针旋转，时，如图， ，，， 平分，， ，平分，， ，； ②时，如图， ，，， 平分，， ，平分，， . 综上，或. 23．（24-25七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析 (3)能，秒；30秒；90秒 【详解】（1）解∶∵，是的内半角，∴， ∵，∴，；故答案∶； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： 由旋转得：，∴ ， ∵∴，， ∵是的内半角，∴，∴，解得：﹔ （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的内半角，， ∴，∴，解得：， 如图2，∵是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 如图3，是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 24．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①或；②存在，的值为或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵射线平分，∴，故答案为：． （2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴，∵，∴，∴； （Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴； （Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴， ∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去；综上，满足要求的所有的值为或． ②（Ⅰ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，符合题设； （Ⅱ）如图，当时，∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，符合题设； （Ⅲ）如图，当时，∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，不符合题设，舍去； 综上，在旋转过程中存在，此时的值为或． 25．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)，或(3)存在， 【详解】（1）解：，，，，， 的相反数为，，故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合，折点为，与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或．故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值，的值与无关，，∴． 26．（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 【答案】(1)160°(2)30秒或34秒(3) 【详解】（1）∵，∴3，解得，， ∴，∴； （2）设他们旋转x秒时，使得，则， ①当射线与射线相遇前有：， 即：，解得：； ②当射线与射线相遇后有：， 即：，解得：， 答：当他们旋转30秒或34秒时，使得； （3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则， ∵为的平分线，∴，∴， ∵，∴， 则，°，∴，解得：，∴，解得：． 27．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______，若，则______；(2)填空：使得成立的x是________； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 【答案】(1)9，6或(2)或3(3)有最小值，原式最小值为7(4)有，当时，最小值为3 【详解】（1）解：根据题意可得，， 若，则与1的距离等于5，则或；故答案为：9，6或 （2）表示在数轴上x到和2的距离之和为8， 当时，，解得， 当时，，x不存在， 当时，，解得， 综上可知，使得成立的x是或，故答案为：或 （3）有最小值，最小值为7，理由是： 当时，根据两点之间线段最短，得到有最小值，最小值为； （4）有最小值，为表示x的点到表示1、3和4的点的距离和， 由题可得，先观察1和3两数， ∴x点到这两点距离之和最小值需处在1和3之间，x又必须离4最近， 则当时，以上条件均符合，当时，为最小值， 有最小值，当的时，最小值为3． 28．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 30．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 31．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【详解】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条）那么经过两点最多可以画条直线；故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）．答：他们共握了次手． 32．（24-25·湖北恩施·七年级校考阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条． （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段． （3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 【答案】（1）6；（2）；（3）45场 【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB， 以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3＋2＋1＝6（条）．故答案为：6； （2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则x＝（m−1）＋（m−2）＋（m−3）＋…＋3＋2＋1， ∴倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋（m−3）＋（m−2）＋（m−1）， ∴2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m（m−1），∴x＝m（m−1）．故答案为：； （3）把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当m＝10时，． 答：一共要进行45场比赛． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.动态几何模型与绝对值中的最值模型 本专题包含数轴中的动态模型、线段中的动态模型、角度中的动态模型、绝对值中的最值模型、计数模型等。 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 3．（24-25七年级下·重庆·开学考试）（多选）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过（   ）秒时线段的长为6厘米． A．1 B．3 C．6 D．9 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 5．（24-25七年级下·山东·开学考试）已知是直角，平分，平分．以下结论正确的是：如图1，射线在的内部绕点O旋转，若，则；图1中度数不随着射线的位置变化而变化，始终是；如图2，若射线是外一射线，其他条件不变，的度数不随着射线的位置变化而变化，始终是．以上选项正确的是 （只填写序号）． 6．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 7．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，P是线段上任意一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为3s时，，则 ． 8．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 9．（24-25七年级上·山东·专题练习）直线上有一点，点分别为的中点，线段． (1)如图，若点在线段上运动时，的长为__________； (2)若点在直线上运动时，试说明线段的长度与点在直线上的位置无关． 10．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 12．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．(1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长；②当点是线段的三等分点时，求的长；(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 13．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，线段，点在点的左边． (1)点在线段上，，则 ； (2)点在线段上，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为秒，①若点为的中点，当为多少时，？ ②动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿直线在两点之间往返运动，若两点同时出发，当点之间的距离为3.5个单位长度时，求的值（直接写出答案）． 14．（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度；(3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 15．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长；(2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，直接写出的长． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 17．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，已知点在同一条直线上，分别是的中点，． (1)求线段的长；(2)把线段放在一条数轴上，若点对应的数是，点对应的数是1，求点对应的数；(3)若点从点出发，以每秒2个单位的速度沿移动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿移动，当两点之间的线段长为3时，求两点运动的时间． 18．（24-25七年级上·广东江门·期末）如图甲，已知线段，E，F分别是的中点． (1)若，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；(3)对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，射线，分别平分和， ①若，求；②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 19．（24-25七年级上·河南周口·期末）已知，、是内部的两条射线． (1)如图，若，平分，为内部的一条射线，，求的度数；(2)如图，若、分别平分，且，若，求和的度数；(3)如图，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转后对应的射线为，旋转时间为，平分，，若，直接写出的值．（注：本题涉及的角均小于） 20．（24-25七年级上·广东清远·期末）【探索新知】 （1）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①一个角的平分线______这个角的“等分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“等分线”，则_____．（用含的代数式表示出所有可能的结果） 【深入研究】（2）如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒，当与成180°时停止旋转． ①当t为何值时，射线是的“等分线”．②射线从位置开始绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时的值． 21．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，_____； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值． 22．（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ；② ． 【问题探究】（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合；②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 23．（24-25七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 24．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 25．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 26．（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 27．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______，若，则______；(2)填空：使得成立的x是________； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 28．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 30．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 31．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 32．（24-25·湖北恩施·七年级校考阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条． （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段． （3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $